Limita de clasă

În analiza matematică , clasa limită este un concept legat de cel al subsecvenței și al limitei unei secvențe . Acesta este setul de valori la care este posibil să se tinde o subsecvență a unei secvențe date și, ca atare, poate fi de cardinalitate finită sau infinită, dar nu și setul gol .

Definiție

Este $\{x_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n}}$ $\ {x_ {n} \} _ {n}$ o succesiune de numere reale ; se spune că $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o valoare limită a secvenței dacă există o subsecvență $\{x_{n_{k}}\}_{k}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n_ {k}} \} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n_ {k}} \} _ {k}}$ pentru care

\lim _{k\to +\infty }{x_{n_{k}}}=\alpha

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to + \ infty} {x_ {n_ {k}}} = \ alpha}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to + \ infty} {x_ {n_ {k}}} = \ alpha}

.

Secvența nu trebuie să fie regulată (adică convergentă sau divergentă); de fapt, chiar și o succesiune neregulată admite întotdeauna subsecvențe regulate.

Clasa limită a secvenței este setul de valori limită ^[1] ; adică dacă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ indică clasa limită a $\{x_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n}}$ $\ {x_ {n} \} _ {n}$ :

C=\{\alpha \in \mathbb {R} :\exists \{x_{n_{k}}\}_{k}{\underset {k\to +\infty }{\ \ \longrightarrow \ \alpha }}\}

{\ displaystyle C = \ {\ alpha \ in \ mathbb {R}: \ există \ {x_ {n_ {k}} \} _ {k} {\ underset {k \ to + \ infty} {\ \ \ longrightarrow \ \ alpha}} \}}

{\ displaystyle C = \ {\ alpha \ in \ mathbb {R}: \ există \ {x_ {n_ {k}} \} _ {k} {\ underset {k \ to + \ infty} {\ \ \ longrightarrow \ \ alpha}} \}}

.

Exemple

$x_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = \ sin {\ frac {n \ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = \ sin {\ frac {n \ pi} {2}}}$ ;

În acest caz

C=\{-1,0,1\}

{\ displaystyle C = \ {- 1,0,1 \}}

{\ displaystyle C = \ {- 1,0,1 \}}

; intr-adevar

\{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-1,\cdots \}

{\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 0} = \ {0,1,0, -1, \ cdots \}}

{\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 0} = \ {0,1,0, -1, \ cdots \}}

, deci o subsecvență poate consta doar din valori

0,1,-1

{\ displaystyle 0,1, -1}

{\ displaystyle 0,1, -1}

; subsecvențele banale ale tipului

\{x_{2n}\}_{n}=\{0,0,0,\cdots \},\{x_{4n+1}\}=\{1,1,1,\cdots \},\{x_{4n-1}\}=\{-1,-1,-1,\cdots \}

{\ displaystyle \ {x_ {2n} \} _ {n} = \ {0,0,0, \ cdots \}, \ {x_ {4n + 1} \} = \ {1,1,1, \ cdots \}, \ {x_ {4n-1} \} = \ {- 1, -1, -1, \ cdots \}}

{\ displaystyle \ {x_ {2n} \} _ {n} = \ {0,0,0, \ cdots \}, \ {x_ {4n + 1} \} = \ {1,1,1, \ cdots \}, \ {x_ {4n-1} \} = \ {- 1, -1, -1, \ cdots \}}

, de exemplu, admit ca valori limită

0,1,-1

{\ displaystyle 0,1, -1}

{\ displaystyle 0,1, -1}

respectiv.

$x_{n}=n\sin {\frac {n\pi }{2}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = n \ sin {\ frac {n \ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = n \ sin {\ frac {n \ pi} {2}}}$ ;

În acest caz

C=\{-\infty ,0,+\infty \}

{\ displaystyle C = \ {- \ infty, 0, + \ infty \}}

{\ displaystyle C = \ {- \ infty, 0, + \ infty \}}

; intr-adevar

\{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-2,0,3,\cdots \}

{\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 0} = \ {0,1,0, -2,0,3, \ cdots \}}

{\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 0} = \ {0,1,0, -2,0,3, \ cdots \}}

, iar o subsecvență trebuie să fie definitiv zero sau, alternativ, să nu fie limitată.

Proprietate

Clasa limită a unei secvențe nu este niciodată goală. De fapt, dacă $\{x_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n}}$ $\ {x_ {n} \} _ {n}$ este delimitat, apoi închiderea sa este compactă și, prin urmare, secvența admite o subsecvență convergentă ( teorema Bolzano-Weierstrass ). Dacă, pe de altă parte, nu este delimitat deasupra (sau dedesubt), se poate găsi o subsecvență de acest tip $\{x_{j}\}_{j}$ ${\ displaystyle \ {x_ {j} \} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {j} \} _ {j}}$ cu

x_{j}={\underset {i<j}{\max }}{\ x_{i}}

{\ displaystyle x_ {j} = {\ underset {i <j} {\ max}} {\ x_ {i}}}

{\ displaystyle x_ {j} = {\ underset {i <j} {\ max}} {\ x_ {i}}}

(sau

x_{j}={\underset {i<j}{\min }}{\ x_{i}}

{\ displaystyle x_ {j} = {\ underset {i <j} {\ min}} {\ x_ {i}}}

{\ displaystyle x_ {j} = {\ underset {i <j} {\ min}} {\ x_ {i}}}

)

pe care o admite ca limită $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ (sau $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ).

Intersecția dintre clasa limitativă și setul de numere reale (adică clasa limitativă din care s-au eliminat eventual punctele la infinit) este un set închis . De fapt, dacă $\alpha \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ este de acumulare pentru $C\cap \mathbb {R}$ ${\ displaystyle C \ cap \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle C \ cap \ mathbb {R}}$ , atunci există $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n},\cdots$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ cdots, \ alpha _ {n}, \ cdots}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ cdots, \ alpha _ {n}, \ cdots}$ această abordare la infinit $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ; aceste $\alpha _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ sunt limite ale subsecvențelor $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ , deci putem găsi o subsecvență care se apropie la infinit de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , folosind valorile limită ca „mize” $\alpha _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ (pe care îl putem aborda după bunul plac pentru subsecvențe).

În plus, clasa limită, înțeleasă ca un subset de ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ (asa numitul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ extins ) admite întotdeauna maxim și minim; de fapt, dacă $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ este nelimitat (de exemplu mai sus), atunci $+\infty \in C$ ${\ displaystyle + \ infty \ în C}$ ${\ displaystyle + \ infty \ în C}$ , Și $\max C=+\infty$ ${\ displaystyle \ max C = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ max C = + \ infty}$ ; altfel, dacă $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ este limitat (de exemplu în partea de sus), apoi este, de asemenea, limitat $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ (sau ar exista o valoare limită strict mai mare decât limita superioară a secvenței) și de atunci $C\cap \mathbb {R}$ ${\ displaystyle C \ cap \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle C \ cap \ mathbb {R}}$ este închis, conține propriul său superior și, prin urmare, admite maxim. Un raționament analog demonstrează că clasa limită admite minim. ^[1]

Limita superioară și limita inferioară

Având în vedere o secvență, limita superioară a acestei secvențe este definită ca maximul clasei sale limită ^[1] :

{\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\overline {\lim }}}{x_{n}}:=\max {C}

{\ displaystyle {\ underset {n \ to + \ infty} {\ limsup}} {\ x_ {n}} = {\ underset {n \ to + \ infty} {\ overline {\ lim}}} {x_ { n}}: = \ max {C}}

{\ displaystyle {\ underset {n \ to + \ infty} {\ limsup}} {\ x_ {n}} = {\ underset {n \ to + \ infty} {\ overline {\ lim}}} {x_ { n}}: = \ max {C}}

;

în mod similar, limita inferioară a acestei secvențe este definită ca minimul clasei sale limită:

{\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\underline {\lim }}}{x_{n}}:=\min {C}

{\ displaystyle {\ underset {n \ to + \ infty} {\ liminf}} {\ x_ {n}} = {\ underset {n \ to + \ infty} {\ underline {\ lim}}} {x_ { n}}: = \ min {C}}

{\ displaystyle {\ underset {n \ to + \ infty} {\ liminf}} {\ x_ {n}} = {\ underset {n \ to + \ infty} {\ underline {\ lim}}} {x_ { n}}: = \ min {C}}

.

Este clar, din argumentele paragrafului anterior, că astfel de valori există întotdeauna. În general, ele vor fi diferite (evident că veți avea $\liminf x_{n}\leq \limsup x_{n}$ ${\ displaystyle \ liminf x_ {n} \ leq \ limsup x_ {n}}$ ${\ displaystyle \ liminf x_ {n} \ leq \ limsup x_ {n}}$ ); dacă totuși aceste valori coincid, adică dacă clasa limită constă dintr-un singur element, atunci toate subsecvențele converg la aceeași valoare limită. Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru a garanta convergența succesiunii principale, adică:

\exists \lim _{n\to +\infty }{x_{n}}\in {\overline {\mathbb {R} }}\iff {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}\iff |C|=1

{\ displaystyle \ există \ lim _ {n \ to + \ infty} {x_ {n}} \ in {\ overline {\ mathbb {R}}} \ if {\ underset {n \ to + \ infty} {\ liminf}} {\ x_ {n}} = {\ underset {n \ to + \ infty} {\ limsup}} {\ x_ {n}} \ iff | C | = 1}

{\ displaystyle \ există \ lim _ {n \ to + \ infty} {x_ {n}} \ in {\ overline {\ mathbb {R}}} \ if {\ underset {n \ to + \ infty} {\ liminf}} {\ x_ {n}} = {\ underset {n \ to + \ infty} {\ limsup}} {\ x_ {n}} \ iff | C | = 1}

,

unde este $|\cdot |$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ indică cardinalitatea setului.

Notă

^ ^a ^b ^c Soardi, PM , pp. 111-114.

Bibliografie

Paul Maurice Soardi, Analiză matematică, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[soar-1] Soardi, PM , pp. 111-114.

[1]