Problema canapelei

În matematică , problema canapelei sau, mai corect, a problemei de manipulare a canapelei, este o problemă de geometrie discretă inerentă simplificării bidimensionale a unei probleme reale de manipulare și pe care este cea mai largă suprafață rigidă care poate fi deplasată printr-un coridor în unghi drept , adică în formă de L, cu ambele brațe cu lățimea unității. ^[1] ^[2] Valoarea exactă a acestei suprafețe, denumită adesea „constanta canapelei”, cu referire la un caz real de mutare a unei canapele sau a oricărei alte piese de mobilier printr-un coridor L este încă necunoscută, ceea ce face ca problema canapelei una dintre multele probleme deschise din matematică . ^[3]

Istorie

Deși problema a fost citată de mai multe ori în secolul al XX-lea de mai mulți matematicieni celebri, printre care John Horton Conway , care a citat-o în 1960 , prima publicație oficială despre problema canapelei a fost scrisă de matematicianul austro-canadian Leo Moser în 1966 .. ^[1] ^[4]

Limite inferioare și superioare

Deoarece valoarea precisă a constantei canapelei nu a fost încă descoperită, au fost identificate în schimb valori sub și peste care această valoare nu poate fi găsită.

Limita inferioara

Canapeaua Hammersley are o suprafață de 2.2074, dar acea zonă nu este valoarea maximă posibilă.

Canapeaua lui Gerver, având o suprafață de 2.2195, este alcătuită din 18 arcade diferite.

O limită inferioară trivială este dată de $A\geq \pi /2\approx 1,57$ ${\ displaystyle A \ geq \ pi / 2 \ approx 1.57}$ ${\ displaystyle A \ geq \ pi / 2 \ approx 1.57}$ și reprezintă o canapea semicirculară cu o rază unitară care se poate roti după colț.

În 1968, John Hammersley , inspirat de forma unui receptor de telefon, a dezvoltat o suprafață egală cu $A\geq \pi /2+2/\pi \approx 2,2074$ ${\ displaystyle A \ geq \ pi / 2 + 2 / \ pi \ approx 2.2074}$ ${\ displaystyle A \ geq \ pi / 2 + 2 / \ pi \ approx 2.2074}$ , format din două sferturi de cerc de unitate de rază, plasate pe două laturi opuse ale unui dreptunghi având laturile lungi 1 și 4 / π și purtând o cavitate în formă de semicerc de rază $2/\pi$ ${\ displaystyle 2 / \ pi}$ ${\ displaystyle 2 / \ pi}$ . ^[5]

În 1992, rafinând soluția Hammersley, Joseph Gerver a derivat o suprafață delimitată de 18 arcuri diferite, fiecare dintre acestea putând fi descrisă prin funcții analitice și netede , care au mărit și mai mult valoarea limitei inferioare a constantei canapelei, aducând-o la aproximativ 2 , 2195, fără însă a putea demonstra că această valoare este plafonul suprafeței. ^[6] ^[7]

Calculele ulterioare efectuate de Philip Gibbs au returnat o formă care nu se distinge de cea propusă de Gerver și având o zonă de valoare egală cu cea găsită de Gerver până la a opta zecimală. ^[8] Aceasta ar putea fi o dovadă că suprafața propusă de Gerver este cât mai mare posibil, deși acest lucru nu este încă dovedit matematic.

Limita superioară

Hammersley a identificat, de asemenea, o margine superioară pentru constanta canapelei, arătând că valoarea acesteia nu poate fi mai mare de $2{\sqrt {2}}\approx 2,8284$ ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}} \ approx 2.8284}$ ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}} \ approx 2.8284}$ . ^[5] ^[9] În iunie 2017, Yoav Kallus și Dan Romik au redus această valoare, arătând că zona căutată nu poate avea o valoare mai mare de 2,37. ^[10]

Canapea versatilă

Canapeaua versatilă propusă de Romik.

O variantă a problemei canapelei, cunoscută și sub denumirea de „problema mașinii Conway”, ^[8] își propune să găsească cea mai mare suprafață posibilă care este capabilă să transforme atât un unghi drept, cât și un unghi drept-stâng într-un coridor cu lățimea unității. De asemenea, în acest caz, valoarea exactă a suprafeței nu a fost încă găsită, cu toate acestea, în 2017, Dan Romik a demonstrat că limita inferioară a acestei zone este egală cu aproximativ 1,64495521, creând o suprafață, de asemenea, formată din 18 arcuri diferite . ^[11] ^[12]

