Matricea elementară

În algebra liniară , o matrice elementară indică în general o matrice pătrată de un anumit tip, utilă în unele algoritmi precum algoritmul Gauss sau factorizările LU și QR .

Definiție

În cea mai mare generalitate, o matrice elementară este o matrice pătrată cu coeficienți reali sau complexi , de tipul

I+A

{\ displaystyle I + A}

{\ displaystyle I + A}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea de identitate e $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice cu rang cel mult unul. Cu alte cuvinte, coloanele (sau rândurile) din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ toate sunt multiple între ele, de exemplu:

A={\begin{bmatrix}1&-2&0\\1&-2&0\\4&-8&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 4 & -8 & 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 4 & -8 & 0 \ end {bmatrix}}}

Echivalent, $A=uv^{T}$ ${\ displaystyle A = uv ^ {T}}$ ${\ displaystyle A = uv ^ {T}}$ este produsul a doi vectori, primul $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ coloana și a doua $v^{T}$ ${\ displaystyle v ^ {T}}$ ${\ displaystyle v ^ {T}}$ rând (pentru că $v^{T}$ ${\ displaystyle v ^ {T}}$ ${\ displaystyle v ^ {T}}$ indică transpunerea $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ). În exemplu, avem

A={\begin{bmatrix}1\\1\\4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-2&0\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & -2 & 0 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & -2 & 0 \ end {bmatrix}}.}

Prin urmare, este convenabil să se exprime o matrice elementară, cum ar fi

E(\alpha ,u,v)=I+\alpha uv^{T},

{\ displaystyle E (\ alpha, u, v) = I + \ alpha uv ^ {T},}

{\ displaystyle E (\ alpha, u, v) = I + \ alpha uv ^ {T},}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este un coeficient (real sau complex) e $tu, v$ ${\ displaystyle u, v}$ ${\ displaystyle u, v}$ sunt vectori diferiți de zero.

Proprietate

Principalele proprietăți ale matricilor elementare sunt:

Dacă numărul $\alpha v^{t}u$ ${\ displaystyle \ alpha v ^ {t} u}$ ${\ displaystyle \ alpha v ^ {t} u}$ este diferit de unul, matricea $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este inversabil și inversul său este $E(\beta ,u,v)$ ${\ displaystyle E (\ beta, u, v)}$ ${\ displaystyle E (\ beta, u, v)}$ cu
$\beta ={\frac {\alpha }{\alpha v^{t}u-1}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ alpha} {\ alpha v ^ {t} u-1}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ alpha} {\ alpha v ^ {t} u-1}}}$ .
dat doi vectori $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ nu nul, există o matrice elementară $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ astfel încât $Ex=y$ ${\ displaystyle Ex = y}$ ${\ displaystyle Ex = y}$ .

Matrice elementare Gauss

Matricile elementare gaussiene sunt matrici elementare foarte simple, definite pentru a interpreta mișcările gaussiene camultiplicare cu o matrice . Sunt de trei tipuri, fiecare corespunzând unui tip de mutare.

Schimb de linii

Matricea $T_{i,j}$ ${\ displaystyle T_ {i, j}}$ ${\ displaystyle T_ {i, j}}$ se obține din matricea identității prin schimbarea rândurilor $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -al și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -th:

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}

} \\} &&&& b & b &&& 1 &&}

} \\} &&&& b & b &&& 1 &&}

Poate fi definit și ca

T_{i,j}=E(1,e_{i}+e_{j},e_{i}+e_{j})

{\ displaystyle T_ {i, j} = E (1, e_ {i} + e_ {j}, e_ {i} + e_ {j})}

{\ displaystyle T_ {i, j} = E (1, e_ {i} + e_ {j}, e_ {i} + e_ {j})}

unde este

e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)

{\ displaystyle e_ {i} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)}

{\ displaystyle e_ {i} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)}

este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -al vectorul bazei canonice .

Înmulțirea unei linii cu un scalar

În mod similar, $T_{i}(m)$ ${\ displaystyle T_ {i} (m)}$ ${\ displaystyle T_ {i} (m)}$ se obține din matricea identității prin înmulțirea rândului $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea pentru un număr $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&m&&&&\\&&&&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}

} && b & b & b

} && b & b & b

Poate fi definit și ca

T_{i}(m)=E(m-1,e_{i},e_{i}).

{\ displaystyle T_ {i} (m) = E (m-1, e_ {i}, e_ {i}).}

{\ displaystyle T_ {i} (m) = E (m-1, e_ {i}, e_ {i}).}

Combinație liniară

Matricea $T_{i,j}(m)$ ${\ displaystyle T_ {i, j} (m)}$ ${\ displaystyle T_ {i, j} (m)}$ se obține din matricea identității prin adăugarea la rând $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea linie $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a înmulțit cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

T_{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle T_ {i, j} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&&& \\ & \ ddots &&&&&& \\ && 1 &&&&&\\&&& ddots &&&& \\ && m && 1 && \\ &&&&&&& dd & \\ &&&& 1 &&& bmatrix}}}

{\ displaystyle T_ {i, j} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&&& \\ & \ ddots &&&&&& \\ && 1 &&&&&\\&&& ddots &&&& \\ && m && 1 && \\ &&&&&&& dd & \\ &&&& 1 &&& bmatrix}}}

Poate fi definit și ca

T_{i,j}(m)=E(m,e_{j},e_{i}).

{\ displaystyle T_ {i, j} (m) = E (m, e_ {j}, e_ {i}).}

{\ displaystyle T_ {i, j} (m) = E (m, e_ {j}, e_ {i}).}

Relația cu algoritmul Gauss

De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este orice matrice cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rânduri, apoi matricele $T_{i,j}M,T_{i}(m)M,T_{i,j}(m)M$ ${\ displaystyle T_ {i, j} M, T_ {i} (m) M, T_ {i, j} (m) M}$ ${\ displaystyle T_ {i, j} M, T_ {i} (m) M, T_ {i, j} (m) M}$ sunt matricile obținute din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ operând mișcările Gauss corespunzătoare.

Matrici elementare ale gospodăriei

Același subiect în detaliu: Transformarea gospodăriilor .

O matrice Householder este o matrice elementară de acest tip $E(2,v,v)$ ${\ displaystyle E (2, v, v)}$ ${\ displaystyle E (2, v, v)}$ unde este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este un vector al normei unu.

Matricile elementare ale Householder sunt utile pentru definirea transformărilor Householder și, prin urmare, factorizarea QR .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică