Teoria penetrării

În studiul fenomenelor de transport, teoria penetrării estimează coeficienții de schimb pe partea lichidă în operația unitară de absorbție gaz-lichid și poate fi aplicată și în cazurile de difuzie din picături sau bule în repaus. A fost dezvoltat în 1935 de Ralph Higbie ^[1] Mai general, teoria penetrării poate fi aplicată oricărei interfețe gaz-lichid, cu un gradient de viteză mic.

Conform acestei teorii, un diferențial de masă al lichidului expus pentru o anumită perioadă de timp (denumit „timp de expunere”) la fluxul de gaz îi va modifica profilul de concentrație (adică distribuția concentrației solutului ), urmând o lege precum:

{\bar {N}}_{A}=\Delta c\cdot {\sqrt {\frac {4{\mathcal {D}}}{\pi t_{exp}}}}

{\ displaystyle {\ bar {N}} _ {A} = \ Delta c \ cdot {\ sqrt {\ frac {4 {\ mathcal {D}}} {\ pi t_ {exp}}}}}

{\ bar N} _ {A} = \ Delta c \ cdot {\ sqrt {{\ frac {4 {\ mathcal {D}}} {\ pi t _ {{exp}}}}}}

unde este:

${\bar {N}}_{A}$ ${\ displaystyle {\ bar {N}} _ {A}}$ ${\ bar N} _ {A}$ fluxul de materie al substanței dizolvate (numit componenta A ) prin interfața gaz-lichid mediat pe intervalul de timp care corespunde timpului de expunere
$\Delta c$ ${\ displaystyle \ Delta c}$ $\ Delta c$ diferența de concentrație a solutului între concentrație $C_{Ai}$ ${\ displaystyle C_ {Ai}}$ $C _ {{Ai}}$ la interfață și concentrare $C_{A0}$ ${\ displaystyle C_ {A0}}$ $C _ {{A0}}$ în cea mai mare parte a lichidului.
${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ coeficientul de difuzie al materiei
$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este așa-numitul " pi " (o constantă egală cu aproximativ 3,14)
$t_{exp}$ ${\ displaystyle t_ {exp}}$ $t _ {{exp}}$ este „timpul de expunere”.

Termenul ${\sqrt {\frac {4{\mathcal {D}}}{\pi t_{exp}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {4 {\ mathcal {D}}} {\ pi t_ {exp}}}}}$ ${\ sqrt {{\ frac {4 {\ mathcal {D}}} {\ pi t _ {{exp}}}}}}$ este coeficientul de schimb al materialului pe partea lichidă K _L.

Rețineți că K _L este proporțional cu rădăcina coeficientului de difuzie a materiei, în timp ce conform teoriei filmului K _L este direct proporțional cu coeficientul de difuzie a materiei. Comparând aceste două rezultate teoretice cu rezultatele experimentale, se obține modul în care teoria penetrării prezice valoarea K _L mai precis decât teoria filmului (sau a filmului dublu).

O generalizare a teoriei penetrării este teoria reînnoirii suprafeței (Danckwerts, 1951 ). ^[2]

Determinarea fluxului de materie mediat în timp

Ecuația văzută mai sus este doar rezultatul final al unei teorii mult mai complexe. Procedura analitică care ne permite să înțelegem pe deplin relația Higbie începe de la scrierea unui bilanț de materie pentru lichid:

(Sdz)(C_{A}|_{t+dt}-C_{A}|_{t})=(Sdt)\left(-{\mathcal {D}}{\frac {\partial {C_{A}}}{\partial {z}}}|_{z}\right)-(Sdt)\left(-{\mathcal {D}}{\frac {\partial {C_{A}}}{\partial {z}}}|_{z+dz}\right)

{\ displaystyle (Sdz) (C_ {A} | _ {t + dt} -C_ {A} | _ {t}) = (Sdt) \ left (- {\ mathcal {D}} {\ frac {\ partial {C_ {A}}} {\ partial {z}}} | _ {z} \ right) - (Sdt) \ left (- {\ mathcal {D}} {\ frac {\ partial {C_ {A}} } {\ partial {z}}} | _ {z + dz} \ right)}

(Sdz) (C_ {A} | _ {{t + dt}} - C_ {A} | _ {t}) = (Sdt) \ left (- {\ mathcal {D}} {\ frac {\ partial { C_ {A}}} {\ partial {z}}} | _ {z} \ right) - (Sdt) \ left (- {\ mathcal {D}} {\ frac {\ partial {C_ {A}}} {\ partial {z}}} | _ {{z + dz}} \ dreapta)

in care:

z este distanța de la interfața gaz-lichid
S este aria suprafeței de schimb a materiei

