Curry paradox

Paradoxul lui Curry este un paradox al teoriei naive a mulțimilor și își datorează numele matematicianului și logicianului american Haskell Curry care l-a publicat în 1942. Se bazează pe construcția unei afirmații autoreferențiale din care poate fi dedus, prin înseamnă câteva reguli simple de inferență , enunțul în sine și orice altă propoziție.

Dezvoltare

Paradoxul constă în afirmarea unei propoziții precum: „Dacă această propoziție este adevărată, atunci Moș Crăciun există”. În primul rând, este necesar să se ia în considerare faptul că această propoziție este de tip autoreferențial , adică termenul „această propoziție” conținut în aceasta este destinat să indice întreaga expresie. În esență, este vorba de formularea afirmației A, unde prin A înțelegem propoziția „Dacă A este adevărat, atunci Moș Crăciun există”. Folosind regulile logicii de prim ordin , pare ușor să arătăm cum această afirmație poate fi adevărată doar.

Procedați după cum urmează:

Să presupunem că afirmația A, care are forma Φ → Ψ ([antecedent =] A este adevărat → [consecvent =] Moș Crăciun există), este falsă. Dar o afirmație de forma Φ → Ψ este falsă dacă și numai dacă Φ este adevărat și Ψ este fals. Prin urmare, A este fals dacă și numai dacă antecedentul „A este adevărat” este adevărat și „Moș Crăciun există” care rezultă este fals. Dar argumentarea faptului că antecedentul „A este adevărat” este adevărat echivalează cu definirea lui A drept adevărat, iar acest lucru contrazice ipoteza de pornire. Prin urmare, trebuie să concluzionăm că afirmația A este adevărată. Deci, prin modus ponens, spunem că „Moș Crăciun există”. De fapt, într-o adevărată formulă condițională în care antecedentul este adevărat, consecința este, de asemenea, adevărată. De asemenea, este evident că expresia „Moș Crăciun există” poate fi înlocuită cu orice propoziție B, care face orice afirmație.

Interpretarea matematică

Paradoxul lui Curry este sursa a numeroase probleme și perspective interesante în domeniul logicii matematice . Într-adevăr, oferind o metodă de demonstrare a oricărei teoreme, ar părea să constituie dovada inconsecvenței și a naturii contradictorii a multor teorii axiomatice . Acest lucru se datorează faptului că aproape fiecare sistem formal este, prin natura sa, supus legilor (cel puțin) logicii de ordinul întâi și tocmai din acestea își are originea paradoxul. Afirmația în cauză este prezentată ca o afirmație adevărată a priori, adică nu necesită nicio demonstrație pornind de la ipotezele anterioare. Astfel este adevărat pretutindeni, numai în virtutea sa, oricare ar fi postulatele sistemului. Din el putem deduce apoi afirmația B („Moș Crăciun există”) și afirmația negativă a lui B („Moș Crăciun nu există”) ca fiind adevărate. Numai acest lucru ar fi suficient, datorită teoremei pseudo-Scotului , pentru a genera un număr infinit de contradicții. Dar, de fapt, nici măcar nu pare necesar: este suficient să se aplice paradoxul la fiecare propoziție și, ulterior, la negarea acesteia pentru a face teoria matematică luată în considerare complet inutilă. Este evident că un sistem formal contradictoriu în care totul este arătat și opusul tuturor nu este de nici un folos. Pentru a depăși această dificultate, am recurs, așadar, la redefinirea chiar a principiilor logicii matematice și a teoriei mulțimilor , limitându-ne în mod adecvat câmpul de validitate; adică, pentru a elimina paradoxul, am intervenit în premisele acestora, făcându-le mai restrictive, astfel încât să prevenim unele dintre condițiile esențiale pentru originea antinomiei. De fapt, este posibil să se interzică anumite forme de autoreferențialitate sau, mai simplu, să respingă formularea predicatului adevărului în limbajul propriu-zis. Diferitele metode cu care matematica modernă a corectat ipotezele teoriei naive a mulțimilor au condus la diferite logici, unde paradoxul Curry este de obicei exclus ca imposibil sau lipsit de sens.

Interpretarea filosofică

Potrivit lui Piergiorgio Odifreddi , paradoxul lui Curry ar reprezenta „o demonstrație reală a inexistenței lui Dumnezeu” ^[1] , întrucât ar demonstra că „asumarea unei ființe necesare, sau a unei prime cauze, este incompatibilă cu logica” ^{[ 2]} . În mod obișnuit, pentru prima cauză, ne referim la o entitate care există în mod necesar numai datorită unora dintre proprietățile sale și din care derivă orice altă realitate. Dorind să traducem acest concept în termeni logici, ne dăm seama cu ușurință că coincide cu afirmația paradoxală a lui Curry: de fapt este adevărat exclusiv pentru modul în care este construit și, dată fiind echivalența dintre legătura cauzală în limbajul obișnuit și implicația materială în limbajul formal , este premisa oricărei consecințe. După cum sa menționat, însă, această expresie este inadecvată și este respinsă de orice sistem formal pentru a nu cădea în inconsistență. Prin urmare, este imposibil să construim un raționament care să folosească o logică formalizată corectă și non-contradictorie și care să includă în același timp ideea unei prime cauze. Astfel, paradoxul lui Curry devine o infirmare a abordării raționaliste tipice, de exemplu, a lui Descartes , Spinoza și Leibniz , conform căreia ar fi posibil să abordăm rațional problemele metafizice și să oferim dovezi definitive ale existenței lui Dumnezeu cu rațiunea pură.

Pe de altă parte, paradoxul confirmă argumentul lui Thomas de Aquino care neagă posibilitatea unei prime cauze la același nivel cu cauzele secundare și, în consecință, neagă auto-consistența lumii, demonstrând astfel necesitatea unei cauze care se află deasupra lanțului fenomenelor (cf. participarea ființei ^[3] ).

Notă