Notă

^ ^a ^b Alice Sepe, The Sofa Problem , pe maddmaths.simai.eu , MaddMaths!, 23 decembrie 2009. Adus 22 martie 2021 .
^ Neal R. Wagner, The Sofa Problem ( PDF ), în The American Mathematical Monthly , vol. 83, nr. 3, 1976, pp. 188-189, DOI : 10.2307 / 2977022 , JSTOR 2977022 . Adus la 22 martie 2021 .
^ Massimo Sendal, 7 probleme nerezolvate de matematică (pe lângă conjectura Riemann) , pe wired.it , Wired, 23 septembrie 2018. Adus la 22 martie 2021 .
^ Leo Moser, Mutarea mobilierului printr-un hol , în SIAM Review , vol. 8, nr. 3, iulie 1966, p. 381. Adus la 22 martie 2021 .
^ ^a ^b JM Hammersley,Despre slăbirea abilităților matematice de către matematica modernă și de gunoiul intelectual moale similar în școli și universități , în Studii educaționale în matematică , vol. 1, nr. 1, mai 1968, p. 17, DOI : 10.1007 / BF00426226 , ISSN 0046-5755 ( WC ACNP ) . Adus la 22 martie 2021 .
^ Joseph L. Gerver, On Moving a Sofa Around a Corner , în Geometriae Dedicata , vol. 42, n. 3, 1992, pp. 267-283, DOI : 10.1007 / BF02414066 , ISSN 0046-5755 ( WC ACNP ) . Adus la 22 martie 2021 .
^ (EN) Eric W. Weisstein, Problema canapelei , în MathWorld , Wolfram Research. Adus la 23 martie 2021 .
^ ^a ^b Philip E. Gibbs, Despre un studiu computațional al canapelelor și mașinilor , noiembrie 2014. Accesat la 22 martie 2021 .
^ Ian Stewart, Another Fine Math You've Got Me In ... , Mineola , Dover Publications, ianuarie 2004, ISBN 0486431819 . Adus la 22 martie 2021 .
^ Yoav Kallus și Dan Romik, Limite superioare îmbunătățite în problema canapelei în mișcare , în Advances in Mathematics , vol. 340, decembrie 2018, pp. 960-982, DOI : 10.1016 / j.aim.2018.10.022 , ISSN 0001-8708 ( WC ACNP ) , arXiv : 1706.06630 .
^ Dan Romik, Ecuații diferențiale și soluții exacte în problema canapelei în mișcare , în Matematică experimentală , vol. 26, n. 2, 2017, pp. 316-330, DOI : 10.1080 / 10586458.2016.1270858 , arXiv : 1606.08111 .
^ Dan Romik, The moving sofa problem , su math.ucdavis.edu , UCDavis. Adus la 22 martie 2021 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre problema canapelei

linkuri externe

Dan Romik, The Moving Sofa Problem , pe YouTube , Brady Haran, 23 martie 2017. Adus 22 martie 2021 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[matt-1] Alice Sepe, The Sofa Problem , pe maddmaths.simai.eu , MaddMaths!, 23 decembrie 2009. Adus 22 martie 2021 .

[Neal_Wagner-2] Neal R. Wagner, The Sofa Problem ( PDF ), în The American Mathematical Monthly , vol. 83, nr. 3, 1976, pp. 188-189, DOI : 10.2307 / 2977022 , JSTOR 2977022 . Adus la 22 martie 2021 .

[3] Massimo Sendal, 7 probleme nerezolvate de matematică (pe lângă conjectura Riemann) , pe wired.it , Wired, 23 septembrie 2018. Adus la 22 martie 2021 .

[4] Leo Moser, Mutarea mobilierului printr-un hol , în SIAM Review , vol. 8, nr. 3, iulie 1966, p. 381. Adus la 22 martie 2021 .

[hammer-5] JM Hammersley,Despre slăbirea abilităților matematice de către matematica modernă și de gunoiul intelectual moale similar în școli și universități , în Studii educaționale în matematică , vol. 1, nr. 1, mai 1968, p. 17, DOI : 10.1007 / BF00426226 , ISSN 0046-5755 ( WC ACNP ) . Adus la 22 martie 2021 .

[6] Joseph L. Gerver, On Moving a Sofa Around a Corner , în Geometriae Dedicata , vol. 42, n. 3, 1992, pp. 267-283, DOI : 10.1007 / BF02414066 , ISSN 0046-5755 ( WC ACNP ) . Adus la 22 martie 2021 .

[7] (EN) Eric W. Weisstein, Problema canapelei , în MathWorld , Wolfram Research. Adus la 23 martie 2021 .

[gibbs-8] Philip E. Gibbs, Despre un studiu computațional al canapelelor și mașinilor , noiembrie 2014. Accesat la 22 martie 2021 .

[9] Ian Stewart, Another Fine Math You've Got Me In ... , Mineola , Dover Publications, ianuarie 2004, ISBN 0486431819 . Adus la 22 martie 2021 .

[10] Yoav Kallus și Dan Romik, Limite superioare îmbunătățite în problema canapelei în mișcare , în Advances in Mathematics , vol. 340, decembrie 2018, pp. 960-982, DOI : 10.1016 / j.aim.2018.10.022 , ISSN 0001-8708 ( WC ACNP ) , arXiv : 1706.06630 .

[Dan_Romik-11] Dan Romik, Ecuații diferențiale și soluții exacte în problema canapelei în mișcare , în Matematică experimentală , vol. 26, n. 2, 2017, pp. 316-330, DOI : 10.1080 / 10586458.2016.1270858 , arXiv : 1606.08111 .

[UCDavis-12] Dan Romik, The moving sofa problem , su math.ucdavis.edu , UCDavis. Adus la 22 martie 2021 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]