A treia lege a termodinamicii

Principiile termodinamicii

A doua lege ( Propoziția Kelvin · Declarația lui Clausius )

A treia lege a termodinamicii , numită și teorema lui Nernst , este o teoremă a termodinamicii .

Termenul „ principiu ” care se referă la această afirmație, deși consolidat prin obișnuință, este necorespunzător din punct de vedere științific, deoarece nu se presupune adevărat a priori, dar poate fi demonstrat pornind de la alte principii și, în special, de la al doilea .

La fel ca al doilea principiu , de care este strâns legat, acesta stabilește imposibilitatea realizării unei anumite clase de fenomene. Există diverse formulări, una modernă este următoarea:

" Entropia unui cristal perfect la zero absolut este exact egală cu 0."

La zero absolut (zero kelvin ), sistemul trebuie să fie într-o stare cu cea mai mică energie posibilă, iar afirmația de mai sus a celei de-a treia legi afirmă că un cristal perfect la acea temperatură minimă are un singur microstat posibil. Entropia este de fapt din punct de vedere statistic proporțional cu logaritmul numărului de microstate accesibile, iar pentru un sistem format din mai multe particule, mecanica cuantică indică faptul că există o singură stare numită stare de bază cu energie minimă ^[1] . Dacă sistemul nu are o ordine precisă (de exemplu, dacă este un solid amorf ), atunci în practică rămâne o entropie finită chiar și la zero absolut, dar sistemul de temperatură scăzută rămâne blocat într-una dintre numeroasele configurații care au energie minimă . Valoarea constantă reziduală se numește entropia reziduală a sistemului ^[2] .

Formularea acestui principiu conform lui Nernst-Simon se referă la procesele termodinamice la o temperatură constantă scăzută:

"Schimbarea entropiei unui sistem condensat, asociată cu fiecare transformare izotermă reversibilă de fază, merge la zero atunci când temperatura la care are loc procesul merge la 0 K."

În acest caz, un lichid sau un solid este considerat un sistem condensat.

Formularea clasică a lui Nernst (considerată în prezent mai mult o consecință a celei de-a treia legi a termodinamicii decât legea însăși) afirmă:

"Nu este posibil pentru nici un proces, chiar dacă este idealizat, să reducă entropia unui sistem la valoarea sa zero absolută printr-un număr finit de operații (adică transformări termodinamice)."

A fost demonstrată în 2017 de Masanes și Oppenheim ^[3] ^[4]

Există, de asemenea, o formulare a celei de-a treia legi care se ocupă de comportamentul specific al energiei:

„Dacă setul a două sisteme termodinamice este izolat, atunci un schimb de energie între ele are o valoare finită ^[5] ”

Al treilea principiu ca teoremă

A treia lege a termodinamicii este de fapt o teoremă. Pentru a demonstra acest lucru, imaginați-vă că aveți de-a face cu o mașină reversibilă care funcționează între temperaturi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta _ {0}$ , indiferent care dintre cele două este mai mare. Apoi să presupunem că mașina în cauză schimbă cantitățile de căldură $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $Q_{0}$ ${\ displaystyle Q_ {0}}$ $Q_ {0}$ cu arcuri la temperaturi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta _ {0}$ respectiv. În acest fel, temperatura absolută (măsurată în kelvini ) poate fi definită operațional folosind relația

\theta =\theta _{0}\left|{\frac {Q}{Q_{0}}}\right|,

{\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ left | {\ frac {Q} {Q_ {0}}} \ right |,}

\ theta = \ theta _ {0} \ left | {{\ frac {Q} {{Q_ {0}}}}} \ right |,

din care este clar că variația unei temperaturi nu înseamnă altceva decât înmulțirea acesteia cu o anumită cantitate, adică raportul dintre schimburile de căldură. Deci, dacă ați avut la dispoziție un frigider , real de data aceasta, care este capabil, la fiecare ciclu, să-și scadă temperatura cu un factor $\left|{\frac {Q}{Q_{0}}}\right|,$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {Q} {Q_ {0}}} \ right |,}$ $\ left | {{\ frac {Q} {{Q_ {0}}}}} \ right |,$ nu ar putea ajunge niciodată la zero absolut cu un număr finit de cicluri: de fapt, pentru a doua lege a termodinamicii , eficiența unei mașini reale $\eta _{\mathrm {reale} }$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {real}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {real}}}$ este egal cu

\eta _{\mathrm {reale} }=1-{\frac {Q_{\mathrm {ceduto} }}{Q_{\mathrm {assorbito} }}},

{\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {real}} = 1 - {\ frac {Q _ {\ mathrm {sold}}} {Q _ {\ mathrm {absorbit}}}},}

{\ displaystyle \ eta _ {\ mathrm {real}} = 1 - {\ frac {Q _ {\ mathrm {sold}}} {Q _ {\ mathrm {absorbit}}}},}

cu

0\leq \eta _{\mathrm {reale} }<1.

{\ displaystyle 0 \ leq \ eta _ {\ mathrm {real}} <1.}

{\ displaystyle 0 \ leq \ eta _ {\ mathrm {real}} <1.}

Datorită acestor două ultime proprietăți este ușor de înțeles acest lucru

0<{\frac {Q}{Q_{0}}}\leq 1

{\ displaystyle 0 <{\ frac {Q} {Q_ {0}}} \ leq 1}

0 <{\ frac {Q} {{Q_ {0}}}} \ leq 1

sau că raportul dintre căldura degajată și căldura absorbită nu poate lua niciodată o valoare nulă. În acest sens, de exemplu, dacă un frigider ar fi în măsură să își înjumătățească temperatura la fiecare ciclu, nu ar fi în niciun caz, darămite cu un singur ciclu, să-l aducă la zero într-un timp finit.

Justificare statistică

Din punct de vedere microscopic, prin urmare, în domeniul mecanicii statistice , al treilea principiu poate fi exprimat în acest fel:

entropia absolută a unui solid cristalin la o temperatură de 0 K este 0. ^[6]

După cum puteți vedea, apare expresia entropie absolută , adică entropia nu este considerată în raport cu căldura schimbată într-o reacție , ci mai degrabă ca o cantitate absolută. În termodinamica statistică, de fapt, entropia este dată de relație

S=k_{B}\log W

{\ displaystyle S = k_ {B} \ log W}

S = k_ {B} \ log W

unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este entropie, $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ este constanta lui Boltzmann , dată de $k_{B}={\frac {R}{N_{A}}}$ ${\ displaystyle k_ {B} = {\ frac {R} {N_ {A}}}}$ $k_ {B} = {\ frac {R} {{N_ {A}}}}$ (adică raportul dintre constanta de gaz perfectă și constanta lui Avogadro ) e $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este numărul de microstate ale sistemului compatibile cu numărul de macrostate.

Din ecuație este evident că variabila de care depinde entropia este $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ; intr-adevar, $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și $N_{A}$ ${\ displaystyle N_ {A}}$ $N / A}$ sunt două constante și din acest motiv este și el $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ . Macrostatul poate fi definit ca ansamblul condițiilor macroscopice ale unui sistem, prin urmare presiunea , temperatura , numărul de aluniți și volumul . Microstatul, pe de altă parte, este un concept legat de timp . Vă puteți imagina fotografierea instantaneu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ o fotografie a unui sistem care se află în anumite condiții, adică într-un anumit macrostat. În acel moment, fiecare dintre particulele din sistem are o anumită poziție, diferită de cea care poate fi observată într-o a doua fotografie făcută instantaneu $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ . Viteza și posibilitatea ca aceste particule să-și schimbe poziția depind de macrostat.

Intuitiv, este ușor de văzut cum se modifică numărul de posibile microstate în funcție de condițiile care definesc macrostatul sistemului. Intr-adevar,

este proporțional cu volumul: cu cât este mai mare capacitatea sistemului , cu atât mai multe posibilități au moleculele de a se deplasa;
este proporțională cu temperatura: de fapt, după cum arată teoria cinetică a gazelor , la temperaturi ridicate crește energia cinetică a particulelor și, prin urmare, numărul de coliziuni și, în consecință, numărul de microstate crește;
crește odată cu creșterea numărului de particule conținute în sistem;
scade odată cu creșterea presiunii: acest lucru se datorează faptului că, la presiuni ridicate, distanța dintre particulele individuale scade și, prin urmare, și spațiul în care se pot mișca.

Aceste considerații ne permit să afirmăm că următoarea relație există în general între entropia unui solid, cea a unui lichid și cea a unui gaz:

S_{\mathrm {solido} }<S_{\mathrm {liquido} }<S_{\mathrm {gas} }.

{\ displaystyle S _ {\ mathrm {solid}} <S _ {\ mathrm {liquid}} <S _ {\ mathrm {gas}}.}

{\ displaystyle S _ {\ mathrm {solid}} <S _ {\ mathrm {liquid}} <S _ {\ mathrm {gas}}.}

Prin urmare, este clar că dacă temperatura este 0 K, energia cinetică a particulelor care alcătuiesc sistemul este de asemenea 0 și, în consecință, acestea din urmă rămân staționare. Numărul de microstate posibile compatibile cu acest macrostat este 1 și, deoarece logaritmul 1 este 0, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se dovedește a fi zero.

Există o excepție de la faptul că entropia fazei solide este mai mică decât faza lichidă: cazul heliului-3 . De fapt, pentru acest izotop de heliu sub 0,31 K, entropia solidului este mai mare decât cea a lichidului ^[7] . Explicația este că sub 0,31 K solidul continuă să aibă două stări de spin, deci cu o entropie finită, în timp ce lichidul fiind un lichid Fermi are o entropie care scade liniar cu temperatura. La temperaturi mult mai scăzute (fracțiuni de mK), entropia de heliu-3 solid ajunge, de asemenea, la zero și, prin urmare, al treilea principiu continuă să fie valabil.

Dovada statistică a celui de-al treilea principiu

Din punct de vedere statistic, al treilea principiu poate fi demonstrat în felul următor. ^[8]

Este posibil să se introducă probabilitatea ca la echilibrul termic un singur sistem canonic (care se menține la echilibru numai prin schimburi de căldură) să ocupe un anumit nivel de energie $\epsilon _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha}}$ , definit ca:

\rho _{\alpha }={\frac {g_{\alpha }e^{-\beta \epsilon _{\alpha }}}{Z_{c}}}

{\ displaystyle \ rho _ {\ alpha} = {\ frac {g _ {\ alpha} e ^ {- \ beta \ epsilon _ {\ alpha}}} {Z_ {c}}}}

{\ displaystyle \ rho _ {\ alpha} = {\ frac {g _ {\ alpha} e ^ {- \ beta \ epsilon _ {\ alpha}}} {Z_ {c}}}}

unde $g_{\alpha }$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha}}$ reprezintă multiplicitatea stării cuantice (care nu depinde de volumul sau presiunea sistemului, ci doar de simetriile interne ale sistemului), $Z_{c}$ ${\ displaystyle Z_ {c}}$ ${\ displaystyle Z_ {c}}$ este funcția de partiție canonică și $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}$ .

În acest moment puteți stabili o limită pentru $T\rightarrow 0$ ${\ displaystyle T \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle T \ rightarrow 0}$ , asta este pentru $\beta \rightarrow \infty$ ${\ displaystyle \ beta \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ beta \ rightarrow \ infty}$ :

\lim _{\beta \to \infty }\rho _{\alpha }=\lim _{\beta \to \infty }{\frac {g_{\alpha }e^{-\beta \epsilon _{\alpha }}}{Z_{c}}}=\lim _{\beta \to \infty }{\frac {{\frac {g_{\alpha }}{g_{0}}}e^{-\beta (\epsilon _{\alpha }-\epsilon _{0})}}{1+\sum _{\alpha =1}^{\infty }{\frac {g_{\alpha }}{g_{0}}}e^{-\beta (\epsilon _{\alpha }-\epsilon _{0})}}}=\delta _{\alpha ,0}

{\ displaystyle \ lim _ {\ beta \ to \ infty} \ rho _ {\ alpha} = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} {\ frac {g _ {\ alpha} e ^ {- \ beta \ epsilon _ {\ alpha}}} {Z_ {c}}} = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} {\ frac {{\ frac {g _ {\ alpha}} {g_ {0}}} e ^ {- \ beta (\ epsilon _ {\ alpha} - \ epsilon _ {0})}} {1+ \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {\ infty} {\ frac {g _ {\ alpha} } {g_ {0}}} e ^ {- \ beta (\ epsilon _ {\ alpha} - \ epsilon _ {0})}}} = \ delta _ {\ alpha, 0}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ beta \ to \ infty} \ rho _ {\ alpha} = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} {\ frac {g _ {\ alpha} e ^ {- \ beta \ epsilon _ {\ alpha}}} {Z_ {c}}} = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} {\ frac {{\ frac {g _ {\ alpha}} {g_ {0}}} e ^ {- \ beta (\ epsilon _ {\ alpha} - \ epsilon _ {0})}} {1+ \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {\ infty} {\ frac {g _ {\ alpha} } {g_ {0}}} e ^ {- \ beta (\ epsilon _ {\ alpha} - \ epsilon _ {0})}}} = \ delta _ {\ alpha, 0}}

unde ultimul pas este justificat de faptul că pentru $\alpha \neq 0$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$ , exponențialul din numărător tinde să anuleze întreaga fracție. Acolo $\delta _{\alpha ,0}$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha, 0}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha, 0}}$ este delta Kroneker , care este doar 1 când $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ .

În acest moment putem calcula energia și entropia sistemului inițial în limita pentru $T\rightarrow 0$ ${\ displaystyle T \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle T \ rightarrow 0}$ :

\lim _{T\to 0}E=\lim _{\beta \to \infty }E=\sum _{\alpha =0}^{\infty }\rho _{\alpha }\epsilon _{\alpha }=\sum _{\alpha =0}^{\infty }\delta _{\alpha ,0}\epsilon _{\alpha }=\epsilon _{0}

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to 0} E = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} E = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} \ rho _ {\ alpha} \ epsilon _ {\ alpha} = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} \ delta _ {\ alpha, 0} \ epsilon _ {\ alpha} = \ epsilon _ {0}}

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to 0} E = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} E = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} \ rho _ {\ alpha} \ epsilon _ {\ alpha} = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} \ delta _ {\ alpha, 0} \ epsilon _ {\ alpha} = \ epsilon _ {0}}

\lim _{T\to 0}S=\lim _{\beta \to \infty }S=\sum _{\alpha =0}^{\infty }k_{B}\rho _{\alpha }ln({\frac {g_{\alpha }}{\rho _{\alpha }}})=\sum _{\alpha =0}^{\infty }k_{B}\rho _{\alpha }ln({\frac {g_{\alpha }}{\rho _{\alpha }}})=k_{B}ln(g_{0})

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to 0} S = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} S = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} k_ {B} \ rho _ {\ alpha} ln ({\ frac {g _ {\ alpha}} {\ rho _ {\ alpha}}}) = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} k_ {B} \ rho _ {\ alpha} ln ({\ frac {g _ {\ alpha}} {\ rho _ {\ alpha}}}) = k_ {B} ln (g_ {0})}

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to 0} S = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} S = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} k_ {B} \ rho _ {\ alpha} ln ({\ frac {g _ {\ alpha}} {\ rho _ {\ alpha}}}) = \ sum _ {\ alpha = 0} ^ {\ infty} k_ {B} \ rho _ {\ alpha} ln ({\ frac {g _ {\ alpha}} {\ rho _ {\ alpha}}}) = k_ {B} ln (g_ {0})}

Prima relație arată că pentru $T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ , energia sistemului este doar cea a stării fundamentale, numită energie punct zero .

A doua relație arată în schimb că, în general, entropia pentru $T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ nu depinde de variabilele de stare termodinamice, ci doar de multiplicitatea stării fundamentale.

Al treilea principiu pornind de la ecuația gazului ideal

A treia lege a termodinamicii poate fi considerată valabilă (chiar dacă nu este o demonstrație riguroasă) pornind de la ecuația stării gazelor ideale :

pV=nRT\!\;

{\ displaystyle pV = nRT \! \;}

pV = nRT \! \;

Vrem să realizăm o transformare izobarică (la presiune constantă) a unui gaz ideal. Explicând ecuația cu privire la volum rezultă că:

V={\frac {nRT}{p}}\!\;

{\ displaystyle V = {\ frac {nRT} {p}} \! \;}

V = {\ frac {nRT} {p}} \! \;

Prin urmare, temperatura este direct proporțională cu volumul :

V=T{\frac {nR}{p}}\!\;

{\ displaystyle V = T {\ frac {nR} {p}} \! \;}

V = T {\ frac {nR} {p}} \! \;

Prin urmare, dacă temperatura T ar fi egală cu 0 kelvin (zero absolut), volumul gazului ar deveni egal cu 0 metri cubi.

V=0{\frac {nR}{p}}\!\;

{\ displaystyle V = 0 {\ frac {nR} {p}} \! \;}

V = 0 {\ frac {nR} {p}} \! \;

V=0\!\;

{\ displaystyle V = 0 \! \;}

V = 0 \! \;

Acest lucru nu este posibil presupunând că, deoarece masa m a gazului este diferită de 0 (având în vedere gazul existent), densitatea ar fi:

\rho ={\frac {m}{0}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {0}}}

\ rho = {\ frac {m} {0}}

Ceea ce în mod evident nu este posibil datorită diviziunii cu zero .

