Distribuția Pearson

În teoria probabilității, distribuția Pearson este o familie de distribuții de probabilitate continue , care generalizeazăvariabila normală aleatorie .

Aceste distribuții sunt utilizate în analiza piețelor financiare, deoarece oferă o posibilitate de parametrizare mai asemănătoare cu modul de gândire al celor care operează pe aceste piețe. Printre diferitele variabile aleatorii utilizate în prezent pentru a descrie natura stocastică a volatilității cursurilor de schimb, a acțiunilor etc., variabilele aleatoare ale lui Pearson sunt una dintre cele mai importante.

Vc-ul în cauză a fost descris de Karl Pearson în 1895 într-o serie de articole despre teoria matematică a evoluției. În astfel de ocazii a descris cinci tipuri de Vc continuu:

I. Definit într-un interval limitat în ambele direcții, cu asimetrie
II. Definit într-un interval limitat în ambele direcții, simetric
III. Definit într-un interval limitat doar într-o singură direcție și, prin urmare, asimetric
IV. Definit într-un interval nelimitat în ambele direcții, cu asimetrie
V. Definit într-un interval nelimitat, simetric în ambele direcții

Generalizând distribuția hipergeometrică , Pearson a propus o funcție de densitate a probabilității proporțională cu

(1+x/a_{1})^{\nu a_{1}}(1-x/a_{2})^{\nu a_{2}}

{\ displaystyle (1 + x / a_ {1}) ^ {\ nu a_ {1}} (1-x / a_ {2}) ^ {\ nu a_ {2}}}

{\ displaystyle (1 + x / a_ {1}) ^ {\ nu a_ {1}} (1-x / a_ {2}) ^ {\ nu a_ {2}}}

pentru $-a_{1}<x<a_{2}$ ${\ displaystyle -a_ {1} <x <a_ {2}}$ ${\ displaystyle -a_ {1} <x <a_ {2}}$ , modificând diferitele limite pentru a obține formele de tip I, II, III și V. Pentru tipul IV a derivat forma

exp(-\nu \arctan(x/a))/(1+x^{2}/a^{2})^{m}

{\ displaystyle exp (- \ nu \ arctan (x / a)) / (1 + x ^ {2} / a ^ {2}) ^ {m}}

{\ displaystyle exp (- \ nu \ arctan (x / a)) / (1 + x ^ {2} / a ^ {2}) ^ {m}}

care poate fi mutat de-a lungul abscisei după bunul plac. Unele dintre aceste forme corespund unor variabile aleatorii cu nume proprii.

Vc de Pearson tip III

Vc de Pearson de tip III este dat de funcția densității probabilității

f(x)={\frac {1}{\beta \,\Gamma (p)}}\left({\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)^{p-1}e^{-(x-\alpha )/\beta },

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ beta \, \ Gamma (p)}} \ left ({\ frac {x- \ alpha} {\ beta}} \ right) ^ {p- 1} și ^ {- (x- \ alpha) / \ beta},}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ beta \, \ Gamma (p)}} \ left ({\ frac {x- \ alpha} {\ beta}} \ right) ^ {p- 1} și ^ {- (x- \ alpha) / \ beta},}

unde x ∈ [ α , ∞) și α , β și p sunt parametri ai distribuției cu β > 0 și p > 0 ( Abramowitz și Stegun 1954, p. 930 ), fiind Γ funcția Gamma .

funcție caracteristică :

e^{i\alpha t}(1-i\beta t)^{-p}

{\ displaystyle e ^ {i \ alpha t} (1-i \ beta t) ^ {- p}}

{\ displaystyle e ^ {i \ alpha t} (1-i \ beta t) ^ {- p}}

valoarea așteptată :

\alpha +p\beta

{\ displaystyle \ alpha + p \ beta}

{\ displaystyle \ alpha + p \ beta}

varianță :

p\beta ^{2}

{\ displaystyle p \ beta ^ {2}}

{\ displaystyle p \ beta ^ {2}}

asimetrie :

{\frac {2}{\sqrt {p}}}

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {p}}}}

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {p}}}}

curtoza :

{\frac {6}{p}}

{\ displaystyle {\ frac {6} {p}}}

{\ displaystyle {\ frac {6} {p}}}

Dacă a = 0, β = 2 și p este o jumătate de număr întreg, vc de tip III al lui Pearson corespunde variabilei chi-pătrate aleatorii cu 2 p grade de libertate.

Bibliografie

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun (1964). Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice . Biroul Național de Standarde .
Karl Pearson (1895). Contribuții la teoria matematică a evoluției. II. Variația de înclinare în material omogen . Philosophical Transactions of the Royal Society of London (A) 186 : 343-414.
Eric W. Weisstein și colab. Distribuția Pearson tip III . De la MathWorld .

linkuri externe

( EN ) Distribuție de Pearson , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică