Formula Feynman-Kac

În matematică , formula Feynman-Kac , numită după autorii săi Richard Feynman și Mark Kac , este o ecuație care oferă o reprezentare a soluției anumitor clase de ecuații diferențiale parțiale (PDE) utilizând proprietățile probabiliste ale proceselor stochastice .

Ecuație omogenă

Luați în considerare un PDE în formă

{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)=0,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = 0 ,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = 0 ,}

în starea terminală

f(x,T)=\psi (x),

{\ displaystyle f (x, T) = \ psi (x),}

{\ displaystyle f (x, T) = \ psi (x),}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ sunt funcții cunoscute și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este necunoscut. Formula Feynman-Kac afirmă că soluția poate fi scrisă ca o valoare așteptată

f(x,t)={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right],

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [\ psi (X_ {T}) | X_ {t} = x \ right],}

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [\ psi (X_ {T}) | X_ {t} = x \ right],}

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un proces Itō caracterizat prin ecuația diferențială stocastică

dX=\mu (X,t)dt+\sigma (X,t)dW_{t}

{\ displaystyle dX = \ mu (X, t) dt + \ sigma (X, t) dW_ {t}}

dX = \ mu (X, t) dt + \ sigma (X, t) dW_ {t}

.

Valoarea așteptată de mai sus poate fi aproximată prin metode Monte Carlo sau cvasi-Monte Carlo .

Demonstrație

Verificarea corectitudinii soluției are loc prin aplicarea limei Itō la funcția necunoscută $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Da, da

df(x,t)=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)\right)dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dW_{t}.

{\ displaystyle df (x, t) = \ left (\ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2 }}} (x, t) \ right) dt + \ sigma (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) dW_ {t}.}

{\ displaystyle df (x, t) = \ left (\ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2 }}} (x, t) \ right) dt + \ sigma (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) dW_ {t}.}

Primul termen între paranteze este PDE în cauză și este, prin ipoteză, nul. Se obține integrarea ambilor membri ai expresiei rămase

\int _{t}^{T}df(x,t)=f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t},

{\ displaystyle \ int _ {t} ^ {T} df (x, t) = f (X_ {T}, T) -f (x, t) = \ int _ {t} ^ {T} \ sigma ( x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) \, dW_ {t},}

{\ displaystyle \ int _ {t} ^ {T} df (x, t) = f (X_ {T}, T) -f (x, t) = \ int _ {t} ^ {T} \ sigma ( x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) \, dW_ {t},}

prin urmare, rearanjarea termenilor și luarea valorii așteptate a ambilor membri

f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t}\right]

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [f (X_ {T}, T) \ right] - {\ textrm {E}} \ left [\ int _ {t} ^ {T} \ sigma (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) \, dW_ {t} \ right]}

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [f (X_ {T}, T) \ right] - {\ textrm {E}} \ left [\ int _ {t} ^ {T} \ sigma (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) \, dW_ {t} \ right]}

Deoarece valoarea așteptată a unei integrale Itō în raport cu mișcarea browniană $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W _ {{t}}$ este nul, se obține soluția dorită:

f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [f (X_ {T}, T) \ right] = {\ textrm {E}} \ left [\ psi (X_ {T} ) \ right] = {\ textrm {E}} \ left [\ psi (X_ {T}) | X_ {t} = x \ right]}

f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [f (X_ {T}, T) \ right] = {\ textrm {E}} \ left [\ psi (X_ {T}) \ right ] = {\ textrm {E}} \ left [\ psi (X _ {{T}}) | X_ {t} = x \ right]

Extensia 1

Soluția ilustrată mai sus poate fi extinsă la o clasă mai largă de PDE-uri; este de fapt posibil să se arate că ecuația formei

{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-k(t)f(x,t)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) -k (t) f (x, t) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) -k (t) f (x, t) = 0}

în starea terminală

\ f(x,T)=\psi (x)

{\ displaystyle \ f (x, T) = \ psi (x)}

\ f (x, T) = \ psi (x)

are pentru soluție:

f(x,t)={\textrm {E}}\left[\exp \left\{-\int _{t}^{T}k(u)du\right\}\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [\ exp \ left \ {- \ int _ {t} ^ {T} k (u) du \ right \} \ psi (X_ {T}) | X_ {t} = x \ right].}

{\ displaystyle f (x, t) = {\ textrm {E}} \ left [\ exp \ left \ {- \ int _ {t} ^ {T} k (u) du \ right \} \ psi (X_ {T}) | X_ {t} = x \ right].}

Dovada acestui rezultat se desfășoară de-a lungul liniilor celei prezentate mai sus, cu diferența că lema Itō este aplicată funcției

g(x,t)=f(x,t)\exp \left\{\int _{t}^{T}k(u)du\right\}.

{\ displaystyle g (x, t) = f (x, t) \ exp \ left \ {\ int _ {t} ^ {T} k (u) du \ right \}.}

{\ displaystyle g (x, t) = f (x, t) \ exp \ left \ {\ int _ {t} ^ {T} k (u) du \ right \}.}

Soluția ecuațiilor sub forma tocmai examinată este frecventă în domeniul finanțelor matematice; celebra ecuație Black-Scholes , care determină prețul de non- arbitraj al unui instrument derivat , are de fapt această formă.

Extensia 2

Luați în considerare PDE

{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)f(x,t)+u(x,t)=0,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) -V (x, t) f (x, t) + u (x, t) = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, t) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) -V (x, t) f (x, t) + u (x, t) = 0,}

definit pentru fiecare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ și fiecare $t\in [0,T]$ ${\ displaystyle t \ in [0, T]}$ $t \ in [0, T]$ , sub rezerva condiției:

f(x,T)=\psi (x),

{\ displaystyle f (x, T) = \ psi (x),}

{\ displaystyle f (x, T) = \ psi (x),}

unde este $\mu ,\sigma ,\psi ,V,u$ ${\ displaystyle \ mu, \ sigma, \ psi, V, u}$ ${\ displaystyle \ mu, \ sigma, \ psi, V, u}$ , sunt funcții cunoscute, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un parametru și $f:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R}}$ necunoscutul. Formula Feynman-Kac afirmă că soluția poate fi scrisă ca o așteptare condiționată

f(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]

{\ displaystyle f (x, t) = E ^ {Q} \ left [\ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau} , \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r) dr + e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right]}

{\ displaystyle f (x, t) = E ^ {Q} \ left [\ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau} , \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r) dr + e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right]}

în ceea ce privește măsura probabilității $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , astfel încât $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un proces Itō ( proces Wiener generalizat) definit de ecuație:

dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q}

{\ displaystyle dX = \ mu (X, t) \, dt + \ sigma (X, t) \, dW ^ {Q}}

dX = \ mu (X, t) \, dt + \ sigma (X, t) \, dW ^ {Q}

unde este $W^{Q}(t)$ ${\ displaystyle W ^ {Q} (t)}$ $W ^ {Q} (t)$ este un proces Wiener ( mișcare browniană ) și condiția inițială pentru $X(t)$ ${\ displaystyle X (t)}$ $X (t)$ Și $X(0)=x$ ${\ displaystyle X (0) = x}$ $X (0) = x$ .

Derivare

Este $f(x,t)$ ${\ displaystyle f (x, t)}$ ${\ displaystyle f (x, t)}$ o soluție a ecuației. Aplicând lema lui Itō la proces:

Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr

{\ displaystyle Y (s) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) + \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r ) dr}

{\ displaystyle Y (s) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) + \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r ) dr}

primesti:

dY=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,df(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }df(X_{s},s)+d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr

{\ displaystyle dY = de ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) + e ^ { - \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, df (X_ {s}, s) + de ^ {- \ int _ {t } ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} df (X_ {s}, s) + d \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r) dr}

{\ displaystyle dY = de ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) + e ^ { - \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, df (X_ {s}, s) + de ^ {- \ int _ {t } ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} df (X_ {s}, s) + d \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r) dr}

De cand:

de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds

{\ displaystyle de ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} = - V (X_ {s}, s) e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, ds}

{\ displaystyle de ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} = - V (X_ {s}, s) e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, ds}

al treilea termen este $o(dtdu)$ ${\ displaystyle o (dtdu)}$ $o (dtdu)$ și poate fi trecut cu vederea. De asemenea, avem:

d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)ds

{\ displaystyle d \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ { r}, r) dr = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {s}, s) ds}

{\ displaystyle d \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ { r}, r) dr = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {s}, s) ds}

Aplicând din nou lema Itō la $du(X_{s},s)$ ${\ displaystyle du (X_ {s}, s)}$ $du (X_ {s}, s)$ rezultă că $dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s})f(X_{s},s)+u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial f}{\partial X}}+{\frac {\partial f}{\partial s}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}f}{\partial X^{2}}}\right)\,ds+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW$ ${\ displaystyle dY = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, \ left (-V (X_ {s}) f (X_ {s}, s) + u (X_ {s}, s) + \ mu (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial s}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial X ^ {2}}} \ right) \, ds + e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} \, dW}$ ${\ displaystyle dY = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, \ left (-V (X_ {s}) f (X_ {s}, s) + u (X_ {s}, s) + \ mu (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial s}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial X ^ {2}}} \ right) \, ds + e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} \, dW}$ Primul termen conține PDE inițial între paranteze și, prin urmare, este nul. Rămâne

dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW.

{\ displaystyle dY = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} \, dW.}

{\ displaystyle dY = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} \, dW.}

Integrarea acestei ecuații din $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se concluzionează că

Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW

{\ displaystyle Y (T) -Y (t) = \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \ , d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} \, dW}

{\ displaystyle Y (T) -Y (t) = \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \ , d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial f} {\ partial X}} \, dW}

Luarea valorii așteptate (condiționată de $X_{t}=x$ ${\ displaystyle X_ {t} = x}$ $X_ {t} = x$ ) și observând că membrul din dreapta este o integrantă a lui Itō , care are valoarea zero așteptată, rezultă că:

E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=f(x,t)

{\ displaystyle E [Y (T) | X_ {t} = x] = E [Y (t) | X_ {t} = x] = f (x, t)}

{\ displaystyle E [Y (T) | X_ {t} = x] = E [Y (t) | X_ {t} = x] = f (x, t)}

Rezultatul căutat se obține observând că

E[Y(T)|X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr{\Bigg |}X_{t}=x\right]

{\ displaystyle E [Y (T) | X_ {t} = x] = E \ left [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {T}, T) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r) dr {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right]}

{\ displaystyle E [Y (T) | X_ {t} = x] = E \ left [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {T}, T) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {r}, r) dr {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right]}

și, în sfârșit:

f(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )d\tau }u(X_{s},s)ds{\Bigg |}X_{t}=x\right].

{\ displaystyle f (x, t) = E \ left [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) d \ tau} u (X_ {s }, s) ds {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right].}

{\ displaystyle f (x, t) = E \ left [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) d \ tau} u (X_ {s }, s) ds {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right].}

Bibliografie

( EN ) Barry Simon, Integrarea funcțională și fizica cuantică , Academic Press, 1979.
( EN ) BC Hall, The Quantum Theory for Mathematicians , Springer, 2013.
( EN ) Huyên Pham, Control stocastic continuu și optimizare cu aplicații financiare , Springer-Verlag, 2009.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică