Teorema lui Fréchet-Kuratowski

În matematică , teorema Kuratowski-Wojdysławski sau teorema Fréchet-Kuratowski , numită după Kazimierz Kuratowski și Maurice René Fréchet , afirmă că orice spațiu metric poate fi inclus într-un anumit spațiu Banach . Această incluziune permite să vedeți fiecare spațiu metric ca un subset al unui spațiu Banach, permițând astfel să exploateze proprietățile spațiilor Banach care nu sunt partajate de toate spațiile metrice (cum ar fi completitudinea ).

Introdusă de Kuratowski, ^[1] o variantă foarte similară a fost găsită deja într-o publicație a lui Fréchet în care ideea de spațiu metric a fost introdusă pentru prima dată. ^[2]

Teorema

De sine $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ este un spațiu metric, $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $C_{b}(X)$ ${\ displaystyle C_ {b} (X)}$ ${\ displaystyle C_ {b} (X)}$ denotă spațiul Banach al funcțiilor mărginite și continue cu valoare reală pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ echipat cu standardul uniform , apoi harta $\Phi :X\rightarrow C_{b}(X)$ ${\ displaystyle \ Phi: X \ rightarrow C_ {b} (X)}$ ${\ displaystyle \ Phi: X \ rightarrow C_ {b} (X)}$ definit de:

\Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\qquad \forall x,y\in X

{\ displaystyle \ Phi (x) (y) = d (x, y) -d (x_ {0}, y) \ qquad \ forall x, y \ în X}

{\ displaystyle \ Phi (x) (y) = d (x, y) -d (x_ {0}, y) \ qquad \ forall x, y \ în X}

este o izometrie . ^[3] Rețineți că această incluziune, uneori cunoscută sub numele de incluziune Kuratowski , depinde de alegerea punctului $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și, prin urmare, nu este în întregime canonică.

Teorema Fréchet-Kuratowski afirmă că fiecare spațiu metric este limitat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este izometrică pentru un subgrup închis al unui subgrup convex al unui spațiu Banach. Observăm că imaginea acestei includeri este închisă într-un subset convex, nu neapărat într-un spațiu Banach. Aici se folosește izometria $\Psi :X\rightarrow C_{b}(X)$ ${\ displaystyle \ Psi: X \ rightarrow C_ {b} (X)}$ ${\ displaystyle \ Psi: X \ rightarrow C_ {b} (X)}$ definit de:

\Psi (x)(y)=d(x,y)\qquad \forall x,y\in X

{\ displaystyle \ Psi (x) (y) = d (x, y) \ qquad \ forall x, y \ in X}

{\ displaystyle \ Psi (x) (y) = d (x, y) \ qquad \ forall x, y \ in X}

Convexul menționat mai sus este învelișul convex al $\Psi (X)$ ${\ displaystyle \ Psi (X)}$ ${\ displaystyle \ Psi (X)}$ .

Notă

^ Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables", Fundamenta Mathematica 25: 534-545.
^ Fréchet M. (1906) "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Reports of the Mathematical Circle of Palermo 22: 1—74.
^ Juha Heinonen, Incorporări geometrice ale spațiilor metrice ( ps ), ianuarie 2003. Accesat la 6 ianuarie 2009 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Teorema de încorporare a lui Kuratowski , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables", Fundamenta Mathematica 25: 534-545.

[2] Fréchet M. (1906) "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Reports of the Mathematical Circle of Palermo 22: 1—74.

[3] Juha Heinonen, Incorporări geometrice ale spațiilor metrice ( ps ), ianuarie 2003. Accesat la 6 ianuarie 2009 .

[1]

[2]

[3]