Integrală Grassman

În fizica matematică , o integrală Grassman (sau o integrală Berezin) este o modalitate de a defini integrarea pentru funcțiile variabilelor Grassmann . Nu este o integrală în sensul lui Lebesgue : se numește integrare, deoarece are proprietăți analoge și deoarece este folosită în fizică ca o sumă de fermioni „pe cale”, ca o extensie a integrării pe cale . Tehnica a fost inventată de fizicianul David John Candlin în 1956 ^[1] , dar este uneori numită după matematicianul rus Felix Berezin, care a inclus-o într-un tratat în manualul său ^[2] .

Definiție

Integrala Berezin este definită ca o funcționalitate liniară , adică ^[3] :

\int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta

{\ displaystyle \ int [af (\ theta) + bg (\ theta)] \, d \ theta = a \ int f (\ theta) \, d \ theta + b \ int g (\ theta) \, d \ theta}

{\ displaystyle \ int [af (\ theta) + bg (\ theta)] \, d \ theta = a \ int f (\ theta) \, d \ theta + b \ int g (\ theta) \, d \ theta}

unde definim:

\int \theta \,d\theta =1

{\ displaystyle \ int \ theta \, d \ theta = 1}

{\ displaystyle \ int \ theta \, d \ theta = 1}

;

\int \,d\theta =0

{\ displaystyle \ int \, d \ theta = 0}

{\ displaystyle \ int \, d \ theta = 0}

;

astfel încât:

\int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} f (\ theta) \, d \ theta = 0.}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} f (\ theta) \, d \ theta = 0.}

Aceste proprietăți definesc integral integralul.

\int (a\theta +b)\,d\theta =a.

{\ displaystyle \ int (a \ theta + b) \, d \ theta = a.}

{\ displaystyle \ int (a \ theta + b) \, d \ theta = a.}

Aceasta este cea mai generală funcție, deoarece fiecare funcție omogenă a unei variabile Grassmann este fie constantă, fie liniară.

Numărul Grassmann

În fizica matematică , un număr Grassmann (numit un număr anticomutant ) este o cantitate $\theta _{i}$ ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ care anticommutes cu celelalte numere Grossmann, dar navete cu numere obișnuite $x_{j}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ $x_j$ ,

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i} \ qquad \ theta _ {i} x_ {j} = x_ {j} \ theta _ { }.}

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i} \ qquad \ theta _ {i} x_ {j} = x_ {j} \ theta _ { }.}

În special, pătratul unui număr Grassmann este zero:

\theta _{i}\theta _{i}=0.

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = 0.}

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = 0.}

Algebra generată de un set de numere Grassmann este cunoscută sub denumirea de algebră Grassmann (sau algebră externă ). Algebra Grassmann generată de n numere Grassmann liniar independente are dimensiunea 2 ⁿ . Aceste entități sunt numite după Hermann Grassmann . De exemplu, dacă n = 3, avem elementele liniar independente:

\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}

{\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}

{\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}

\theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3},\theta _{1}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2}, \ theta _ {2} \ theta _ {3}, \ theta _ {3}, \ theta _ {1}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2}, \ theta _ {2} \ theta _ {3}, \ theta _ {3}, \ theta _ {1}}

\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}

care împreună cu unitatea 1 formează un spațiu 2 ³ = 8-dimensional.

Algebra Grassman este exemplul prototip al algebrelor supercomutative. Acestea sunt algebre cu o descompunere în variabile pare și impare, care satisface o versiune gradată a comutativității (în special, elemente impare anticomutabile).

Reprezentarea matricei

Numerele Grassmann pot fi întotdeauna reprezentate prin matrici . Luați în considerare, de exemplu, algebra Grassmann generată de două numere Grassmann $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ Și $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ . Aceste numere pot fi reprezentate prin matrici 4 × 4:

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {1} \ theta _ {2} = - \ theta _ {2} \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix } 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {1} \ theta _ {2} = - \ theta _ {2} \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix } 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

În general, o algebră Grassmann cu n generatoare poate fi reprezentată prin 2 ⁿ × 2 ⁿ matrice pătrate. Fizic, aceste matrice pot fi considerate ca operatori de creație care acționează asupra unui spațiu Hilbert de n fermioni pe baza numărului de ocupație . Deoarece numărul de ocupație pentru fiecare fermion este fie 0, fie 1, există 2 ⁿ stări posibile. Matematic, aceste matrice pot fi interpretate ca operatori liniari care corespund multiplicării stânga a algebrei externe pe algebra Grassmann în sine.

Aplicații

Numerele Grassman sunt, de asemenea, importante în definiția supra-siguranței (sau superspațiului ), unde sunt folosite ca „coordonate anti-deplasare”, precum și definirea integralelor pentru variabilele Grassman, cunoscute sub numele de integrale Berezin .

Notă

^ DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
^ A. Berezin, The Method of Second Quantization , Academic Press, (1966)
^ A. Berezin, The Method of Second Quantization , New York, Academic Press, (1966)

Bibliografie

Theodore Voronov: Teoria integrării geometrice pe Supermanifolds , Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
A. Berezin, The Method of Second Quantization , Academic Press, (1966)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .

( RO ) Introducerea supersimetriei ^{[ link rupt ]} , MF Sohnius, 1985.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .

[2] A. Berezin, The Method of Second Quantization , Academic Press, (1966)

[3] A. Berezin, The Method of Second Quantization , New York, Academic Press, (1966)

[1]

[2]

[3]