Teorema Poincaré-Birkhoff-Witt

În teoria algebrei Lie , teorema Poincaré - Birkhoff - Witt este un rezultat fundamental care caracterizează algebra universală de învelire a oricărei algebre Lie.

Amintiți-vă că fiecare spațiu vectorial V pe un câmp are o bază , adică un set S astfel încât fiecare element al lui V să poată fi scris într-un singur mod ca o combinație liniară (finită) a elementelor lui S. În formularea teoremei Poincaré - Birkhoff - Witt, se consideră o bază Hamel , adică o bază total ordonată de o relație pe care o vom numi ≤.

Dacă L este o algebră Lie pe un câmp K , atunci din definiție există o linie canonică K - harta h de la L la algebra de învăluire universală U ( L ). Această algebră este o K- algebră asociativă unitară .

Enunțarea teoremei

Fie L o algebră Lie pe K și X o bază total ordonată pentru L. Un monomiu canonic pe X este o secvență finită ( x ₁ , x ₂ ..., x _n ) a elementelor lui X care sunt în ordine nedescrescătoare prin relația ≤, adică x ₁ ≤ x ₂ ≤ ... ≤ x _n . Extindem h peste toate monomiile canonice după cum urmează: Dacă ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) este un monomial canonic, să fie:

h(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).

{\ displaystyle h (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (x_ {1}) \ cdot h (x_ {2}) \ cdots h (x_ {n}). }

{\ displaystyle h (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (x_ {1}) \ cdot h (x_ {2}) \ cdots h (x_ {n}). }

Apoi h este injectiv și imaginea sa este o bază Hamel pentru spațiul vectorial K- U ( L ).

O altă formulare alternativă este obținută luând în considerare Y = h ( X ). Y este ordonat în totalitate prin ordinea introdusă de X. Setul de monomii

y_{1}^{k_{1}}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell }}

{\ displaystyle y_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdots y _ {\ ell} ^ {k _ {\ ell}}}

{\ displaystyle y_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdots y _ {\ ell} ^ {k _ {\ ell}}}

unde y ₁ < y ₂ <... < y _n sunt elemente ale lui Y și exponenții sunt pozitivi , împreună cu unitatea multiplicativă 1, formează o bază Hamel pentru U ( L ). Rețineți că elementul unitar 1 corespunde monomului canonic nul.

Rețineți, de asemenea, că monomiile din Y formează o bază a spațiului vectorial. Structura multiplicativă a lui U ( L ) este determinată de constantele de structură ale algebrei Lie; aceștia sunt coeficienții c _{u, v, x} astfel încât

[u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v,x}\;x.

{\ displaystyle [u, v] = \ sum _ {x \ in X} c_ {u, v, x} \; x.}

{\ displaystyle [u, v] = \ sum _ {x \ in X} c_ {u, v, x} \; x.}

Teorema Poincaré - Birkhoff - Witt poate fi interpretată spunând că produsele monomiilor canonici din Y pot fi reduse în mod unic la combinații liniare de monomii canonici prin utilizarea repetată a ecuațiilor de structură. O parte din aceasta este clară: structurile constante determină uv - vu , indicând ce trebuie făcut pentru a schimba ordinea a două elemente ale lui X într-un produs. Acest fapt, cu excepția unui argument inductiv asupra gradului de sumă a monomiilor, arată că este întotdeauna posibil să se obțină produse în care factorii sunt ordonați într-un mod nedescrescător.

Corolar

Dacă L este o algebră Lie pe un câmp, harta canonică L → U ( L ) este injectivă. În special, fiecare algebră Lie de pe un câmp este izomorfă pentru o subalgebră Lie a unei algebre asociative.