Clothoid

O porțiune dintr-o spirală Cornu (cloidoidă), obținută prin trasarea integralelor Fresnel ( x , y ) = ( C ( t ), S ( t )) pentru t în intervalul [-7.7]. Pentru că tind să

\pm \infty

{\ displaystyle \ pm \ infty}

\ pm \ infty

curba converge spre cele două puncte marcate.

Spirala cloidoidă sau Cornu (numită după fizicianul francez Alfred Cornu ) sau spirala lui Euler este o curbă a cărei curbură variază liniar de-a lungul lungimii sale, probabil studiată pentru prima dată de Johann Bernoulli în jurul anului 1696. ^[1] Numele derivă dintr-unul dintre miticele Soții grecești. , Clotho (celelalte două sunt Lachesis și Atropos ), care înfășurau firul existenței fiecărei persoane în jurul a două fusuri: curba amintește de fapt un fir înfășurat între două fusuri reprezentate de centrele celor două spirale. ^[2]

Formulare

Ecuația Cesaro a cloidoidului generalizat este de obicei exprimată sub forma ^[3]

k=-{\frac {s^{n}}{a^{n+1}}}

{\ displaystyle k = - {\ frac {s ^ {n}} {a ^ {n + 1}}}}

k = - \ frac {s ^ {n}} {a ^ {n + 1}}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este curbura, $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ abscisa curbiliniară , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt câțiva parametri. Pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ avem cloidoidul obișnuit, numit monoparametric, pentru $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ vorbim de hiperclotoid, în timp ce pentru $n<1$ ${\ displaystyle n <1}$ $n <1$ de hipoclotoid.

Parametrizare

Curbura $k_{\alpha }$ ${\ displaystyle k _ {\ alpha}}$ $k _ {\ alpha}$ a unei curbe $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ cu viteza unitară este egal cu derivata unghiului de rotație

k_{\alpha }(s)={\frac {{\text{d}}\theta _{\alpha }(s)}{{\text{d}}s}}

{\ displaystyle k _ {\ alpha} (s) = {\ frac {{\ text {d}} \ theta _ {\ alpha} (s)} {{\ text {d}} s}}}

k _ {\ alpha} (s) = \ frac {\ text {d} \ theta _ {\ alpha} (s)} {\ text {d} s}

unde unghiul de rotație determinat de $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta_0$ este singura funcție diferențiată $\theta _{\alpha }:[a,\,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ alpha}: [a, \, b] \ to \ mathbb {R}}$ $\ theta _ {\ alpha}: [a, \, b] \ to \ R$ astfel încât

{\frac {\alpha \prime (t)}{||\alpha \prime (t)||}}=\left(\cos(\theta _{\alpha }(t)),\,\sin(\theta _{\alpha }(t))\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ prime (t)} {|| \ alpha \ prime (t) ||}} = \ left (\ cos (\ theta _ {\ alpha} (t)), \, \ sin (\ theta _ {\ alpha} (t)) \ right)}

\ frac {\ alpha \ prime (t)} {|| \ alpha \ prime (t) ||} = \ left (\ cos (\ theta _ {\ alpha} (t))), \, \ sin (\ theta_ {\ alpha} (t)) \ right)

Și

\theta _{\alpha }(t_{0})=\theta _{0}

{\ displaystyle \ theta _ {\ alpha} (t_ {0}) = \ theta _ {0}}

\ theta _ {\ alpha} (t_0) = \ theta_0

pentru o curbă lină $\alpha (t):[a,\,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha (t): [a, \, b] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ alpha (t): [a, \, b] \ to \ R ^ 2$ , cu $\theta _{0}\in [0,\,2\pi ]$ ${\ displaystyle \ theta _ {0} \ în [0, \, 2 \ pi]}$ $\ theta_0 \ în [0, \, 2 \ pi]$ astfel încât

{\frac {\alpha \prime (t_{0})}{||\alpha \prime (t_{0})||}}=\left(\cos(\theta _{0}),\,\sin(\theta _{0})\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ prime (t_ {0})} {|| \ alpha \ prime (t_ {0}) ||}} = \ left (\ cos (\ theta _ {0}), \, \ sin (\ theta _ {0}) \ right)}

\ frac {\ alpha \ prime (t_0)} {|| \ alpha \ prime (t_0) ||} = \ left (\ cos (\ theta_0), \, \ sin (\ theta_0) \ right)

pentru o valoare $t_{0}\in [a,\,b]$ ${\ displaystyle t_ {0} \ în [a, \, b]}$ $t_0 \ în [a, \, b]$ fix. ^[4]

Plecând de la ecuația naturală a cloidoidului

k=-{\frac {s^{n}}{a^{n+1}}}

{\ displaystyle k = - {\ frac {s ^ {n}} {a ^ {n + 1}}}}

k = - \ frac {s ^ {n}} {a ^ {n + 1}}

integrarea avem ^[5]

\theta (s)=-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}

{\ displaystyle \ theta (s) = - {\ frac {s ^ {n + 1}} {(n + 1) a ^ {n + 1}}}}

\ theta (s) = - \ frac {s ^ {n + 1}} {(n + 1) a ^ {n + 1}}

prin urmare, pentru definirea unghiului de rotație

\alpha \prime (s)=\left(\cos \left(-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}\right),\,\sin \left(-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}\right)\right)

{\ displaystyle \ alpha \ prime (s) = \ left (\ cos \ left (- {\ frac {s ^ {n + 1}} {(n + 1) a ^ {n + 1}}} \ right) , \, \ sin \ left (- {\ frac {s ^ {n + 1}} {(n + 1) a ^ {n + 1}}} \ right) \ right)}

\ alpha \ prime (s) = \ left (\ cos \ left (- \ frac {s ^ {n + 1}} {(n + 1) a ^ {n + 1}} \ right), \, \ sin \ left (- \ frac {s ^ {n + 1}} {(n + 1) a ^ {n + 1}} \ right) \ right)

.

Prin aplicarea teoremei fundamentale a calculului integral și a unei modificări a variabilei pentru a scoate la iveală parametrul a , găsim o parametrizare a cloidului generalizat (net de rototraduții posibile): ^[5]

\left(x(t),\,y(t)\right)=a^{n+1}\,\left(\int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{n+1}}{n+1}}\right){\text{d}}u,\,\int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{n+1}}{n+1}}\right){\text{d}}u\right)

{\ displaystyle \ left (x (t), \, y (t) \ right) = a ^ {n + 1} \, \ left (\ int _ {0} ^ {t} \ cos \ left ({\ frac {u ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right) {\ text {d}} u, \, \ int _ {0} ^ {t} \ sin \ left ({\ frac {u ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right) {\ text {d}} u \ right)}

\ left (x (t), \, y (t) \ right) = a ^ {n + 1} \, \ left (\ int_0 ^ t \ cos \ left (\ frac {u ^ {n + 1}} {n + 1} \ right) \ text {d} u, \, \ int_0 ^ t \ sin \ left (\ frac {u ^ {n + 1}} {n + 1} \ right) \ text {d} ai dreptate)

.

Pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ avem cloidoidul obișnuit, a cărui parametrizare este exprimată în raport cu integralele Fresnel :

\left(x(t),\,y(t)\right)=a\,\left(\int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{2}}{2}}\right){\text{d}}u,\,\int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{2}}{2}}\right){\text{d}}u\right)

{\ displaystyle \ left (x (t), \, y (t) \ right) = a \, \ left (\ int _ {0} ^ {t} \ cos \ left ({\ frac {u ^ {2 }} {2}} \ right) {\ text {d}} u, \, \ int _ {0} ^ {t} \ sin \ left ({\ frac {u ^ {2}} {2}} \ dreapta) {\ text {d}} u \ right)}

{\ displaystyle \ left (x (t), \, y (t) \ right) = a \, \ left (\ int _ {0} ^ {t} \ cos \ left ({\ frac {u ^ {2 }} {2}} \ right) {\ text {d}} u, \, \ int _ {0} ^ {t} \ sin \ left ({\ frac {u ^ {2}} {2}} \ dreapta) {\ text {d}} u \ right)}

.

Aplicație în ingineria infrastructurii

Exemplu de tranziție cu rază variabilă (în roșu) de la o linie dreaptă (în albastru) la o linie cu curbură constantă (în verde).

Același subiect în detaliu: Curba razei variabile .

Clothoid este o curbă cu rază variabilă și este utilizată pentru a fileta:

O linie dreaptă și arcul ulterior al unui cerc (cloidoid de tranziție);
2 arcuri circulare, unul în interiorul celuilalt, dar aparținând circumferințelor neconcentrice (Clothoid de continuitate);
2 arcuri circulare, una exterioară celeilalte și cu concavități opuse (Clothoid de inflexiune).

În ingineria rutieră este utilizat pentru a conține reculul , adică variația accelerației transversale și a rulării , adică rotația vehiculului datorită rotației platformei.

În ingineria feroviară , cloida este utilizată din motive similare. În trecut, se folosea parabola cubică.

Notă

^ Bernoulli , pp. 1084-1086 .
^ ( FR ) Robert Ferréol și Jacques Mandonnet,Spirale de Cornu , pe mathcurve.com ( arhivat la 17 august 2015) .
^ Caddeo & Grey , p. 145 .
^ Caddeo & Gray , pp. 20-21 .
^ ^a ^b Pentru simplitate, setăm constantele de integrare la zero, care permit în general rotirea (în cazul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ) sau traduce (cele două constante prin integrare $\alpha \prime$ ${\ displaystyle \ alpha \ prime}$ $\ alpha \ prime$ ) curba. Ecuația Cesàro de la care pornește calculul este de fapt independentă de poziție, fiind invariantă din cauza rototranslațiilor curbei în plan.

Bibliografie

Johann Bernoulli, Opera, Tomus Secundus , Bruxelles, Culture er Civilization, 1967.
Renzo Caddeo și Alfred Gray, Curbe și suprafețe , vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5 .