Această demonstrație nu este riguroasă deoarece faptul că gazul are o temperatură egală cu 0 nu implică faptul că volumul trebuie neapărat să fie egal cu 0. Acest lucru se datorează faptului că am presupus ecuația gazelor ideale ca ecuație de stare: strict vorbind, dovada nu poate fi aplicată în afara sistemelor descrise de această ecuație, în timp ce în natură există o cantitate enormă de exemple de sisteme descrise de alte ecuații de stare.

În realitate, raționamentul rămâne același, nu foarte riguros: gazul ar putea avea, de fapt, o temperatură egală cu 0 și un volum arbitrar, atâta timp cât are și presiune zero (această valoare a presiunii ar face formula pentru calcularea volumului nedeterminată). Această situație ar fi, de asemenea, în concordanță cu faptul că, având în vedere că la zero absolut moleculele sunt staționare, ele nu se ciocnesc cu pereții unui container ipotetic și, prin urmare, gazul este lipsit de presiune.

Notă

^ J. Wilks A treia lege a termodinamicii Oxford University Press (1961)
^ Kittel și Kroemer, Fizica termică (ediția a doua), P. 49.
^ Răcirea la zero absolut interzisă matematic după un secol , la newscientist.com .
^ O derivare generală și cuantificarea celei de-a treia legi a termodinamicii , pe nature.com .
^ M. Heidrich, Bounded energy exchange ca alternativă la a treia lege a termodinamicii , în Annals of Physics , vol. 373, 2016, pp. 665–681, Bibcode : 2016AnPhy.373..665H , DOI : 10.1016 / j.aop.2016.07.031 .
^ Silvestroni , p. 135 .
^ Efectul Pomeranchuk ( PDF ), pe nobelprize.org .
^ M. Toda, R. Kubo , N. Saitô, Physical Statistical , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-540-53662-0 .

Bibliografie

Paolo Silvestroni, Fundamentals of chemistry , ed. A X-a, CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8 .
( EN ) JM Smith, HCVan Ness; MM Abbot, Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics , ediția a 6-a, McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07-240296-2 .
Gordon M. Barrow, Chimie fizică , Bologna, Zanichelli, 1976.
KG Denbigh, Principiile echilibrului chimic , Milano, Editura Ambrosiana, 1971, ISBN 88-408-0099-9 .
(EN) Robert Perry , Don W. Green, Perry's Chemical Engineers 'Handbook , ediția a VIII-a, McGraw-Hill, 2007, ISBN 0-07-142294-3 .
Arieh Ben-Naim, Entropy Demystified , World Scientific, 2007, ISBN 981-270-055-2 .
JS Dugdale, Entropy and its Physical Meaning , ediția a II-a, Taylor și Francis (Marea Britanie); CRC (SUA), 1996, ISBN 0-7484-0569-0 .
Enrico Fermi , Termodinamică , Prentice Hall, 1937, ISBN 0-486-60361-X .
- Enrico Fermi , Termodinamică , ed. Italian Bollati Boringhieri, (1972), ISBN 88-339-5182-0 ;
Herbert Kroemer, Charles Kittel, Thermal Physics , ed. A II-a, WH Freeman Company, 1980, ISBN 0-7167-1088-9 .
Roger Penrose , The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe , 2005, ISBN 0-679-45443-8 .
F. Reif, Fundamentele fizicii statistice și termice , McGraw-Hill, 1965, ISBN 0-07-051800-9 .
Goldstein, Martin; Inge, F,Frigiderul și Universul , Harvard University Press, 1993, ISBN 0-674-75325-9 .
von Baeyer; Hans Christian, Demonul lui Maxwell: De ce se dispersează căldura și trece timpul , Random House, 1998, ISBN 0-679-43342-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

Antonino Drago, A treia lege a termodinamicii de pe ușa SISSA

Portalul Termodinamicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de termodinamică

[1] J. Wilks A treia lege a termodinamicii Oxford University Press (1961)

[2] Kittel și Kroemer, Fizica termică (ediția a doua), P. 49.

[3] Răcirea la zero absolut interzisă matematic după un secol , la newscientist.com .

[4] O derivare generală și cuantificarea celei de-a treia legi a termodinamicii , pe nature.com .

[5] M. Heidrich, Bounded energy exchange ca alternativă la a treia lege a termodinamicii , în Annals of Physics , vol. 373, 2016, pp. 665–681, Bibcode : 2016AnPhy.373..665H , DOI : 10.1016 / j.aop.2016.07.031 .

[6] Silvestroni , p. 135 .

[7] Efectul Pomeranchuk ( PDF ), pe nobelprize.org .

[8] M. Toda, R. Kubo , N. Saitô, Physical Statistical , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-540-53662-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]