Condițiile la limita Neumann

În matematică , condițiile limită Neumann (sau al doilea tip ) sunt un tip de condiție limită , numită în onoarea lui Carl Gottfried Neumann . ^[1]

Atunci când sunt impuse unei ecuații diferențiale obișnuite sau unei ecuații diferențiale parțiale , acestea specifică valorile pe care derivata unei soluții trebuie să le ia la limita domeniului .

Ecuații diferențiale ordinare

În cazul unei ecuații diferențiale obișnuite definite pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , de exemplu:

{\ddot {y}}+y=0

{\ displaystyle {\ ddot {y}} + y = 0}

{\ displaystyle {\ ddot {y}} + y = 0}

condiția limită Neumann ia forma:

{\dot {y}}(a)=\alpha _{1}

{\ displaystyle {\ dot {y}} (a) = \ alpha _ {1}}

{\ displaystyle {\ dot {y}} (a) = \ alpha _ {1}}

{\dot {y}}(b)=\alpha _{2}

{\ displaystyle {\ dot {y}} (b) = \ alpha _ {2}}

{\ displaystyle {\ dot {y}} (b) = \ alpha _ {2}}

unde este $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$ Și $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ li se dau valori.

Ecuații diferențiale parțiale

Pentru o ecuație diferențială parțială pe domeniu $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ , ca exemplu:

\nabla ^{2}y=0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} y = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} y = 0}

in care $\nabla ^{2}y$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} y}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} y}$ denotă laplacianul din $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , condiția Neumann ia forma:

{\frac {\partial \,y}{\partial \,\mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \, y} {\ partial \, \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \ mathbf {x} \ in \ partial \ Omega}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \, y} {\ partial \, \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \ mathbf {x} \ in \ partial \ Omega}

unde este $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ indică ieșirea normală a conturului $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ , Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție scalară dată. Derivatul direcțional cu primul membru este definit astfel:

{\frac {\partial \,y}{\partial \,\mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \, y} {\ partial \, \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = \ nabla y (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {n} (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \, y} {\ partial \, \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = \ nabla y (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {n} (\ mathbf {x})}

unde este $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este operatorul de gradient și punctul indică produsul punct.

Notă

^ Cheng, A. și DT Cheng (2005). Patrimoniul și istoria timpurie a metodei elementului de graniță, Analiza inginerească cu elemente de graniță , 29 , 268-302.

Bibliografie

( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 679, 1953.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Neumann Boundary Conditions in MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 53183 · LCCN (EN) sh85091085 · GND (DE) 4171566-4 · BNF (FR) cb122931192 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Cheng, A. și DT Cheng (2005). Patrimoniul și istoria timpurie a metodei elementului de graniță, Analiza inginerească cu elemente de graniță , 29 , 268-302.

[1]