A câștigat Australian Open de două ori la simplu, dar este amintit în principal pentru rezultatele obținute la dublu masculin, împreună cu Adrian Quist a câștigat 8 titluri consecutive la Campionatele Australiene. În 1948 Bromwich a jucat finala de la Wimbledon împotriva lui Bob Falkenburg și a avut ocazia să câștige jocul cu un punct de meci de 5-3 în setul al cincilea. El a venit în plasă, dar a decis să lase șutul lui Falkenburg să fie convins că va ieși, dar șutul a rămas în teren, în restul jocului a mai pierdut încă două puncte de meci, dar Falkenburg a reușit să câștige titlul după ce a câștigat patru jocuri consecutive. Bromwich și-a revanșat anul următor eliminând pe Falkenburg în sferturile de finală din același turneu cu o victorie în cinci seturi. A fost introdus în Sala Internațională a Tenisului Famei în 1984.