Covor Sierpinski
În matematică , covorul Sierpinski este un fractal similar cu setul Cantor obținut dintr-un pătrat , descris de matematicianul polonez Wacław Sierpiński în 1916 . Versiunea tridimensională a covorului este buretele lui Menger . O versiune care începe de la triunghi este triunghiul Sierpiński .
Constructie
Covorul Sierpinski poate fi construit în felul următor.
- Începând cu un pătrat.
- Împărțiți pătratul în 9 pătrate mai mici.
- Scoateți pătratul central.
- Repetați pașii 1-3 pe fiecare pătrat nou.
Figura de mai jos prezintă primii 5 pași.
| Covor Sierpinski: | |||||
 |  |  |  |  |  |
| pasul 0 | pasul 1 | pasul 2 | pasul 3 | pasul 4 | pasul 5 |
Covorul Sierpinski este cifra obținută ca limită a acestor iterații. Mai precis, la fiecare pas trebuie eliminată doar partea internă a fiecărui pătrat, astfel încât să se obțină întotdeauna un set închis al planului. Covorul Sierpinski este intersecția tuturor acestor seturi.
Proprietate
Covorul este închis (deoarece este o intersecție a mulțimilor închise) și delimitate și, prin urmare, este compact conform teoremei Heine-Borel . Conține o cantitate de puncte egală cu cardinalitatea continuumului ; în ciuda acestui fapt, măsura Lebesgue nu are nimic. Setul Cantor are, de asemenea, aceste proprietăți.
Spre deosebire de setul Cantor, care are o dimensiune topologică zero, buretele Sierpinski are însă dimensiunea topologică 1. Covorul este o curbă plană universală : fiecare spațiu metric compact de dimensiune topologică plană 1 (adică care poate fi descris în plan ) este conținut în covor (adică este homeomorf pentru un subset al acestuia). Buretele lui Menger , o versiune tridimensională a covorului, conține fiecare curbă (nu neapărat plană).
Dimensiunea fractală a covorului este , egal cu = 1,892789 ...
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre covorul lui Sierpinski
