Limită ultra-relativistă

Grafic al factorului Lorentz în funcție de viteză. Poate fi văzut ca deja cu

\gamma =2

{\ displaystyle \ gamma = 2}

{\ displaystyle \ gamma = 2}

viteza este comparabilă cu cea a luminii.

În fizică , o particulă se numește ultra-relativistă atunci când viteza sa este foarte apropiată de viteza luminii c .

Expresia energiei relativiste a unei particule cu masa de repaus m și impuls p este dată de

E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}.

{\ displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}.}

{\ displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}.}

Energia unei particule ultra-relativiste se datorează aproape complet impulsului său ( $pc\gg mc^{2}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ), prin urmare poate fi aproximat prin E = pc. Acest rezultat poate fi obținut prin menținerea masei fixe și creșterea cu mult p (cazul obișnuit); sau puteți menține energia fixă și puteți considera masa neglijabilă. A doua este utilizată pentru a deriva orbitele particulelor cu masă zero, cum ar fi fotonul, din cele ale particulelor masive (a se vedea problema lui Kepler în relativitate generală ).

În general, limita ultrarelativistă a unei expresii este expresia simplificată pe care o presupune $pc\gg mc^{2}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ . Sau, în mod similar, este limita pentru factorul Lorentz foarte mare: ^[1]

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\gg 1

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ gg 1}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ gg 1}

Expresie cu valoarea masei

Deși este posibil să se utilizeze aproximarea $E=pc$ ${\ displaystyle E = pc}$ $E = buc$ , aceasta ignoră toate informațiile de masă. În unele cazuri, chiar și cu $p\gg m$ ${\ displaystyle p \ gg m}$ ${\ displaystyle p \ gg m}$ , masa nu poate fi ignorată, ca și în derivarea oscilației neutrinului . O modalitate ușoară de a păstra informațiile de masă este de a utiliza o serie Taylor mai degrabă decât o simplă limită. Se presupune următoarea derivare $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ (și limita ultrarelativistă $pc\gg mc^{2}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ). Fără pierderea generalității, același lucru poate fi dovedit prin includerea termenilor cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

Derivare

$E=(p^{2}+m^{2})^{1/2}$ ${\ displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$
$E=p\left(1+{\frac {m^{2}}{p^{2}}}\right)^{1/2}$ ${\ displaystyle E = p \ left (1 + {\ frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle E = p \ left (1 + {\ frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}$

Expresia generică $(1+x)^{1/2}$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ poate fi dezvoltat împreună cu Taylor, obținând:

$(1+x^{2})^{1/2}=1+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}+\cdots$ ${\ displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} + \ cdots}$ ${\ displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} + \ cdots}$

Folosind doar primii doi termeni, acest lucru poate fi înlocuit în expresia de mai sus (cu ${\frac {m}{p}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {p}}}$ ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ), cum ar fi:

{\begin{aligned}E&=p\left(1+{\frac {m^{2}}{2p^{2}}}\right)\\&=p+{\frac {m^{2}}{2p}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} E & = p \ left (1 + {\ frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}} \ right) \\ & = p + {\ frac {m ^ {2}} {2p}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} E & = p \ left (1 + {\ frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}} \ right) \\ & = p + {\ frac {m ^ {2}} {2p}} \ end {align}}}

Aproximări ultra-relativiste

Mai jos sunt câteva aproximări ultrarelativiste în unități cu c = 1. Rapiditatea este notată cu φ:

$1-v\approx {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}$ ${\ displaystyle 1-v \ approx {\ frac {1} {2 \ gamma ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle 1-v \ approx {\ frac {1} {2 \ gamma ^ {2}}}}$
$E-p=E(1-v)\approx {\frac {m^{2}}{2E}}={\frac {m}{2\gamma }}$ ${\ displaystyle Ep = E (1-v) \ approx {\ frac {m ^ {2}} {2E}} = {\ frac {m} {2 \ gamma}}}$ ${\ displaystyle E-p = E (1-v) \ approx {\ frac {m ^ {2}} {2E}} = {\ frac {m} {2 \ gamma}}}$
$\varphi \approx \ln(2\gamma )$ ${\ displaystyle \ varphi \ approx \ ln (2 \ gamma)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ approx \ ln (2 \ gamma)}$
Mișcare cu accelerare proprie constantă: $d\approx e^{a\tau }/(2a)$ ${\ displaystyle d \ approx e ^ {a \ tau} / (2a)}$ ${\ displaystyle d \ approx e ^ {a \ tau} / (2a)}$ , unde d este distanța parcursă, $a={\frac {d\varphi }{d\tau }}$ ${\ displaystyle a = {\ frac {d \ varphi} {d \ tau}}}$ ${\ displaystyle a = {\ frac {d \ varphi} {d \ tau}}}$ este accelerarea corectă (cu $a\tau \gg 1$ ${\ displaystyle a \ tau \ gg 1}$ ${\ displaystyle a \ tau \ gg 1}$ ), τ este timpul potrivit, iar deplasarea începe de la repaus și fără a schimba direcția accelerației.
Coliziune cu o țintă fixă cu mișcare ultrarelativistă a centrului de masă: $E_{\text{CM}}={\sqrt {2E_{1}E_{2}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {CM}} = {\ sqrt {2E_ {1} E_ {2}}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {CM}} = {\ sqrt {2E_ {1} E_ {2}}}}$ unde E ₁ și E ₂ sunt energiile particulei și ale țintei (deci $E_{1}\gg E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {1} \ gg E_ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {1} \ gg E_ {2}}$ ), Și $E_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {CM}}}$ este energia din sistemul de referință al centrului de masă.

Precizia aproximării

Pentru calculele energiei unei particule, eroarea relativă a limitei ultrarelativiste cu viteza v = 0,95 c este de aproximativ 10%, iar cu v = 0,99 c este de doar 2%. Pentru particule precum neutrinii , care γ ( factorul Lorentz ) sunt de obicei peste $10^{6}$ ${\ displaystyle 10 ^ {6}}$ $10 ^ {6}$ (prin urmare, v nu se distinge practic de c ), aproximarea este în esență exactă.

Alte limite

Cazul opus ( $pc\ll mc^{2}$ ${\ displaystyle pc \ ll mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle pc \ ll mc ^ {2}}$ ) este așa-numita particulă clasică, care are o viteză mult mai mică decât c și, prin urmare, energia sa poate fi aproximată cu