Jumătate din spațiul lui Poincaré

Teselarea heptagonală a modelului.

Demi-spațiul Poincaré este un model de geometrie hiperbolică , descris de matematicianul francez Jules Henri Poincaré . Un alt model cu caracteristici similare este discul Poincaré .

Definiție

Jumătatea spațiului Poincaré este jumătatea spațiului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional

H^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}

{\ displaystyle H ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ x_ {n}> 0 \}}

{\ displaystyle H ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ x_ {n}> 0 \}}

echipat cu tensorul metric

ds^{2}={\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{x_{n}^{2}}}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {x_ {n} ^ {2}}}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {x_ {n} ^ {2}}}.}

Cu alte cuvinte, tensorul metric la punct $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ Și

g_{ij}={\frac {1}{x_{n}^{2}}}\delta _{ij}

{\ displaystyle g_ {ij} = {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle g_ {ij} = {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} \ delta _ {ij}}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este delta Kronecker . Acesta este

g={\frac {1}{x_{n}^{2}}}I

{\ displaystyle g = {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} I}

{\ displaystyle g = {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} I}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identității $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Prin urmare, este tensorul metric euclidian obișnuit, redimensionat de un factor pozitiv

{\frac {1}{x_{n}^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}}}

care depinde de punct și care tinde spre infinit dacă punctul se apropie de hiperplan $x_{n}=0$ ${\ displaystyle x_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {n} = 0}$ .

Proprietate

Tensorul metric este definit pozitiv în fiecare punct: jumătatea spațiului Poincaré este, prin urmare, o varietate Riemanniană de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Prin urmare, conceptele de distanță , geodezie și unghi sunt definite pe o varietate riemanniană. Printr-o inversare circulară adecvată, se poate construi cu ușurință un izomorfism între acest model și discul Poincaré .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Poincaré's half-space , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică