Formula inversiunii Möbius

În matematică și în special în teoria numerelor , formula de inversare a lui Möbius leagă două funcții aritmetice , dintre care una este suma divizorilor celeilalte, prin funcția Möbius . A fost introdus de August Ferdinand Möbius în secolul al XIX-lea .

Se afirmă că dați două funcții aritmetice f și g , egalitate

f(n)=\sum _{d|n}g\left(d\right)

{\ displaystyle f (n) = \ sum _ {d | n} g \ left (d \ right)}

f (n) = \ sum _ {{d | n}} g \ left (d \ right)

este valabil dacă și numai dacă aveți

g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f\left({\frac {n}{d}}\right)

{\ displaystyle g (n) = \ sum _ {d | n} \ mu (d) f \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}

g (n) = \ sum _ {{d | n}} \ mu (d) f \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)

unde suma este extinsă la toți divizorii lui n și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este funcția Möbius.

Formula inversiunii Möbius poate fi generalizată la funcții variabile complexe .

Formula de convoluție și inversiune

Formula poate fi rescrisă prin operația de convoluție Dirichlet *: dacă g și f sunt funcții aritmetice atunci:

f=g*N_{0}

{\ displaystyle f = g * N_ {0}}

f = g * N_ {0}

dacă și numai dacă:

g=f*\mu

{\ displaystyle g = f * \ mu}

g = f * \ mu

unde este $N_{0}(n)=1$ ${\ displaystyle N_ {0} (n) = 1}$ $N_ {0} (n) = 1$ pentru fiecare n .

Acest punct de vedere oferă o modalitate simplă de a ajunge la dovadă: este suficient să dovedim asta $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ și N ₀ sunt inversul celuilalt în funcție de operația de convoluție, adică aceea

\left(\mu *N_{0}\right)\left(n\right)=\sum _{d|n}\mu \left(d\right)=\left\{{\begin{matrix}1\ {\mbox{se}}\ n\ {\mbox{=}}\ 1\\0\ {\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left (\ mu * N_ {0} \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {d | n} \ mu \ left (d \ right) = \ left \ {{\ begin { matrice} 1 \ {\ mbox {se}} \ n \ {\ mbox {=}} \ 1 \\ 0 \ {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

\ left (\ mu * N_ {0} \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {{d | n}} \ mu \ left (d \ right) = \ left \ {{\ begin {matrix } 1 \ {\ mbox {se}} \ n \ {\ mbox {=}} \ 1 \\ 0 \ {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.

Prima egalitate este pur și simplu definiția convoluției; al doilea se deduce cu ușurință din faptul că doar sumele divizoare ale lui n fără pătrate contribuie la însumare: dacă n are m factori primi distincti, contribuția la însumarea de către divizorii lui n fără pătrate cu j factori primi diferiți este ${m \choose j}\left(-1\right)^{j}$ ${\ displaystyle {m \ choose j} \ left (-1 \ right) ^ {j}}$ ${m \ alege j} \ left (-1 \ right) ^ {{j}}$ , prin urmare:

\left(\mu *N_{0}\right)\left(n\right)=\sum _{d|n}\mu \left(d\right)=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\left(-1\right)^{j}=\left(1-1\right)^{m}=0~~~~\forall ~n>1

{\ displaystyle \ left (\ mu * N_ {0} \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {d | n} \ mu \ left (d \ right) = \ sum _ {j = 0} ^ {m} {m \ alege j} \ left (-1 \ right) ^ {j} = \ left (1-1 \ right) ^ {m} = 0 ~~~~ \ forall ~ n> 1}

\ left (\ mu * N_ {0} \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {{d | n}} \ mu \ left (d \ right) = \ sum _ {{j = 0} } ^ {{m}} {m \ alege j} \ left (-1 \ right) ^ {{j}} = \ left (1-1 \ right) ^ {m} = 0 ~~~~ \ forall ~ n> 1

În acest moment este suficient să observăm că dacă $f=g*N_{0}$ ${\ displaystyle f = g * N_ {0}}$ $f = g * N_ {0}$ , apoi folosind convoluția pentru funcția Mobius pe ambele părți pe care le avem

f*\mu =g*N_{0}*\mu =g*(N_{0}*\mu )=g

{\ displaystyle f * \ mu = g * N_ {0} * \ mu = g * (N_ {0} * \ mu) = g}

f * \ mu = g * N_ {0} * \ mu = g * (N_ {0} * \ mu) = g

asta este teza. În ultimul pas, exploatăm faptul că funcția care este 1 pentru n = 1 și 0 pentru n > 1, complicată cu fiecare funcție f , dă același f .

A doua formulă de inversiune Mobius

Fie h o funcție aritmetică multiplicativă; asa de:

f\left(x\right)=\sum _{n\leq x}h\left(n\right)g\left({\frac {x}{n}}\right)

{\ displaystyle f \ left (x \ right) = \ sum _ {n \ leq x} h \ left (n \ right) g \ left ({\ frac {x} {n}} \ right)}

f \ left (x \ right) = \ sum _ {{n \ leq x}} h \ left (n \ right) g \ left ({\ frac {x} {n}} \ right)

dacă și numai dacă:

g\left(x\right)=\sum _{n\leq x}h^{-1}\left(n\right)f\left({\frac {x}{n}}\right)

{\ displaystyle g \ left (x \ right) = \ sum _ {n \ leq x} h ^ {- 1} \ left (n \ right) f \ left ({\ frac {x} {n}} \ right )}}

g \ left (x \ right) = \ sum _ {{n \ leq x}} h ^ {{- 1}} \ left (n \ right) f \ left ({\ frac {x} {n}} \ dreapta)

unde este $h^{-1}\left(n\right)$ ${\ displaystyle h ^ {- 1} \ left (n \ right)}$ $h ^ {{- 1}} \ left (n \ right)$ este inversul $h\left(n\right)$ ${\ displaystyle h \ left (n \ right)}$ $h \ left (n \ right)$ .

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 , (Capitolul 2.7)

linkuri externe

( EN ) Formula de inversiune Möbius , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică