Metoda diferenței finite

În matematică , metoda diferenței finite este o strategie utilizată pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale care, în variantele sale, se bazează pe aproximarea derivatelor cu ecuațiile diferenței finite . Este utilizat în principal pentru ecuații diferențiale obișnuite , chiar dacă metoda este utilizată ca flux în diagrama de timp pentru PDE-uri cu probleme.

Derivarea din polinomul Taylor

Să luăm în considerare o funcție ale cărei derivate trebuie aproximate și să presupunem că, datorită teoremei lui Taylor , putem construi seria lui Taylor :

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x)

{\ displaystyle f (x_ {0} + h) = f (x_ {0}) + {\ frac {f '(x_ {0})} {1!}} h + {\ frac {f ^ {(2 )} (x_ {0})} {2!}} h ^ {2} + \ cdots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} h ^ {n } + R_ {n} (x)}

f (x_ {0} + h) = f (x_ {0}) + {\ frac {f '(x_ {0})} {1!}} h + {\ frac {f ^ {{(2)} } (x_ {0})} {2!}} h ^ {2} + \ cdots + {\ frac {f ^ {{(n)}} (x_ {0})} {n!}} h ^ { n} + R_ {n} (x)

unde este $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ denotă factorialul de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , in timp ce $R_{n}(x)$ ${\ displaystyle R_ {n} (x)}$ $R_n (x)$ este un termen care denotă diferența dintre funcția originală și polinomul Taylor de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Apoi derivăm aproximarea pentru prima derivată a lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ trunchierea polinomului:

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x)

{\ displaystyle f (x_ {0} + h) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) h + R_ {1} (x)}

f (x_ {0} + h) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) h + R_ {1} (x)

Prin plasare $x_{0}=a$ ${\ displaystyle x_ {0} = a}$ $x_ {0} = a$ avem:

f(a+h)=f(a)+f'(a)h+R_{1}(x),

{\ displaystyle f (a + h) = f (a) + f '(a) h + R_ {1} (x),}

f (a + h) = f (a) + f '(a) h + R_ {1} (x),

Dividend de $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ :

{f(a+h) \over h}={f(a) \over h}+f'(a)+{R_{1}(x) \over h}

{\ displaystyle {f (a + h) \ over h} = {f (a) \ over h} + f '(a) + {R_ {1} (x) \ over h}}

{f (a + h) \ peste h} = {f (a) \ peste h} + f '(a) + {R_ {1} (x) \ peste h}

și rezolvarea în funcție de f '(a):

f'(a)={f(a+h)-f(a) \over h}-{R_{1}(x) \over h}

{\ displaystyle f '(a) = {f (a + h) -f (a) \ peste h} - {R_ {1} (x) \ peste h}}

f '(a) = {f (a + h) -f (a) \ peste h} - {R_ {1} (x) \ peste h}

Dacă presupunem că $R_{1}(x)$ ${\ displaystyle R_ {1} (x)}$ $R_ {1} (x)$ este suficient de mică, aproximarea pentru prima derivată a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și:

f'(a)\approx {f(a+h)-f(a) \over h}

{\ displaystyle f '(a) \ approx {f (a + h) -f (a) \ over h}}

f '(a) \ approx {f (a + h) -f (a) \ peste h}

Ordinea convergenței și diferențele finite compacte

Același subiect în detaliu: Coeficienții metodei diferenței finite .

Dacă funcția $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este destul de regulat, poate fi scris ca o serie Taylor cu restul în forma Lagrange:

u(x+h)=u(x)+hu'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}u''(y)

{\ displaystyle u (x + h) = u (x) + hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(y)}

u (x + h) = u (x) + hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(y)

Prin urmare, conducerea $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ la primul membru și împărțind la $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ obținem că aproximarea lui $u'(x)$ ${\ displaystyle u '(x)}$ $tu (x)$ dat anterior are o eroare de ordinul unu cu privire la $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . Dacă funcția este mai regulată, poate fi dezvoltată de exemplu $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ în ordinea a doua serie Taylor atât înainte, cât și înapoi:

u(x+h)=u(x)+hu'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}u''(x)+{\frac {h^{3}}{6}}u'''(y)

{\ displaystyle u (x + h) = u (x) + hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {h ^ {3 }} {6}} u '' '(y)}

u (x + h) = u (x) + hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {h ^ {3}} { 6}} u '' '(y)

u(x-h)=u(x)-hu'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}u''(x)-{\frac {h^{3}}{6}}u'''(z)

{\ displaystyle u (xh) = u (x) -hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(x) - {\ frac {h ^ {3}} {6}} u '' '(z)}

u (xh) = u (x) -hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(x) - {\ frac {h ^ {3}} {6} } u '' '(z)

unde este $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este între $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x+h$ ${\ displaystyle x + h}$ $x + h$ in timp ce $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ stă între $x-h$ ${\ displaystyle xh}$ $x-h$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Dacă luăm acum în considerare diferența dintre prima și a doua ecuații, obținem diferența finită centrată pentru prima derivată:

u'(x)\,

{\ displaystyle u '(x) \,}

u '(x) \,

=

{\frac {u(x+h)-u(x-h)}{2h}}+{\frac {h^{2}}{12}}(u'''(y)+u'''(z))

{\ displaystyle {\ frac {u (x + h) -u (xh)} {2h}} + {\ frac {h ^ {2}} {12}} (u '' '(y) + u' ' „(z))}

{\ frac {u (x + h) -u (xh)} {2h}} + {\ frac {h ^ {2}} {12}} (u '' '(y) + u' '' (z )))

care se vede a fi de ordinul doi în ceea ce privește $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Se poate generaliza ideea și se poate gândi să luăm o combinație liniară a expansiunilor seriei Taylor $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în puncte de genul $(x+nh)$ ${\ displaystyle (x + nh)}$ $(x + nh)$ , aranjând coeficienții combinației liniare în așa fel încât să elimine excesul de termeni și să păstreze doar cel relativ la derivată care trebuie aproximat, și termenul de grad superior (care dă ordinea convergenței).

Până acum am vorbit despre diferențe finite clasice , dar pot fi construite și alte scheme, numite diferențe finite compacte , care pot fi utilizate pentru a aproxima derivate de orice ordin, atâta timp cât presupunem $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ destul de regulat, pentru a avea disponibil un număr suficient de noduri în care sunt cunoscute valorile lui u și ale derivatelor sale.

Exemplu

Vrem să aproximăm a doua derivată cu o precizie de ordinul 2. Prin urmare, este scrisă

u(x+h)=u(x)+hu'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}u''(x)+{\frac {h^{3}}{6}}u'''(x)+{\frac {h^{4}}{24}}u''''(y)

{\ displaystyle u (x + h) = u (x) + hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {h ^ {3 }} {6}} u '' '(x) + {\ frac {h ^ {4}} {24}} u' '' '(y)}

u (x + h) = u (x) + hu '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {h ^ {3}} { 6}} u '' '(x) + {\ frac {h ^ {4}} {24}} u' '' '(y)

u(x+2h)=u(x)+2hu'(x)+{\frac {4h^{2}}{2}}u''(x)+{\frac {8h^{3}}{6}}u'''(x)+{\frac {16h^{4}}{24}}u''''(z)

{\ displaystyle u (x + 2h) = u (x) + 2hu '(x) + {\ frac {4h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {8h ^ {3 }} {6}} u '' '(x) + {\ frac {16h ^ {4}} {24}} u' '' '(z)}

u (x + 2h) = u (x) + 2hu '(x) + {\ frac {4h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {8h ^ {3}} { 6}} u '' '(x) + {\ frac {16h ^ {4}} {24}} u' '' '(z)

u(x+3h)=u(x)+3hu'(x)+{\frac {9h^{2}}{2}}u''(x)+{\frac {27h^{3}}{6}}u'''(x)+{\frac {81h^{4}}{24}}u''''(w)

