Matricea gramiană a controlabilității

În teoria controlului , matricea de controlabilitate Gram este o matrice Gram utilizată pentru a determina dacă un sistem dinamic este controlabil . Pentru un sistem liniar invariant în timp

{\dot {x}}=Ax+Bu

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + Bu}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + Bu}

gramul de controlabilitate este definit ca

W_{c}(t)=\int \limits _{0}^{t}e^{-A\tau }BB^{T}e^{-A^{T}\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t-\tau )}d\tau

{\ displaystyle W_ {c} (t) = \ int \ limits _ {0} ^ {t} e ^ {- A \ tau} BB ^ {T} e ^ {- A ^ {T} \ tau} d \ tau = \ int \ limits _ {0} ^ {t} e ^ {A (t- \ tau)} BB ^ {T} e ^ {A ^ {T} (t- \ tau)} d \ tau}

{\ displaystyle W_ {c} (t) = \ int \ limits _ {0} ^ {t} e ^ {- A \ tau} BB ^ {T} e ^ {- A ^ {T} \ tau} d \ tau = \ int \ limits _ {0} ^ {t} e ^ {A (t- \ tau)} BB ^ {T} e ^ {A ^ {T} (t- \ tau)} d \ tau}

Cuplul $(A,B)$ ${\ displaystyle (A, B)}$ $(A, B)$ este controlabil dacă și numai dacă ^[1] matricea $W_{c}$ ${\ displaystyle W_ {c}}$ ${\ displaystyle W_ {c}}$ este non-singular , adică $W_{c}$ ${\ displaystyle W_ {c}}$ ${\ displaystyle W_ {c}}$ are rang complet pentru fiecare $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ . Puteți dovedi, de asemenea, că dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este din Hurwitz , soluția ecuației lui Sylvester , dacă există, este corectă $W_{c}$ ${\ displaystyle W_ {c}}$ ${\ displaystyle W_ {c}}$ .

Definiția poate fi extinsă la sisteme care variază în timp. Sistemul

{\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)}

,

este controlabil într-o gamă $[t_{0},t_{1}]$ ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$ ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$ dacă și numai dacă rândurile matricei $\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )$ ${\ displaystyle \ Phi (t_ {0}, \ tau) B (\ tau)}$ ${\ displaystyle \ Phi (t_ {0}, \ tau) B (\ tau)}$ , unde este $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este matricea de tranziție a stării , ele sunt liniar independente. Gramiana poate fi folosită pentru a demonstra acest lucru. Independența liniară apare dacă și numai dacă matricea de controlabilitate Gramian

W_{c}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )d\tau

{\ displaystyle W_ {c} (t) = \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t} \ Phi (t_ {0}, \ tau) B (\ tau) B ^ {T} (\ tau ) \ Phi ^ {T} (t_ {0}, \ tau) d \ tau}

{\ displaystyle W_ {c} (t) = \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t} \ Phi (t_ {0}, \ tau) B (\ tau) B ^ {T} (\ tau ) \ Phi ^ {T} (t_ {0}, \ tau) d \ tau}

este non-singular, adică inversabil.

Notă

^ Controlabilitatea Gramian Arhivat 10 decembrie 2012 în Archive.is . Note de curs pentru teoria sistemelor moderne ECE 521 de profesorul A. Manitius, Departamentul ECE, Universitatea George Mason.

Elemente conexe

Portal de verificări automate

Portal de inginerie

[1] Controlabilitatea Gramian Arhivat 10 decembrie 2012 în Archive.is . Note de curs pentru teoria sistemelor moderne ECE 521 de profesorul A. Manitius, Departamentul ECE, Universitatea George Mason.

[1]