Echivalența stânga-dreapta între matrice

În matematică și mai precis în algebră liniară , două matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ acestea sunt echivalente SD atunci când există două matrice inversabile $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât:

A=MBN

{\ displaystyle A = MBN}

A = MBN

SD reprezintă echivalența stânga-dreapta .

Echivalența SD este o relație de echivalență și, prin urmare, induce o partiție a întregului $M(m,n,K)$ ${\ displaystyle M (m, n, K)}$ $M (m, n, K)$ dintre toate matricile $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ la valorile dintr-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Aceasta este o relație de echivalență mai simplă decât cea mai frecvent utilizată comparație : două matrice sunt echivalente SD dacă și numai dacă au același rang .

Definiție

Lasa-i sa fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ două matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ , Acestea sunt echivalente SD dacă există două matrice inversabile $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ (primul $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ , al doilea $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ ) astfel încât:

A=MBN

{\ displaystyle A = MBN}

A = MBN

Rang

Rangul este un invariant complet pentru echivalența SD: aceasta înseamnă că două matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ sunt echivalente SD dacă și numai dacă au același rang.

În special, fiecare matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este echivalent SD cu o matrice de tipul:

B={\begin{pmatrix}I_{r}&0_{r,n-r}\\0_{m-r,r}&0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} I_ {r} & 0_ {r, nr} \\ 0_ {mr, r} & 0_ {mr, nr} \ end {pmatrix}}}

B = {\ begin {pmatrix} I_ {r} & 0 _ {{r, n-r}} \\ 0 _ {{m-r, r}} & 0 _ {{m-r, n-r}} \ end {pmatrix}}

unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este rangul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $I_{r}$ ${\ displaystyle I_ {r}}$ $Eu_ {r}$ este matricea identității $r\times r$ ${\ displaystyle r \ times r}$ $r \ times r$ Și $0_{k,h}$ ${\ displaystyle 0_ {k, h}}$ $0 _ {{k, h}}$ este matricea nulă $k\times h$ ${\ displaystyle k \ times h}$ $k \ ori h$ .

Relații cu alte echivalențe

Două matrice similare sunt, de asemenea, echivalente SD. Cu toate acestea, opusul nu este în general adevărat. De exemplu, matricele constante ale unei ordine multiple de identitate date sunt toate echivalente SD, în timp ce fiecare dintre ele constituie singură o clasă de similaritate; din nou, două matrici cu același rang, dar cu determinant diferit (sau cu valori proprii diferite) sunt echivalente SD, dar nu sunt similare; perechile evidente ale acestor matrici au forma $(M,cM)$ ${\ displaystyle (M, cM)}$ $(M, cM)$ cu c $\neq 1$ ${\ displaystyle \ neq 1}$ $\ neq 1$ .

Bibliografie

Marco Abate, Geometrie , McGraw-Hill, 1996.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică