Teorema lui Euler (geometrie)

În geometria euclidiană , numele teoremei lui Euler identifică cel puțin trei teoreme diferite.

O teoremă

Afirmație

În fiecare triunghi ortocentrul , baricentrul și circumcentrul sunt aliniate pe o linie dreaptă, numită linia lui Euler , iar distanța dintre primele două puncte este dublă distanței dintre baricentr și circumcentr. ^[1]

O altă teoremă

Reprezentarea problemei Euler.

Afirmație

Este $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ orice patrulater și sunt $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ punctele de mijloc ale diagonalelor $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ Și $B. D.$ ${\ displaystyle BD}$ $BD$ . Atunci:

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4\cdot {\overline {MN}}^{2}

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} + {\ overline {BC}} ^ {2} + {\ overline {CD}} ^ {2} + {\ overline {DA}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline {BD}} ^ {2} +4 \ cdot {\ overline {MN}} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} + {\ overline {BC}} ^ {2} + {\ overline {CD}} ^ {2} + {\ overline {DA}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline {BD}} ^ {2} +4 \ cdot {\ overline {MN}} ^ {2}}

Cu alte cuvinte, suma pătratelor lungimilor laturilor unui patrulater este egală cu suma pătratelor lungimilor celor două diagonale ale patrulaterului plus 4 ori pătratul distanței dintre cele două puncte medii ale diagonale.

Corolari

Interesant este că această teoremă poate fi considerată o generalizare a teoremei pitagoreice . De fapt, este posibil să se ajungă la o formulă care să coreleze laturile oricărui triunghi cu mediana sa. Pentru a demonstra acest lucru, considerăm o paralelogramă , care are ca atare diagonalele care se împart în bisect și părțile opuse egale și, prin urmare, cele două puncte mediane ale diagonalelor, coincidente. În consecință, aplicând teorema lui Euler avem că: $\ 2\cdot {\overline {AB}}^{2}+2\cdot {\overline {BC}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}$ ${\ displaystyle \ 2 \ cdot {\ overline {AB}} ^ {2} +2 \ cdot {\ overline {BC}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline { BD}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ 2 \ cdot {\ overline {AB}} ^ {2} +2 \ cdot {\ overline {BC}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline { BD}} ^ {2}}$

Deci având în vedere triunghiul ${\overline {ACD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {ACD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {ACD}}}$ cu mediană ${\overline {DE}}$ ${\ displaystyle {\ overline {DE}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {DE}}}$ avem asta:

$({\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2})=2\cdot ({\overline {DE}}^{2}+{\overline {AE}}^{2})$ ${\ displaystyle ({\ overline {AD}} ^ {2} + {\ overline {DC}} ^ {2}) = 2 \ cdot ({\ overline {DE}} ^ {2} + {\ overline {AE }} ^ {2})}$ ${\ displaystyle ({\ overline {AD}} ^ {2} + {\ overline {DC}} ^ {2}) = 2 \ cdot ({\ overline {DE}} ^ {2} + {\ overline {AE }} ^ {2})}$

Prin urmare, în fiecare triunghi suma pătratelor construite pe cele două laturi mai scurte este egală cu dublul sumei pătratelor construite pe mediana și jumătatea celei de-a treia laturi. Dacă luăm în considerare cazul triunghiului dreptunghiular, avem și faptul că mediana este egală cu jumătate din a treia latură. Formula devine apoi:

$({\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2})={\overline {AC}}^{2}$ ${\ displaystyle ({\ overline {AD}} ^ {2} + {\ overline {DC}} ^ {2}) = {\ overline {AC}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle ({\ overline {AD}} ^ {2} + {\ overline {DC}} ^ {2}) = {\ overline {AC}} ^ {2}}$