Matricea Vandermonde

În algebra liniară cu matrice Vandermonde indicăm o matrice ale cărei rânduri (sau ale căror coloane) au elemente, începând de la 1 , în progresie geometrică : $a_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}$ ${\ displaystyle a_ {i, j} = \ alpha _ {i} ^ {j-1}}$ $a _ {{i, j}} = \ alpha _ {i} ^ {{j-1}}$ (sau transpunerea $a_{i,j}=\alpha _{j}^{i-1}$ ${\ displaystyle a_ {i, j} = \ alpha _ {j} ^ {i-1}}$ $a _ {{i, j}} = \ alpha _ {j} ^ {{i-1}}$ ). Este numit după matematicianul francez Alexandre-Théophile Vandermonde .

V={\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & \ alpha _ {1} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {1} ^ {n-1} \\ 1 & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {2} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {n-1} \\ 1 & \ alpha _ {3} & \ alpha _ {3} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {m} & \ alpha _ {m} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {m} ^ {n-1} \\\ end {pmatrix}}}

V = {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & \ alpha _ {1} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {1} ^ {{n-1}} \\ 1 & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {2} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {{n-1}} \\ 1 & \ alpha _ {3} & \ alpha _ {3 } ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {{n-1}} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {m} & \ alpha _ {m} ^ {2} & \ dots & \ alpha _ {m} ^ {{n-1}} \\\ end {pmatrix}}

Determinant

O matrice pătrată Vandermonde de ordinul n are determinant

\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).

{\ displaystyle \ det (V) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}).}

\ det (V) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}).

adică este produsul tuturor diferențelor posibile (numărate o singură dată, cu un semn adecvat) între coeficienți.

Din această expresie pentru determinant rezultă că matricile pătrate Vandermonde au determinant nul numai dacă au doi coeficienți $\alpha _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ egale, adică două linii egale. În special, rangul unei matrice Vandermonde generice este minimul dintre numărul de coloane și numărul de coeficienți distincti $\alpha _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ (adică linii separate).

Demonstrație

Această formulă este dovedită prin inducție la ordinul n .
Este valabil pentru n = 1 ( produs gol ).
Pentru etapa inductivă, presupunând adevărată formula pentru ordinea n-1 , se poate calcula determinantul unei matrice Vandermonde de ordinul n

scăzând din fiecare coloană coloana anterioară înmulțită cu α ₁

$\det(V)=\det {\begin{pmatrix}1&0&0&\dots &0\\1&\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\\1&\alpha _{3}-\alpha _{1}&\alpha _{3}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{3}^{n-2}(\alpha _{3}-\alpha _{1})\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{n}-\alpha _{1}&\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{n}^{n-2}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ det (V) = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 1 & \ alpha _ {2} - \ alpha _ {1} & \ alpha _ {2 } (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {n-2} (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) \\ 1 & \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1} & \ alpha _ {3} (\ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {n- 2} (\ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {n} - \ alpha _ {1} & \ alpha _ {n} (\ alpha _ {n} - \ alpha _ {1}) & \ dots & \ alpha _ {n} ^ {n-2} (\ alpha _ {n} - \ alpha _ {1}) \ end {pmatrix}}}$ $\ det (V) = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 1 & \ alpha _ {2} - \ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {{n-2}} (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) \\ 1 & \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1} & \ alpha _ {3} (\ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {{n- 2}} (\ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {n} - \ alpha _ {1} & \ alpha _ {n} (\ alpha _ {n} - \ alpha _ {1}) & \ dots & \ alpha _ {n} ^ {{n-2}} (\ alpha _ {n} - \ alpha _ { 1}) \ end {pmatrix}}$

împărțind fiecare rând lea j- ( cu excepția primei) prin termenul $\alpha _{j}-\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {j} - \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {j} - \ alpha _ {1}$ , scoaterea acestuia din matrice

