Supertrace

In teoria superalgebras , în cazul în care T este un supermatrix pătrat (sau o matrice bloc descompusă în părți pare și impare) de tipul:

T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle T = {\ begin {pmatrix} T_ {00} & T_ {01} \\ T_ {10} & T_ {11} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle T = {\ begin {pmatrix} T_ {00} & T_ {01} \\ T_ {10} & T_ {11} \ end {pmatrix}}}

Supertrace al T matricei este dată de:

str (T) = ordinare pista T _{0 0} - ordinare pista T _11.

Se poate demonstra că Supertrace nu depind de bază aleasă pentru supermatrix expres ^[1] .

Supermatrix

In Mathematica și în fizica teoretică , un supermatrix este similar cu un Z ₂ -graded unei ordinare matrice . În particular, un supermatrix este o matrice bloc 2 x 2 ale cărui elemente sunt legate de un superalgebra . Cele mai multe exemple importante sunt cele legate de o " algebră externă pe un obișnuit câmp .

De supermatrici au aplicații importante în domeniul supersimetriei .

Definiția supermatrix

Fie R un fix superalgebra la care este necesar ca ambele unitare și asociative (în general , este necesar ca ambele R supercommutativo ).

Dacă p, q, r și s sunt patru numere întregi non-negative, atunci o supermatrix de dimensiuni (r | s) x (p | q) este un element de matrice în R care are structura unui 2 x 2 matrice bloc :

X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle X = {\ begin {bmatrix} X_ {00} & X_ {01} \\ X_ {10} & X_ {11} \ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle X = {\ begin {bmatrix} X_ {00} & X_ {01} \\ X_ {10} & X_ {11} \ end {bmatrix}}}

cu un număr total de r + s de coloane și cu un număr total de p + q de coloane. O matrice obișnuită (non-gradate) poate fi gândită ca o supermatrix cu q și s fiind zero.

Un supermatrix pătrat este o matrice cu (r | s) = (p | q), acest lucru înseamnă că nu numai matricea X și un pătrat , dar , de asemenea , că matricile X ₀₀ și X ₁₁ blocuri sunt de asemenea pătrat.

Berezinian

În matematică și fizică teoretică , berezinian sau superdeterminante este o generalizare a determinantului în cazul unui supermatrix . Numele vine de la matematicianul Felix Berezin ^[1] . Berezinian joacă un rol similar cu cel al determinant în evaluarea modificărilor de coordonate pentru integrari pe o supervarietà ^[2] .

Definiția Berezinian

Berezinian este definită în mod unic prin definirea următoarelor două proprietăți ^[3] :

$\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Ber} (XY) = \ operatorname {Ber} (X) \ operatorname {Ber} (Y)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Ber} (XY) = \ operatorname {Ber} (X) \ operatorname {Ber} (Y)}$
$\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Ber} (e ^ {X}) = e ^ {\ operatorname {str (X)}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Ber} (e ^ {X}) = e ^ {\ operatorname {str (X)}}}$

unde cu str (X) denota X. Supertrace Spre deosebire de determinantul clasic, Berezinian este definit numai pentru un supermatrix inversabilă.

Cel mai simplu caz luat în considerare este un supermatrix berezinian cu valori într - un domeniu K. supermatrici acestui tip reprezintă transformări liniare ale unui superspatiu vector de K. O formă particulară de supermatrix este o matrice de blocuri de tip:

X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & D \ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & D \ end {bmatrix}}}

Această matrice este inversabilă dacă și numai dacă A și D sunt matrici inversabile ale K. În acest caz particular berezinian X este dată de:

\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}

{\ Displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D) ^ {- 1}}

{\ Displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D) ^ {- 1}}

.

Motivul pentru care vine de la exponent negativ al formulei de substituție în cazul integralelor Grassman .

Grassmann număr

În matematică Fizică , un număr de Grassmann (denumit număr anticommutante) este o cantitate $\theta _{i}$ ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ că anticommuta cu alte numere Grossmann, dar navete cu numere obișnuite $x_{j}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ $x_j$ ,

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.

