Teorema transportului Reynolds

Teorema de transport Reynolds permite aducerea operațiunii de derivare sub semnul integral . Este folosit în mecanica continuumului pentru a studia variațiile în timp ale unei mărimi fizice asociate cu un domeniu. Este folosit, de exemplu, pentru a demonstra ecuația continuității sub formă nedeterminată de sisteme pentru orice evoluție dinamică.

Teorema

Având un câmp $\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ mathbf {f}} ({\ mathbf r}, t)$ scalar sau vector, teorema lui Reynolds afirmă că: ^[1] ^[2] ^[3] ^[4]

{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V(t)}\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)~\operatorname {d} ^{3}r=\int _{V(t)}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}~\operatorname {d} ^{3}r+\oint _{\partial V(t)}\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t){\cfrac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}\cdot \mathbf {n} (\mathbf {r} ,t)~\operatorname {d} A~

{\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) ~ \ operatorname {d } ^ {3} r = \ int _ {V (t)} {\ frac {\ partial \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} ~ \ operatorname {d} ^ {3} r + \ oint _ {\ partial V (t)} \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) {\ cfrac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathbf {n} (\ mathbf {r}, t) ~ \ operatorname {d} A ~}

{\ cfrac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} \ int _ {{V (t)}} {\ mathbf {f}} ({\ mathbf r}, t) ~ \ operatorname d ^ {3} r = \ int _ {{V (t)}} {\ frac {\ partial {\ mathbf {f}} ({\ mathbf r}, t)} {\ partial t}} ~ \ operatorname d ^ {3} r + \ oint _ {{\ partial V (t)}} {\ mathbf {f}} ({\ mathbf r}, t) {\ cfrac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {r}} (t)} {{\ mathrm {d}} t}} \ cdot {\ mathbf {n}} ({\ mathbf {r}}, t) ~ \ operatorname dA ~

unde d ³ r și dA sunt respectiv elementele volumului și ale suprafeței închise care îl delimitează, $\mathbf {n} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ mathbf {n}} ({\ mathbf {r}}, t)$ este vectorul care iese dintr-un element de suprafață e ${\cfrac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ cfrac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {r}} (t)} {{\ mathrm {d}} t}}$ este viteza , pe care integrala o evaluează în punctele suprafeței închise.

Mecanica continuă

O posibilă evoluție în timp a unui sistem fluid

Se dă un fluid conținut într-un volum care suferă o evoluție temporală: $V(t)$ ${\ displaystyle V (t)}$ $V (t)$ . Luați în considerare unele proprietăți ale fluidului descrise în acel moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în poziție $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ cu un câmp vector sau scalar $\mathbf {f} \left(\mathbf {r} (t),t\right)$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r} (t), t \ right)}$ ${\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {r}} (t), t \ right)$ . Vrem să știm prin valoarea sa din întregul domeniu:

{\int _{V(t)}\mathbf {f} \left(\mathbf {r} (t),t\right)d^{3}r}

{\ displaystyle {\ int _ {V (t)} \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r} (t), t \ right) d ^ {3} r}}

{\ int _ {{V (t)}} {\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {r}} (t), t \ right) d ^ {3} r}

evoluția sa temporală:

{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\int _{V(t)}\mathbf {f} \left(\mathbf {r} (t),t\right)d^{3}r}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ int _ {V (t)} \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r} (t), t \ dreapta) d ^ {3} r}}

{\ cfrac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ int _ {{V (t)}} {\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {r }} (t), t \ dreapta) d ^ {3} r}

Reynolds a dovedit următoarea relație, scrisă într-o primă formulare:

{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\int _{V(t)}\mathbf {f} \left(\mathbf {r} (t),t\right)d^{3}r}={\int _{V(t)}\left({\cfrac {\mathrm {d} \mathbf {f} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {f} \,\nabla \cdot \mathbf {v} \right)d^{3}r}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ int _ {V (t)} \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r} (t), t \ right) d ^ {3} r} = {\ int _ {V (t)} \ left ({\ cfrac {\ mathrm {d} \ mathbf {f}} {\ mathrm {d} t}} + \ mathbf {f} \, \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \ right) d ^ {3} r}}

{\ cfrac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ int _ {{V (t)}} {\ mathbf f} \ left ({\ mathbf r} (t ), t \ right) d ^ {3} r} = {\ int _ {{V (t)}} \ left ({\ cfrac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf f}} {{\ mathrm {d}} t}} + {\ mathbf f} \, \ nabla \ cdot {\ mathbf v} \ right) d ^ {3} r}

unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este viteza fluidului. Primul termen al celei de-a doua integrale este derivata totală a $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ :

{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}={\partial  \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot \nabla

{\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} = {\ partial \ over \ partial t} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla}

{\ cfrac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} = {\ partial \ over \ partial t} + {\ mathbf v} \ cdot \ nabla

Înlocuirea și aplicarea unei proprietăți a operatorilor diferențiali (produs tensor):

(\nabla \mathbf {f} )\mathbf {v} +\mathbf {f} (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot \left(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} \right)

{\ displaystyle (\ nabla \ mathbf {f}) \ mathbf {v} + \ mathbf {f} (\ nabla \ cdot \ mathbf {v}) = \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {f} \ otimes \ mathbf {v} \ right)}

{\ displaystyle (\ nabla \ mathbf {f}) \ mathbf {v} + \ mathbf {f} (\ nabla \ cdot \ mathbf {v}) = \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {f} \ otimes \ mathbf {v} \ right)}

se obține o a doua formulare:

{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\int _{V(t)}\mathbf {f} \left(\mathbf {r} (t),t\right)d^{3}r}={\int _{V(t)}\left({\partial \mathbf {f}  \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} \right)\right)d^{3}r}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ int _ {V (t)} \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r} (t), t \ right) d ^ {3} r} = {\ int _ {V (t)} \ left ({\ partial \ mathbf {f} \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {f } \ otimes \ mathbf {v} \ right) \ right) d ^ {3} r}}

{\ cfrac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ int _ {{V (t)}} {\ mathbf f} \ left ({\ mathbf r} (t ), t \ right) d ^ {3} r} = {\ int _ {{V (t)}} \ left ({\ partial {\ mathbf f} \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot \ left ({\ mathbf f} \ otimes {\ mathbf v} \ right) \ right) d ^ {3} r}

Prin aplicarea teoremei divergenței , se obține o a treia formulare din aceasta:

{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\int _{V(t)}\mathbf {f} \left(\mathbf {r} (t),t\right)d^{3}r}={\int _{V(t)}{\partial \mathbf {f}  \over \partial t}d^{3}r}+{\oint _{\partial V(t)}\mathbf {f} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \right)\ dA}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ int _ {V (t)} \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r} (t), t \ right) d ^ {3} r} = {\ int _ {V (t)} {\ partial \ mathbf {f} \ over \ partial t} d ^ {3} r} + {\ oint _ {\ partial V (t)} \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n} \ right) \ dA}}

{\ cfrac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ int _ {{V (t)}} {\ mathbf f} \ left ({\ mathbf r} (t ), t \ right) d ^ {3} r} = {\ int _ {{V (t)}} {\ partial {\ mathbf f} \ over \ partial t} d ^ {3} r} + {\ oint _ {{\ partial V (t)}} {\ mathbf f} \ left ({\ mathbf v} \ cdot {\ mathbf n} \ right) \ dA}

Transport în curs de apă

Dacă ρ este o funcție de densitate asociată cu un corp continuu pentru care se menține ecuația de continuitate :

{\cfrac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

,

unde u este câmpul debitului . Aplicarea teoremei transportului la funcții de tip f = ρ (r, t) g (r, t) dă ^[5] , folosind regula lui Leibniz :

{\cfrac {d}{dt}}{\int _{V(t)}\rho g\,\,d^{3}r}=\int _{V(t)}({\cfrac {\partial (\rho g)}{\partial t}}\,+\nabla \cdot (\rho g\mathbf {v} ))\,d^{3}r=\int _{V(t)}\rho \left({\cfrac {\partial g}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla g\right)+g\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )\right)\,d^{3}r