$\det(V)=\det {\begin{pmatrix}1&0&0&\dots &0\\(\alpha _{2}-\alpha _{1})^{-1}&1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-2}\\(\alpha _{3}-\alpha _{1})^{-1}&1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\(\alpha _{n}-\alpha _{1})^{-1}&1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{n-2}\\\end{pmatrix}}\prod _{j=2}^{n}(\alpha _{j}-\alpha _{1})=\det {\begin{pmatrix}1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-2}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{n-2}\\\end{pmatrix}}\prod _{j=2}^{n}(\alpha _{j}-\alpha _{1})$ ${\ displaystyle \ det (V) = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) ^ {- 1} & 1 & \ alpha _ {2} & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {n-2} \\ (\ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) ^ {- 1} & 1 & \ alpha _ {3} & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (\ alpha _ {n} - \ alpha _ {1} ) ^ {- 1} & 1 & \ alpha _ {n} & \ dots & \ alpha _ {n} ^ {n-2} \\\ end {pmatrix}} \ prod _ {j = 2} ^ {n } (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {1}) = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {2} & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {n-2} \ \ 1 & \ alpha _ {3} & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {n} & \ dots & \ alpha _ {n} ^ {n-2} \\\ end {pmatrix}} \ prod _ {j = 2} ^ {n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {1})}$ $\ det (V) = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) ^ {{- 1}} & 1 & \ alpha _ {2} & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {{n-2}} \\ (\ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) ^ {{- 1}} & 1 & \ alpha _ {3} & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {{n-2}} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ (\ alpha _ {n} - \ alpha _ {1}) ^ {{- 1}} & 1 & \ alpha _ {n} & \ dots & \ alpha _ {n} ^ {{n-2}} \\\ end {pmatrix}} \ prod _ {{j = 2}} ^ {n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {1}) = \ det {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {2} & \ dots & \ alpha _ {2} ^ {{n-2}} \ \ 1 & \ alpha _ {3} & \ dots & \ alpha _ {3} ^ {{n-2}} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {n} & \ dots & \ alpha _ {n} ^ {{n-2}} \\\ end {pmatrix}} \ prod _ {{j = 2}} ^ {n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {1})$

în cele din urmă prin aplicarea formulei determinante pentru o matrice Vandermonde de ordinul n-1

$\det(V)=\left(\prod _{2\leqslant i<j\leqslant n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})\right)\left(\prod _{1=i<j\leqslant n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})\right)=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ ${\ displaystyle \ det (V) = \ left (\ prod _ {2 \ leqslant i <j \ leqslant n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}) \ right) \ left (\ prod _ {1 = i <j \ leqslant n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}) \ right) = \ prod _ {1 \ leqslant i <j \ leqslant n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})}$ $\ det (V) = \ left (\ prod _ {{2 \ leqslant i <j \ leqslant n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}) \ right) \ left (\ prod _ { {1 = i <j \ leqslant n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}) \ right) = \ prod _ {{1 \ leqslant i <j \ leqslant n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})$

Dovadă alternativă

Determinantul lui V este în mod clar un polinom pe coeficienții α ₁ , ..., α _n și dispare atunci când două linii sunt egale, adică α _i = α _j . Rezultă că determinantul este egal cu un polinom P (α ₁ , ..., α _n ) înmulțit cu $\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ ${\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})}$ $\ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})$ ; conform formulei clasice Leibniz, gradul determinantului pe fiecare variabilă este n-1 , deci polinomul P este o constantă P _n . Că această constantă este exact 1 se poate dovedi prin inducție, comparând coeficienții lui α _n ^n-1 obținuți conform formulei determinante și conform ipotezei inductive.

Aplicații

Matricile Vandermonde descriu probleme de interpolare polinomiale : coeficienții unui polinom $P(X)=c_{0}+c_{1}X+\ldots +c_{n-1}X^{n-1}$ ${\ displaystyle P (X) = c_ {0} + c_ {1} X + \ ldots + c_ {n-1} X ^ {n-1}}$ $P (X) = c_ {0} + c_ {1} X + \ ldots + c _ {{n-1}} X ^ {{n-1}}$ al cărui grafic în plan trece prin puncte $(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$ $(x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n})$ sunt soluțiile sistemului liniar

{\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ cdots & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ cdots & x_ {2} ^ {n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ { 2} & \ cdots & x_ {n} ^ {n-1} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c_ {0} \\ c_ {1} \\\ vdots \\ c_ {n-1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ cdots & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ cdots & x_ {2} ^ {n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ { 2} & \ cdots & x_ {n} ^ {n-1} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c_ {0} \\ c_ {1} \\\ vdots \\ c_ {n-1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {pmatrix}}}

Matricile Vandermonde și determinanții lor sunt folosite pentru formula Frobenius , pentru proprietățile codurilor BCH , pentru interpolare Hermite , pentru transformata Fourier discretă și pentru diagonalizarea matricilor însoțitoare ale unui polinom.

Matricile lui Vandermonde sunt slab condiționate .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică