Conjectura lui Cramér

În teoria numerelor , conjectura Cramér , formulată de matematicianul suedez Harald Cramér în 1936 ^[1] , afirmă că

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {(\ ln p_ {n}) ^ {2}}} = 1}

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {(\ ln p_ {n}) ^ {2}}} = 1}

unde p _n indică al n - lea număr prim și ln logaritmul natural ; această presupunere este încă o întrebare deschisă. Se bazează pe un model probabilistic (în esență un euristic ) pe primii, presupunând că probabilitatea ca un număr natural x să fie prim este 1 / ln x , din care se poate arăta că conjectura este adevărată cu probabilitatea 1. Cu alte cuvinte , dacă numerele prime urmează o distribuție „aleatorie”, presupunerea este foarte probabil să fie adevărată.

Conjectura lui Cramér afirmă în esență că diferența dintre două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât pătratul logaritmului natural al celui mai mic dintre cele două prime. Această conjectură implică Conjectura Opperman care la rândul său implică Conjectura Legendre . Aceste conjecturi sunt condiții mai restrictive decât Postulatul lui Bertrand (care spre deosebire de celelalte conjecturi este un rezultat dovedit ).

Cramér a formulat, de asemenea, o altă ipoteză referitoare la intervalele dintre numerele prime , afirmând că

p_{n+1}-p_{n}={\mathcal {O}}({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})

{\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {p_ {n}}} \, \ ln p_ {n})}

{\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {p_ {n}}} \, \ ln p_ {n})}

și a dovedit această ultimă afirmație asumând ipoteza Riemann , care totuși este încă nedovedită.

Mai mult, E. Westzynthius a demonstrat în 1931 ^[2] că

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {\ ln p_ {n}}} = \ infty}

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {\ ln p_ {n}}} = \ infty}

Notă

^ Harald Cramér, Pe ordinea de mărime a diferenței dintre numerele prime consecutive , Acta Arith. 2 (1936), 23-46.
^ E. Westzynthius, Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind , Comm. Phys. Matematica. Helsingfors, 5: 5 (1931) 1-37.

Elemente conexe

Teorema numărului prim

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Harald Cramér, Pe ordinea de mărime a diferenței dintre numerele prime consecutive , Acta Arith. 2 (1936), 23-46.

[2] E. Westzynthius, Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind , Comm. Phys. Matematica. Helsingfors, 5: 5 (1931) 1-37.

[1]

[2]