{\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {V (t)} \ rho g \, \, d ^ {3} r} = \ int _ {V (t)} ({\ cfrac {\ partial (\ rho g)} {\ partial t}} \, + \ nabla \ cdot (\ rho g \ mathbf {v})) \, d ^ {3} r = \ int _ {V (t )} \ rho \ left ({\ cfrac {\ partial g} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla g \ right) + g \ left ({\ frac {\ partial \ rho} { \ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v}) \ right) \, d ^ {3} r}

{\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {V (t)} \ rho g \, \, d ^ {3} r} = \ int _ {V (t)} ({\ cfrac {\ partial (\ rho g)} {\ partial t}} \, + \ nabla \ cdot (\ rho g \ mathbf {v})) \, d ^ {3} r = \ int _ {V (t )} \ rho \ left ({\ cfrac {\ partial g} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla g \ right) + g \ left ({\ frac {\ partial \ rho} { \ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v}) \ right) \, d ^ {3} r}

Dacă acum considerăm un volum material ca volum de integrare, adică prin impunerea că câmpul vitezei coincide cu câmpul vitezei de curgere:

{\cfrac {d}{dt}}{\int _{V_{u}(t)}\rho g\,\,d^{3}r}=\int _{V_{u}(t)}\rho \left({\cfrac {\partial g}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla g\right)+g\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)\,d^{3}r

{\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {V_ {u} (t)} \ rho g \, \, d ^ {3} r} = \ int _ {V_ {u} ( t)} \ rho \ left ({\ cfrac {\ partial g} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla g \ right) + g \ left ({\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) \ right) \, d ^ {3} r}

{\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {{V_ {u} (t)}} \ rho g \, \, d ^ {3} r} = \ int _ {{V_ {u} ( t)}} \ rho \ left ({\ cfrac {\ partial g} {\ partial t}} + {\ mathbf u} \ cdot \ nabla g \ right) + g \ left ({\ frac {\ partial \ rho } {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ mathbf u}) \ right) \, d ^ {3} r

Pe baza ecuației de continuitate, integrarea celui de-al doilea termen este nulă, așa că ajungem la expresia teoremei care exprimă transportul unui câmp în interiorul unui volum material asociat cu un corp continuu ^[5] :

{\cfrac {d}{dt}}{\int _{V_{u}(t)}\rho g\,\,d^{3}r}=\int _{V_{u}(t)}\rho \left({\cfrac {\partial g}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla g\right)\,d^{3}r

{\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {V_ {u} (t)} \ rho g \, \, d ^ {3} r} = \ int _ {V_ {u} ( t)} \ rho \ left ({\ cfrac {\ partial g} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla g \ right) \, d ^ {3} r}

{\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {{V_ {u} (t)}} \ rho g \, \, d ^ {3} r} = \ int _ {{V_ {u} ( t)}} \ rho \ left ({\ cfrac {\ partial g} {\ partial t}} + {\ mathbf u} \ cdot \ nabla g \ right) \, d ^ {3} r

care poate fi contractat în notație prin exprimarea derivatului material :

{\cfrac {d}{dt}}{\int _{V_{u}(t)}\rho gd^{3}r}={\int _{V_{u}(t)}\rho {\cfrac {\mathrm {D} g}{\mathrm {D} t}}\,\,d^{3}r}

{\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {V_ {u} (t)} \ rho gd ^ {3} r} = {\ int _ {V_ {u} (t)} \ rho {\ cfrac {\ mathrm {D} g} {\ mathrm {D} t}} \, \, d ^ {3} r}}

{\ cfrac {d} {dt}} {\ int _ {{V_ {u} (t)}} \ rho gd ^ {3} r} = {\ int _ {{V_ {u} (t)}} \ rho {\ cfrac {{\ mathrm {D}} g} {{\ mathrm {D}} t}} \, \, d ^ {3} r}

Aplicarea pe o conductă

Reprezentarea unui tub de curgere

Pentru mișcările nestacionare, teorema lui Reynolds poate fi aplicată și tuburilor de curgere cu secțiune neconstantă. În consecință, o secțiune a tubului nu poate fi luată ca un volum de control . Cu toate acestea, problema poate fi rezolvată prin referirea la o porțiune de țeavă de lungime infinitesimală, având în vedere un volum de control fixat în timp. Prin urmare, se consideră un volum conținut într-un paralelipiped în cazul în care volumul situat între pereții exteriori ai tubului de curgere și pereții paralelipipedului este umplut cu un fluid de densitate zero. Prin urmare, este evident că variațiile de masă raportate la acest fluid vor fi zero. Prin urmare, variația masei din interiorul paralelipipedului trebuie să coincidă cu variația masei din interiorul tubului de curgere.

