E6 (matematică)

Titlul acestei pagini este incorect datorită caracteristicilor software-ului MediaWiki . Titlul corect este E ₆ (matematică) .

În matematică , E ₆ este acronimul care distinge un grup Lie și algebra Lie ${\mathfrak {e}}_{6}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}$ . Grupul E6 este unul dintre cele cinci grupuri de minciuni simple remarcabile și unul dintre grupurile simplu interblocate .

E ₆ are rangul 6 și dimensiunea 78. Centrul său este gruparea ciclică Z ₃ . Grupul său extern de automorfism este grupul ciclic Z ₂ . Reprezentarea sa fundamentală are 27 de dimensiuni (complexe), iar reprezentarea sa duală , care nu este echivalentă cu cea precedentă, are și 27 de dimensiuni.

În fizica particulelor E ₆ joacă un rol important în unele mari teorii unificate .

Algebră

Diagrama Dynkin

Rădăcini de E ₆

Deși ele generează un șase- dimensional spațiu , ele pot fi considerate mai bine și mai simetric ca vectori ai unei șase-dimensional subspațiu al unui spațiu de nouă-dimensional:

(1, -1,0; 0,0,0; 0,0,0), (-1,1,0; 0,0,0; 0,0,0),

(-1,0,1; 0,0,0; 0,0,0), (1,0, -1; 0,0,0; 0,0,0),

(0,1, -1; 0,0,0; 0,0,0), (0, -1,1; 0,0,0; 0,0,0),

(0,0,0; 1, -1,0; 0,0,0), (0,0,0; -1,1,0; 0,0,0),

(0,0,0; -1,0,1; 0,0,0), (0,0,0; 1,0, -1; 0,0,0),

(0,0,0; 0,1, -1; 0,0,0), (0,0,0; 0, -1,1; 0,0,0),

(0,0,0; 0,0,0; 1, -1,0), (0,0,0; 0,0,0; -1,1,0),

(0,0,0; 0,0,0; -1,0,1), (0,0,0; 0,0,0; 1,0, -1),

(0,0,0; 0,0,0; 0,1, -1), (0,0,0; 0,0,0; 0, -1,1),

Toate cele 27 de combinații de $(\mathbf {3} ;\mathbf {3} ;\mathbf {3} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {3}; \ mathbf {3}; \ mathbf {3})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {3}; \ mathbf {3}; \ mathbf {3})}$ unde este $\mathbf {3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {3}}$ este unul dintre buldoexcavatoare $({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}})$ ${\ displaystyle ({\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}})}$ ${\ displaystyle ({\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}})}$ , $(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}})$ ${\ displaystyle (- {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}})}$ ${\ displaystyle (- {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}})}$ , $(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}})$ ${\ displaystyle (- {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}})}$ ${\ displaystyle (- {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}})}$

Toate cele 27 de combinații de $(\mathbf {\bar {3}} ;\mathbf {\bar {3}} ;\mathbf {\bar {3}} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ bar {3}}; \ mathbf {\ bar {3}}; \ mathbf {\ bar {3}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ bar {3}}; \ mathbf {\ bar {3}}; \ mathbf {\ bar {3}})}$ unde este $\mathbf {\bar {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ bar {3}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ bar {3}}}$ este unul dintre buldoexcavatoare $(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}})$ ${\ displaystyle (- {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}})}$ ${\ displaystyle (- {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}})}$ , $({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}})$ ${\ displaystyle ({\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}})}$ ${\ displaystyle ({\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}})}$ , $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}})$ ${\ displaystyle ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}})}$ ${\ displaystyle ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}})}$