Constanta Chinčin

Constanta Chinčin
Simbol	$K_{0}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$
Valoare	2.685452001065306445 ... (secvența A002210 a OEIS )
Originea numelui	Aleksandr Yakovlevich Khinchin
Fracție continuă	[2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, ...] (secvența A002211 a OEIS)
Camp	numere reale
Graficul arată cum, numeric, media geometrică a coeficienților parțiali ai fracției continue a π (în roșu), γ (în albastru) și 2 ${\sqrt[{3}]{2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$ ${\ sqrt [{3}] {2}}$ (în verde) par să convergă la constanta Khinchin.

În teoria numerelor , constanta Khinchin este o constantă matematică care are proprietatea de a fi limita , pentru aproape toate numerele reale , a mediei geometrice a primilor n coeficienți parțiali ai fracției lor continue . Existența acestei constante, independentă de numărul de plecare, a fost dovedită de Aleksandr Yakovlevich Khinchin . Se notează cu K ₀ .

Valoarea sa este

K_{0}\approx 2.6854520010\dots

{\ displaystyle K_ {0} \ approx 2.6854520010 \ dots}

{\ displaystyle K_ {0} \ approx 2.6854520010 \ dots}

Nu se știe dacă constanta Khinchin este irațională .

Printre numerele care nu au această proprietate sunt numere raționale , iraționale pătratice și și ; în schimb se presupune că apar π , constanta Euler-Mascheroni γ și aceeași constantă a lui Khinchin, dar acest lucru nu a fost arătat nici pentru ei, nici pentru orice alt număr, deși au fost construite succesiuni a căror medie geometrică tinde la K ₀ .

Formule

Există diverse formule care exprimă constanta Khinchin. Ca producător , ai

K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left\{1+{\frac {1}{r(r+2)}}\right\}}^{\log _{2}r}

{\ displaystyle K_ {0} = \ prod _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ left \ {1 + {\ frac {1} {r (r + 2)}} \ right \}} ^ { \ log _ {2} r}}

{\ displaystyle K_ {0} = \ prod _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ left \ {1 + {\ frac {1} {r (r + 2)}} \ right \}} ^ { \ log _ {2} r}}

în timp ce folosim funcția zeta Riemann pe care o avem

\ln K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

{\ displaystyle \ ln K_ {0} = {\ frac {1} {\ log 2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (2n) -1} {n} } \ sum _ {k = 1} ^ {2n-1} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}}}

{\ displaystyle \ ln K_ {0} = {\ frac {1} {\ log 2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (2n) -1} {n} } \ sum _ {k = 1} ^ {2n-1} {\ frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}}}

Există două reprezentări integrale

\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x(1+x)}}\ln[\Gamma (2-x)\Gamma (2+x)]\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ ln K_ {0} = \ ln 2 + {\ frac {1} {\ ln 2}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {x (1 + x)} } \ ln [\ Gamma (2-x) \ Gamma (2 + x)] \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ ln K_ {0} = \ ln 2 + {\ frac {1} {\ ln 2}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {x (1 + x)} } \ ln [\ Gamma (2-x) \ Gamma (2 + x)] \ mathrm {d} x}

unde Γ indică funcția Gamma și

\ln(K_{0})\ln 2=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln(\lfloor t\rfloor )}{t(1+t)}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(\lfloor 1/t\rfloor )}{1+t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ ln (K_ {0}) \ ln 2 = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (\ lfloor t \ rfloor)} {t (1 + t)}} \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ ln (\ lfloor 1 / t \ ​​rfloor)} {1 + t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ ln (K_ {0}) \ ln 2 = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (\ lfloor t \ rfloor)} {t (1 + t)}} \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ ln (\ lfloor 1 / t \ ​​rfloor)} {1 + t}} \ mathrm {d} t}

Alte constante

Generalizând media geometrică, s-a arătat că pentru aproape toate x media

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}

{\ displaystyle K_ {p} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left [{\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p } \ dreapta] ^ {1 / p}}

K_ {p} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left [{\ frac {1} {n}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} ^ { p} \ dreapta] ^ {{1 / p}}

este independent de x și egal cu

K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}

{\ displaystyle K_ {p} = \ left [\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} -k ^ {p} \ log _ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {(k +1) ^ {2}}} \ right) \ right] ^ {1 / p}}

{\ displaystyle K_ {p} = \ left [\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} -k ^ {p} \ log _ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {(k +1) ^ {2}}} \ right) \ right] ^ {1 / p}}

Pentru $p\to 0$ ${\ displaystyle p \ to 0}$ ${\ displaystyle p \ to 0}$ , limita lui K _p este constanta Khinchin.

Bibliografie

David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall, On the Khintchine Constant ( PDF ), în Matematică. Comp. , Vol. 66, nr. 217, 1995, pp. 417-431 (arhivat din original la 6 iulie 2010) .