Buretele lui Menger

O aproximare a buretelui Menger obținut după 4 iterații. Blocul în roșu este similar cu întregul burete: autosimilitatea este o proprietate tipică a fractalilor.

În matematică , buretele lui Menger este un anumit fractal tridimensional, descris pentru prima dată de Karl Menger în 1926 , explorând în același timp conceptul de dimensiune topologică . Constituie extensia tridimensională a ansamblului Cantor și a covorului Sierpinski .

Constructie

Buretele Menger poate fi construit în felul următor.

Începe cu un cub.
Împărțiți cubul în 27 de cuburi, ca în cubul lui Rubik .
Scoateți cubul central și cele 6 cuburi centrale de pe fiecare față: rămân 20 de cuburi.
Repetați pașii 1-3 pe fiecare cub nou.

La fiecare iterație obținem un obiect cu mai multe găuri decât înainte, așa cum se arată în figură.

Buretele Menger este spațiul obținut ca limită a acestor operațiuni.

Mai precis, trebuie eliminată doar partea interioară a fiecărui cub. În acest fel, fiecare iterație este un set închis al spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Buretele Menger este intersecția tuturor acestor seturi.

Un model de burete Menger a fost realizat prin aproximări cu origami modulare .

Definiție formală

Din punct de vedere formal, un burete Menger poate fi definit astfel:

M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}

{\ displaystyle M: ​​= \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} M_ {n}}

M: = \ bigcap _ {{n \ in {\ mathbb {N}}}} M_ {n}

unde M ₀ este cubul unitar e

M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{e non più di una tra }}i,j,k{\mbox{ è uguale a 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.

{\ displaystyle M_ {n + 1}: = \ left \ {{\ begin {matrix} (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: & {\ begin {matrix} \ există i , j, k \ in \ {0,1,2 \} :( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ in M_ {n} \\ {\ mbox {și nu mai mult de unul din}} i , j, k {\ mbox {este egal cu 1}} \ end {matrix}} \ end {matrix}} \ right \}.}

M _ {{n + 1}}: = \ left \ {{\ begin {matrix} (x, y, z) \ in {\ mathbb {R}} ^ {3}: & {\ begin {matrix} \ există i, j, k \ in \ {0,1,2 \} :( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ în M_ {n} \\ {\ mbox {și nu mai mult de unul dintre ele }} i, j, k {\ mbox {este egal cu 1}} \ end {matrix}} \ end {matrix}} \ right \}.

Proprietate

O sculptură reprezentând buretele lui Menger

Fiecare dintre cele 6 fețe ale buretelui Menger este un covor Sierpinski .

Buretele Menger este un set închis și delimitat, prin urmare compact de teorema Heine-Borel . Conține o cantitate de puncte egală cu cardinalitatea continuumului ; în ciuda acestui fapt, măsura Lebesgue nu are nimic. Setul Cantor are, de asemenea, aceste proprietăți.

Spre deosebire de setul Cantor, care are o dimensiune topologică zero, buretele Menger are o dimensiune topologică 1.

În construcția sa din 1926, Menger a arătat că buretele este o curbă universală : fiecare spațiu metric compact de dimensiunea 1 este conținut în burete (adică este homeomorf pentru un subset al acestuia).

Ca orice fractal, buretele are o dimensiune Hausdorff care poate să nu fie întreagă: dimensiunea buretelui este $\log 20/\log 3$ ${\ displaystyle \ log 20 / \ log 3}$ $\ log 20 / \ log 3$ , aproximativ 2,726833.