Berezinian

În matematică și fizică teoretică , Berezinian sau superdeterminant este o generalizare a determinantului în cazul unui supermatrix . Numele derivă de la matematicianul Felix Berezin ^[1] . Berezinianul joacă un rol analog cu cel al determinantului în evaluarea modificărilor coordonatelor pentru integrări pe supraveghere ^[2] .

Definiție

Berezinianul este definit în mod unic prin definiția următoarelor două proprietăți ^[3] :

$\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ber} (XY) = \ operatorname {Ber} (X) \ operatorname {Ber} (Y)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ber} (XY) = \ operatorname {Ber} (X) \ operatorname {Ber} (Y)}$
$\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ber} (e ^ {X}) = e ^ {\ operatorname {str (X)}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ber} (e ^ {X}) = e ^ {\ operatorname {str (X)}}}$

unde cu str ( X ) denotăm supertrack-ul lui X. Spre deosebire de determinantul clasic, Berezinianul este definit doar pentru o supermatrică inversabilă.

Cel mai simplu caz de luat în considerare este berezinianul unei supermatrice cu valori într-un câmp K. Supermatricele de acest tip reprezintă transformări liniare ale unui superspațiu vectorial pe K. O formă particulară de supermatrică este o matrice bloc de tipul:

X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & D \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & D \ end {bmatrix}}}

Această matrice este inversabilă dacă și numai dacă A și D sunt matrice inversabile pe K. În acest caz particular, Berezinianul lui X este dat de:

\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}

{\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D) ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D) ^ {- 1}}

.

Motivul exponentului negativ derivă din formula de substituție în cazul integralelor Grassman .

Mai general, dacă luăm în considerare matricile scrise într-o algebră supercomutativă R, o supermatrică se scrie sub forma:

X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}}}

unde A și D sunt matrici simetrice , în timp ce B și C sunt matrice antisimetrice . Deoarece matricea X este inversabilă dacă și numai dacă A la D sunt inversabile într-un inel comutativ R ₀ (partea pară a subalgebrei lui R ). În acest caz, Berezinianul este dat de:

\operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}

{\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A-BD ^ {- 1} C) \ det (D) ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A-BD ^ {- 1} C) \ det (D) ^ {- 1}}

sau, echivalent, este:

\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.

{\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D-CA ^ {- 1} B) ^ {- 1}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D-CA ^ {- 1} B) ^ {- 1}.}

Aceste formule sunt bine definite deoarece sunt legate de determinanții matricilor ale căror elemente se află în inelul comutativ R ₀ .

Numărul Grassmann

În fizica matematică , un număr Grassmann (numit un număr anti-navetă ) este o cantitate $\theta _{i}$ ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ care anticommutes cu celelalte numere Grossmann, dar navete cu numere obișnuite $x_{j}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ $x_j$ ,

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i} \ qquad \ theta _ {i} x_ {j} = x_ {j} \ theta _ { }.}

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i} \ qquad \ theta _ {i} x_ {j} = x_ {j} \ theta _ { }.}

În special, pătratul unui număr Grassmann este zero:

\theta _{i}\theta _{i}=0.

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = 0.}

{\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = 0.}

Algebra generată de un set de numere Grassmann este cunoscută sub denumirea de algebră Grassmann (sau algebră externă ). Algebra Grassmann generată de n numere Grassmann liniar independente are dimensiunea 2 ⁿ . Aceste entități sunt numite după Hermann Grassmann . De exemplu, dacă n = 3, avem elementele liniar independente:

\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}

{\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}

{\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}

\theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3}\theta _{1}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2}, \ theta _ {2} \ theta _ {3}, \ theta _ {3} \ theta _ {1}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2}, \ theta _ {2} \ theta _ {3}, \ theta _ {3} \ theta _ {1}}

\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}

care împreună cu unitatea 1 formează un spațiu 2 ³ = 8-dimensional.

Algebra Grassman este exemplul prototip al algebrelor supercomutative. Acestea sunt algebre cu o descompunere în variabile pare și impare, care satisface o versiune gradată a comutativității (în special, elemente impare anticomutabile).

Reprezentarea matricei

Numerele Grassmann pot fi întotdeauna reprezentate prin matrici . Luați în considerare, de exemplu, algebra Grassmann generată de două numere Grassmann $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ Și $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ . Aceste numere pot fi reprezentate prin matrici 4 × 4:

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {1} \ theta _ {2} = - \ theta _ {2} \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix } 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ theta _ {1} \ theta _ {2} = - \ theta _ {2} \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix } 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

În general, o algebră Grassmann cu n generatoare poate fi reprezentată prin 2 ⁿ × 2 ⁿ matrice pătrate. Fizic, aceste matrice pot fi considerate ca operatori de creație care acționează asupra unui spațiu Hilbert de n fermioni pe baza numărului de ocupație . Deoarece numărul de ocupație pentru fiecare fermion este fie 0, fie 1, există 2 ⁿ stări posibile. Matematic, aceste matrice pot fi interpretate ca operatori liniari care corespund multiplicării stânga a algebrei externe pe algebra Grassmann în sine.

Notă

^ A. Berezin, The Method of Second Quantization , Academic Press, (1966)
^ DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
^ A. Berezin, The Method of Second Quantization , New York, Academic Press, (1966)

Bibliografie

Theodore Voronov: Teoria integrării geometrice pe Supermanifolds , Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
A. Berezin, The Method of Second Quantization , Academic Press, (1966)
VS Varadarajan, Supersimetrie pentru matematicieni: o introducere , Note de curs pentru cursuri în matematică 11 , Societatea Americană de Matematică, 2004, ISBN 0-8218-3574-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
( EN ) MF Sohnius, Introducing supersymmetry, pe sciencedirect.com , Elsevier BV, 1985. Accesat la 23 ianuarie 2021 (arhivat din original la 15 septembrie 2012) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] A. Berezin, The Method of Second Quantization , Academic Press, (1966)

[2] DJ Candlin, Despre sume peste Trajactorii pentru sisteme cu statistici Fermi , în Nuovo Cimento , vol. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .

[3] A. Berezin, The Method of Second Quantization , New York, Academic Press, (1966)

[1]

[2]

[3]