Din acest echilibru derivăm a doua lege a lui Fick :

{\frac {\partial {C_{A}}}{\partial {t}}}={\mathcal {D}}{\frac {\partial {^{2}C_{A}}}{\partial {z^{2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {C_ {A}}} {\ partial {t}}} = {\ mathcal {D}} {\ frac {\ partial {^ {2} C_ {A}}} { \ partial {z ^ {2}}}}}

{\ frac {\ partial {C_ {A}}} {\ partial {t}}} = {\ mathcal {D}} {\ frac {\ partial {^ {2} C_ {A}}} {\ partial { z ^ {2}}}}

A doua lege a lui Fick trebuie deci particularizată, impunând condițiile limită ale cauzei, care sunt:

\left\{{\begin{aligned}&C_{A}=C_{A0}\ \ \ \ (t=0)\\&C_{A}=C_{Ai}\ \ \ \ (z=0)\\&C_{A}=C_{A0}\ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & C_ {A} = C_ {A0} \ \ \ \ (t = 0) \\ & C_ {A} = C_ {Ai} \ \ \ \ (z = 0) \\ & C_ {A} = C_ {A0} \ \ \ \ (z \ rightarrow \ infty) \ end {align}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {align} & C_ {A} = C _ {{A0}} \ \ \ \ (t = 0) \\ & C_ {A} = C _ {{Ai}} \ \ \ \ (z = 0) \\ & C_ {A} = C _ {{A0}} \ \ \ \ (z \ rightarrow \ infty) \ end {align}} \ right.

Rezolvând sistemul diferențial parțial dat de ecuația diferențială parțială reprezentată de legea a doua a lui Fick și de condițiile sale de limitare asociate, ajungem la determinarea fluxului instantaneu de materie pentru z = 0 (adică fluxul la interfața gazului -lichid):

N_{A}(t)=\Delta c\cdot {\sqrt {\frac {\mathcal {D}}{\pi t}}}

{\ displaystyle N_ {A} (t) = \ Delta c \ cdot {\ sqrt {\ frac {\ mathcal {D}} {\ pi t}}}}

N_ {A} (t) = \ Delta c \ cdot {\ sqrt {{\ frac {{\ mathcal {D}}} {\ pi t}}}}

În acest moment este necesar să mediați de-a lungul intervalului de timp dintre t = 0 și t = t _exp pentru a obține fluxul de materie mediat în timp:

{\bar {N}}_{A}={\frac {\int _{0}^{t_{exp}}N_{A}(t)dt}{t_{exp}}}=\Delta c\cdot {\sqrt {\frac {4{\mathcal {D}}}{\pi t_{exp}}}}

{\ displaystyle {\ bar {N}} _ {A} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {t_ {exp}} N_ {A} (t) dt} {t_ {exp}}} = \ Delta c \ cdot {\ sqrt {\ frac {4 {\ mathcal {D}}} {\ pi t_ {exp}}}}}

{\ bar N} _ {A} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {{t _ {{exp}}}} N_ {A} (t) dt} {t _ {{exp}}} } = \ Delta c \ cdot {\ sqrt {{\ frac {4 {\ mathcal {D}}} {\ pi t _ {{exp}}}}}}

Notă

^ Ralph Higbie, Rata de absorbție a unui gaz pur în lichid încă în perioade scurte de expunere , în American Institute of Chemical Engineers , vol. 31, 13-15 mai 1935, pp. 365-389.
^ În limba engleză "surface-innovation theory".

Bibliografie

Alan S. Foust, Leonard A. Wenzel; Curtis W. Clump; Luis Maus; L. Bryce Andersen, Principiile operațiilor unitare , Ambrosiana, 1967, pp. 223-236, ISBN 88-408-0117-0 .
( EN ) JF Richardson, JH Harker, Coulson & Richardson's Chemical Engineering, volumul 2 , prima ediție, Butterworth-Heinemann, 2002, ISBN 0-7506-4445-1 .
( EN ) James J. Carberry, Chemical and Catalytic Reaction Engineering , Dover Publications, 2001, pp. 259-260, ISBN 0-486-41736-0 .
( EN ) Warren McCabe, Julian Smith, Peter Harriott, Unit Operations In Chemical Engineering , ediția a 6-a, Tata Mcgraw Hill Publishers, 2005, pp. 526-528, ISBN 0-07-060082-1 .