Coordonatele unui vector

În matematică , în special în algebra liniară , ansamblul coordonatelor unui vector în raport cu o bază a unui spațiu vectorial este vectorul care are ca componente coeficienții combinației liniare a vectorilor de bază prin care vectorul în sine poate fi scris. ^[1]

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Să fie împreună $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n}}$ $\ mathbf v_1, \ mathbf v_2, \ dots, \ mathbf v_n$ de elemente ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ o bază ordonată de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Apoi fiecare vector $\mathbf {w} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în V}$ $\ mathbf w \ în V$ poate fi scris unic ca o combinație liniară a vectorilor de bază:

\mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {w} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i}}

\ mathbf {w} = \ sum_ {i = 1} ^ n a_i \ mathbf {v} _i

Setul de coordonate ale $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ în ceea ce privește baza dată, vectorul: ^[1]

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})

{\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n})}

\ mathbf a = (a_1, a_2, \ cdots, a_n)

Acesta este vectorul care are ca componente coeficienții combinației liniare a vectorilor de bază prin care poate fi scris $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ , și, prin urmare, depinde de alegerea bazei în sine. Pentru a specifica asta $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ este scris cu privire la bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ notația este adesea utilizată $[\mathbf {w} ]_{B}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {w}] _ {B}}$ $[\ mathbf w] _B$ .

Harta $\phi _{B}:V\to K^{n}$ ${\ displaystyle \ phi _ {B}: V \ to K ^ {n}}$ $\ phi_B: V \ to K ^ n$ care se asociază fiecărui vector $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ coordonatele sale $\phi _{B}(\mathbf {v} )=[\mathbf {v} ]_{B}$ ${\ displaystyle \ phi _ {B} (\ mathbf {v}) = [\ mathbf {v}] _ {B}}$ $\ phi_B (\ mathbf v) = [\ mathbf v] _B$ în comparație cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este un izomorfism al spațiilor vectoriale, adică o aplicație liniară bijectivă , ^{[2] a} cărei transformare inversă $\phi _{B}^{-1}:K^{n}\to V$ ${\ displaystyle \ phi _ {B} ^ {- 1}: K ^ {n} \ to V}$ $\ phi_B ^ {- 1}: K ^ n \ to V$ este dat de:

\phi _{B}^{-1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}

{\ displaystyle \ phi _ {B} ^ {- 1} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + a_ {n} \ mathbf {v} _ {n}}

\ phi_B ^ {- 1} (a_1, \ ldots, a_n) = a_1 \ mathbf v_1 + \ cdots + a_n \ mathbf v_n

Această funcție se mai numește reprezentarea standard a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în comparație cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Schimbarea coordonatelor

Lasa-i sa fie $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ două baze diferite ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Lasa-i sa fie $\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ dots, \ mathbf {b} _ {n}}$ $\ mathbf b_1, \ mathbf b_2, \ dots, \ mathbf b_n$ vectorii care alcătuiesc baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Indicați cu $[M]_{C}^{B}$ ${\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B}}$ $[M] _ {C} ^ {B}$ matricea ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor $\mathbf {b} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i}}$ $\ mathbf b_i$ în raport cu vectorii bazei $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ :

[M]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}\ [\mathbf {b} _{1}]_{C}&\cdots &[\mathbf {b} _{n}]_{C}\ \end{bmatrix}}

{\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B} = {\ begin {bmatrix} \ [\ mathbf {b} _ {1}] _ {C} & \ cdots & [\ mathbf {b} _ {n }] _ {C} \ \ end {bmatrix}}}

[M] _ {C} ^ {B} = \ begin {bmatrix} \ [\ mathbf b_1] _C & \ cdots & [\ mathbf b_n] _C \ \ end {bmatrix}

Această matrice se numește matrice de schimbare de bază din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ la $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Avem apoi: ^[3]

[\mathbf {v} ]_{C}=[M]_{C}^{B}[\mathbf {v} ]_{B}\qquad [\mathbf {v} ]_{B}=([M]_{C}^{B})^{-1}[\mathbf {v} ]_{C}

{\ displaystyle [\ mathbf {v}] _ {C} = [M] _ {C} ^ {B} [\ mathbf {v}] _ {B} \ qquad [\ mathbf {v}] _ {B} = ([M] _ {C} ^ {B}) ^ {- 1} [\ mathbf {v}] _ {C}}

[\ mathbf v] _C = [M] _ {C} ^ {B} [\ mathbf v] _B \ qquad [\ mathbf v] _B = ([M] _ {C} ^ {B}) ^ {- 1 } [\ mathbf v] _C

În special, matricea $[M]_{C}^{B}$ ${\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B}}$ $[M] _ {C} ^ {B}$ este matricea asociată cu identitatea față de baze $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ .

Notă

^ ^a ^b Hoffman, Kunze , p . 49 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 51 .
^ Hoffman, Kunze , p. 52 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Coordonatele unui vector , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[base-1] Hoffman, Kunze , p . 49 .

[2] Hoffman, Kunze , pagina 51 .

[3] Hoffman, Kunze , p. 52 .

[1]

[2] a

[3]