Impunând echilibrul de masă obținem:

{\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho dV={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{L}\int _{A}\rho \,dads

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ iiint _ {V} \ rho dV = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {L} \ int _ {A } \ rho \, tati}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ iiint _ {{V}} \ rho dV = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {L} \ int _ {{A }} \ rho \, tati

care este echivalent cu:

\left(G+{\frac {\partial G}{\partial s}}ds-G\right)={\frac {\partial G}{\partial s}}ds

{\ displaystyle \ left (G + {\ frac {\ partial G} {\ partial s}} ds-G \ right) = {\ frac {\ partial G} {\ partial s}} ds}

\ left (G + {\ frac {\ partial G} {\ partial s}} ds-G \ right) = {\ frac {\ partial G} {\ partial s}} ds

unde este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ la este debitul masic al fluidului care este:

{\int _{A}\rho \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,dA}

{\ displaystyle {\ int _ {A} \ rho \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {n} \, dA}}

{\ int _ {{A}} \ rho {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf n} \, dA}

și $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ vectorul unitar normal la suprafața paralelipipedului.

Prin urmare, obținem:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\int _{A}\rho \,dA}\right)ds+{\frac {\partial G}{\partial s}}ds=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ int _ {A} \ rho \, dA} \ right) ds + {\ frac {\ partial G} {\ partial s} } ds = 0}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ int _ {{A}} \ rho \, dA} \ right) ds + {\ frac {\ partial G} {\ partial s}} ds = 0

care rescris este echivalent cu:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\int _{A}\rho \,dA}\right)+{\frac {\partial }{\partial s}}{\int _{A}\rho \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,dA}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ int _ {A} \ rho \, dA} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial s}} { \ int _ {A} \ rho \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {n} \, dA} = 0}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ int _ {{A}} \ rho \, dA} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ int _ {{A}} \ rho {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf n} \, dA} = 0

Dividend de $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ în cele din urmă obținem:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\int _{A}\,dA}\right)+{\frac {\partial }{\partial s}}{\int _{A}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,dA}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ int _ {A} \, dA} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ int _ {A} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {n} \, dA} = 0}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ int _ {{A}} \, dA} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ int _ {{A}} {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf n} \, dA} = 0

ceea ce se dovedește a fi:

{\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial s}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial Q} {\ partial s}} = 0}

{\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial Q} {\ partial s}} = 0

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care este suprafața conductei e $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ debitul volumetric .

Notă

^ Quartapelle, Auteri p. 5
^ LG Leal, 2007, p. 23.
^ O. Reynolds, 1903, Vol. 3, p. 12-13
^ JE Marsden; A. Trumpet, ed. A V-a. 2003
^ ^a ^b Quartapelle, Auteri, Compressible fluid Dynamics, p. 9

Bibliografie

( IT ) Quartapelle și Auteri, 2013, Compressible Fluid Dynamics , Editura Ambrosiana, p. 6-9.
( EN ) LG Leal, 2007, Fenomene de transport avansate: mecanica fluidelor și procese de transport convectiv , Cambridge University Press, p. 912.
( EN ) O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects , Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge.
( EN ) JE Marsden și A. Tromba, 2003, Vector Calculus , ediția a 5-a, WH Freeman.
( EN ) T. Belytschko, WK Liu și B. Moran, 2000, Elemente finite neliniare pentru Continua și Structuri , John Wiley și Sons, Ltd., New York.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, în trei volume, publicat în jurul anului 1903, acum complet și liber disponibil în format digital:

Volumul 1

Volumul 2

Volumul 3

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[QA-1] Quartapelle, Auteri p. 5

[LGLp23-2] LG Leal, 2007, p. 23.

[OR14-3] O. Reynolds, 1903, Vol. 3, p. 12-13

[MTp23-4] JE Marsden; A. Trumpet, ed. A V-a. 2003

[Q9-5] Quartapelle, Auteri, Compressible fluid Dynamics, p. 9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]