Bună ordine
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , o ordine bună sau o ordine bună pe un set S este o relație de ordine pe S cu proprietatea că fiecare subset ne-gol al lui S are un element minim conform acestei ordine. Mulțimea S asociată cu ordinea bună se numește mulțime bine ordonată .
Descriere
De sine sunt două elemente ale întregului bine ordonat , întregul are un minim, prin urmare sau sau ; rezultă că o comandă bună este și o ordine totală .
Exemple:
- Ordinea standard a numerelor naturale este o ordine bună.
- Ordinea standard a numerelor întregi nu este o ordine bună deoarece, de exemplu, mulțimea numerelor negative nu are un element minim.
- Ordinea standard a numerelor reale pozitive nu este o ordine bună deoarece, de exemplu, intervalul (0,1) nu are element minim.
Într-un întreg bine ordonat, lanțurile descendente infinit de lungi nu pot exista. Folosind axioma de alegere se poate arăta că această proprietate este echivalentă cu proprietatea de a fi bine ordonată; este, de asemenea, în mod clar echivalent cu lema lui Zorn .
Mulțimea numerelor întregi negative nu este bine ordonată de relația mai mică decât , dar este încă posibil să se definească o relație diferită care ordonează bine numerele întregi negative. De exemplu, următoarea definiție oferă o relație care sortează bine numerele întregi negative: x < y , dacă | x | <| y | sau dacă | x | = | y | și x < y .
În orice set A ordonat, fiecare element x , dar cel mult unul (cel mai mare) are un succesor unic: cel mai mic element al unui mai mare decât x.
Cu toate acestea, nu fiecare element are un predecesor. Pot exista mai multe elemente care nu au un predecesor. De exemplu, luați în considerare setul constând în unirea a două copii ale numerelor naturale. Definim ordinea în așa fel încât fiecare element din a doua copie să fie mai mare decât fiecare element din prima copie, în timp ce în cadrul fiecărei copii folosim ordinea generată de relația mai mică decât . Acesta este un set bine ordonat și este de obicei notat cu ω + ω. Rețineți că fiecare element are un succesor, dar două elemente nu au un predecesor: zero din prima copie și zero din al doilea.
Dacă un set este bine ordonat, tehnica de inducție transfinită poate fi utilizată pentru a demonstra că o propoziție este adevărată pentru toate elementele setului.
Teorema bunei ordonări , care este echivalentă cu axioma de alegere , afirmă că orice set poate fi bine ordonat.