{\ displaystyle u (x + 3h) = u (x) + 3hu '(x) + {\ frac {9h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {27h ^ {3 }} {6}} u '' '(x) + {\ frac {81h ^ {4}} {24}} u' '' '(w)}

u (x + 3h) = u (x) + 3hu '(x) + {\ frac {9h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {27h ^ {3}} { 6}} u '' '(x) + {\ frac {81h ^ {4}} {24}} u' '' '(w)

u(x+4h)=u(x)+4hu'(x)+{\frac {16h^{2}}{2}}u''(x)+{\frac {64h^{3}}{6}}u'''(x)+{\frac {256h^{4}}{24}}u''''(q)

{\ displaystyle u (x + 4h) = u (x) + 4hu '(x) + {\ frac {16h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {64h ^ {3}} {6}} u '' '(x) + {\ frac {256h ^ {4}} {24}} u' '' '(q)}

u (x + 4h) = u (x) + 4hu '(x) + {\ frac {16h ^ {2}} {2}} u' '(x) + {\ frac {64h ^ ​​{3} } {6}} u '' '(x) + {\ frac {256h ^ {4}} {24}} u' '' '(q)

Înmulțind prima ecuație cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , al doilea pentru $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , al treilea pentru $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , al patrulea pentru $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ; și apoi adăugând, obținem (pentru simplitatea notării este indicat cu $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}}$ valoarea a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în $x+nh$ ${\ displaystyle x + nh}$ $x + nh$ ):

au_{1}+bu_{2}+cu_{3}+du_{4}=(a+b+c+d)u_{0}+(a+2b+3c+4d)hu'_{0}+(a+4b+9c+16d){\frac {h^{2}}{2}}u''_{0}

{\ displaystyle au_ {1} + bu_ {2} + cu_ {3} + du_ {4} = (a + b + c + d) u_ {0} + (a + 2b + 3c + 4d) hu '_ { 0} + (a + 4b + 9c + 16d) {\ frac {h ^ {2}} {2}} u '' _ {0}}

au_ {1} + bu_ {2} + cu_ {3} + du_ {4} = (a + b + c + d) u_ {0} + (a + 2b + 3c + 4d) hu '_ {0} + (a + 4b + 9c + 16d) {\ frac {h ^ {2}} {2}} u '' _ {0}

+(a+8b+27c+64d){\frac {h^{3}}{6}}u'''_{0}+a{\frac {h^{4}}{24}}u''''(y)+b{\frac {16h^{4}}{24}}u''''(z)+c{\frac {81h^{4}}{24}}u''''(w)+d{\frac {256h^{4}}{24}}u''''(q)

{\ displaystyle + (a + 8b + 27c + 64d) {\ frac {h ^ {3}} {6}} u '' '_ {0} + a {\ frac {h ^ {4}} {24} } u '' '' (y) + b {\ frac {16h ^ {4}} {24}} u '' '' (z) + c {\ frac {81h ^ {4}} {24}} u '' '' (w) + d {\ frac {256h ^ {4}} {24}} u '' '' (q)}

+ (a + 8b + 27c + 64d) {\ frac {h ^ {3}} {6}} u '' '_ {0} + a {\ frac {h ^ {4}} {24}} u' '' '(y) + b {\ frac {16h ^ {4}} {24}} u' '' '(z) + c {\ frac {81h ^ {4}} {24}} u' '' '(w) + d {\ frac {256h ^ {4}} {24}} u' '' '(q)

Acum trebuie să impunem că numai termenul relativ la al doilea derivat rămâne în al doilea membru, deci anulăm toți coeficienții pentru celelalte derivate. Prin urmare, apare: