Constanta Viswanath

Constanta Viswanath
Valoare	1.1319882487943 ... (secvența A078416 a OEIS )
Originea numelui	Divakar Viswanath
Fracție continuă	[1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 5, ...] (secvența A115064 a OEIS)
Camp	numere reale
Constantele corelate	raportul auriu și constanta Embree-Trefethen

Constanta Viswanath este o constantă matematică care apare în teoria numerelor , mai exact în studiul secvențelor Fibonacci randomizate. Valoarea constantei Viswanath este de aproximativ $1,13198824\dots$ ${\ displaystyle 1.13198824 \ dots}$ $1.13198824 \ dots$ .

Definiție

Constanta este definită ca rata exponențială la care crește valoarea absolută medie a unei secvențe Fibonacci aleatorii. O „secvență Fibonacci aleatorie” este o succesiune de numere $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ cu următoarea definiție recursivă: $F_{0}=1$ ${\ displaystyle F_ {0} = 1}$ $F_0 = 1$ , $F_{1}=1$ ${\ displaystyle F_ {1} = 1}$ $F_ {1} = 1$ , Și

F_{n}=\left\{{\begin{matrix}F_{n-1}+F_{n-2},&{\mbox{con probabilità }}{\frac {1}{2}},\\F_{n-1}-F_{n-2},&{\mbox{con probabilità }}{\frac {1}{2}}.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle F_ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} F_ {n-1} + F_ {n-2} și {\ mbox {cu probabilitate}} {\ frac {1} {2} }, \\ F_ {n-1} -F_ {n-2} și {\ mbox {cu probabilitate}} {\ frac {1} {2}}. \ End {matrix}} \ right.}

F_n = \ left \ {\ begin {matrix} F_ {n-1} + F_ {n-2}, și \ mbox {cu probabilitate} \ frac {1} {2}, \\ F_ {n-1} - F_ {n-2}, & \ mbox {cu probabilitate} \ frac {1} {2}. \ End {matrix} \ right.

Cu alte cuvinte, decizia de a scădea sau de a adăuga cele două elemente anterioare ale secvenței pentru a obține noul element se ia aleatoriu cu probabilitate de o jumătate (cum ar fi răsturnarea unei monede).

Într-o succesiune astfel construită, la tendința de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ infinit rădăcina $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din valoarea absolută a termenului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea a secvenței converge la valoarea constantei cu probabilitatea $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ (adică, cu excepții extrem de rare, sau în limbaj formal, aproape sigur ). În simboluri:

{\sqrt[{n}]{|F_{n}|}}\to 1,13198824\dots {\text{ per }}n\to \infty {\text{ con probabilità }}1.

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| F_ {n} |}} \ la 1,13198824 \ dots {\ text {per}} n \ to \ infty {\ text {cu probabilitate}} 1.}

\ sqrt [n] {| F_n |} \ to 1,13198824 \ dots \ text {for} n \ to \ infty \ text {cu probabilitate} 1.

Explicaţie

Constanta a fost descoperită de Divakar Viswanath în 1999. Opera sa exploatează teoria produsului matricilor aleatorii (dezvoltată de Furstenberg și Kesten ), arborele Stern-Brocot și un calcul numeric bazat pe aritmetică în virgulă mobilă și validat din analiza eroare de rotunjire .

Matematicianul scoțian Robert Simson a arătat că pentru secvențele Fibonacci normale (unde aleatoritatea semnului nu apare), raportul dintre membrii succesivi converge la secțiunea aurie , care este aproximativ $1,618$ ${\ displaystyle 1.618}$ $1.618$ ^[1] . Prin urmare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mare, secțiunea de aur ridicată la puterea lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ produce termenul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea a secvenței, cu o precizie surprinzătoare.

Secvența Fibonacci aleatorie, definită mai sus, este egală cu secvența Fibonacci dacă alegeți întotdeauna semnul plus. Pe de altă parte, dacă semnele sunt alese ca minus-plus-plus-minus-plus-plus -..., atunci obținem secvența $1,1,0,1,1,0,1,1,\dots$ ${\ displaystyle 1,1,0,1,1,0,1,1, \ dots}$ $1,1,0,1,1,0,1,1, \ dots$ . Cu toate acestea, această repetare este probabil să se întâmple într-un experiment aleatoriu. În mod surprinzător, rădăcina $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $|F_{n}|$ ${\ displaystyle | F_ {n} |}$ $| F_n |$ converge la o valoare fixă cu probabilitate $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Importanţă

În 1960, Hillel Furstenberg și Harry Kesten au arătat că, pentru o clasă generală de produse cu matrice aleatorii, valoarea absolută a normei de produs a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ factorii converg către puterea unei constante fixe. Secvența aleatorie Fibonacci aparține, de asemenea, acestei clase mari de procese care generează secvențe aleatorii. Demonstrația Viswanath a fost semnificativă pentru progresele în tehnologia laser și studiul sticlei .

Această dovadă, prin specificarea valorii constantei într-un caz, a ajutat la realizarea acestui domeniu mai accesibil studiului direct. Constanta lui Viswanath poate ajuta la explicarea cazului în care iepurii se pot ucide reciproc. (A se vedea secvența Fibonacci pentru formularea originală ca o problemă de iepure.) Acest pas permite în multe aplicații o simulare mai apropiată de scenarii reale.

Notă

^ Intrarea „Numărul Fibonacci” pe MathWorld .

Bibliografie

Divakar Viswanath (2000), Secvențe aleatorii Fibonacci și numărul 1.13198824 .... Matematica calculului 69 (231), 1131-1155.

Elemente conexe

Constanta Embree-Trefethen descrie comportamentul secvenței aleatorii f _n = f _{n -1} ± β f _{n -2} pentru diferite valori ale β.

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Randomized Fibonacci Sequences , în MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Secvențele randomizate Fibonacci într-un articol Science News .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Intrarea „Numărul Fibonacci” pe MathWorld .

[1]