{\ Displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i} \ prototipurilor \ theta _ {i} X_ {j} = X_ {j} \ theta _ { }.}

{\ Displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i} \ prototipurilor \ theta _ {i} X_ {j} = X_ {j} \ theta _ { }.}

În special, pătratul unui număr de Grassmann este zero:

\theta _{i}\theta _{i}=0.

{\ Displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = 0.}

{\ Displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = 0.}

L ' algebra generată de un set de numere este cunoscut sub numele de Grassmann Grassmann algebra (sau algebra exterior ). Algebra Grassmann generată de numere n liniar independente Grassmann are dimensiune ⁿ 2. Aceste entități sunt denumite Hermann Grassmann . De exemplu, în cazul în care n = 3, avem elemente liniar independente:

\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}

{\ Displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}

{\ Displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}

\theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3},\theta _{1}

{\ Displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2}, \ theta _ {2} \ theta _ {3}, \ theta _ {3}, \ theta _ {1}}

{\ Displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2}, \ theta _ {2} \ theta _ {3}, \ theta _ {3}, \ theta _ {1}}

\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}

{\ Displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}

{\ Displaystyle \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}

care , împreună cu unitatea 1, formând un spațiu 2 ³ = 8-dimensional.

algebra Grassman este exemplul prototip al algebre supercommutative. Acestea sunt algebrele cu o descompunere în variabile pare și impare care satisface o versiune gradată a proprietății comutative (în special elemente impare anticommutano).

Reprezentarea Matrix

Numerele Grassmann pot fi întotdeauna reprezentate prin matrici . Luați în considerare, de exemplu, " Grassmann algebra generată de două numere Grassmann $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ Și $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ . Aceste numere pot fi reprezentate de 4 × 4 matrici:

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ prototipurilor \ theta _ {} = {\ begin {2} bmatrix 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ prototipurilor \ theta _ {1} \ theta _ {} = 2 - \ theta _ {} \ theta _ {1} = {\ begin 2 {bmatrix } 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ prototipurilor \ theta _ {} = {\ begin {2} bmatrix 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ prototipurilor \ theta _ {1} \ theta _ {} = 2 - \ theta _ {} \ theta _ {1} = {\ begin 2 {bmatrix } 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

In general, o algebra Grassmann cu n generatoare poate fi reprezentat de 2 ⁿ x 2 ⁿ matrici pătrate. Fizic aceste matrici pot fi considerate ca operatori de creare de agenți pe un spațiu Hilbert de n fermioni în baza a numerelor de angajare . Deoarece numărul de ocupare pentru fiecare fermion este fie 0 sau 1, există 2 stări ⁿ posibile. Matematic, aceste matrice pot fi interpretate ca operatori liniari corespunzători multiplicarea stânga a " exterior algebra algebra Grassmann aceeași.

Notă

^ ^A ^b A. Berezin, Metoda A doua Quantizare, Academic Press, (1966)
^ Candlin DJ, pe Sumelor peste Trajactories pentru sisteme cu Fermi Statistică , în Nuovo Cimento, voi. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
^ A. Berezin, metoda de a doua Quantizare, New York, Academic Press, (1966)

Bibliografie

Theodore Voronov: Teoria integrării geometrică pe Supermanifolds, Harwood Academic Publishers, ISBN 3-7186-5199-8
DJ Candlin, pentru sumele de peste Trajactories pentru sisteme cu Fermi Statistică , în Nuovo Cimento, voi. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .
A. Berezin, metoda de a doua Quantizare, Academic Press, (1966)
VS Varadarajan, Supersimetria pentru Matematicieni: O introducere, note de curs Courant în matematică 11, American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3574-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Candlin DJ, pe Sumelor peste Trajactories pentru sisteme cu Fermi Statistica , în Nuovo Cimento, voi. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .

( EN ) Introducerea supersimetria ^{[ link rupt ],} MF Sohnius, 1985.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[ref_A-1] A ^b A. Berezin, Metoda A doua Quantizare, Academic Press, (1966)

[2] Candlin DJ, pe Sumelor peste Trajactories pentru sisteme cu Fermi Statistică , în Nuovo Cimento, voi. 4, 1956, p. 224, DOI : 10.1007 / BF02745446 .

[3] A. Berezin, metoda de a doua Quantizare, New York, Academic Press, (1966)

[1]

[2]

[3]