Grupul Coxeter

În matematică , un grup Coxeter este un grup abstract care admite o descriere formală în ceea ce privește simetriile oglinzilor. În realitate, grupurile finite ale lui Coxeter sunt mai exact grupurile euclidiene de reflexie finită; grupurile de simetrie ale poliedrelor regulate oferă exemple. Trebuie spus imediat că nu toate grupurile Coxeter sunt finite și că nu toate pot fi descrise în termeni de simetrii și reflexii euclidiene.

Grupurile Coxeter poartă numele matematicianului britanic Harold Coxeter (1907-2003) și își găsesc aplicația în multe domenii ale matematicii. Exemple de grupuri finite Coxeter sunt grupurile de simetrie ale politopilor obișnuiți și grupurile Weyl ale algebrelor Lie simple . Exemple de grupuri Coxeter infinite sunt grupurile triunghiulare corespunzătoare teselărilor regulate ale planului euclidian și ale planului hiperbolic și grupurile Weyl ale algebrelor Kac-Moody de dimensiune infinită.

Definiție

Un grup Coxeter este un grup care are o astfel de prezentare

\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle

{\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n} \ mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 \ right \ rangle}

\ left \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n} \ mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {{m _ {{ij}}}} = 1 \ right \ rangle

unde m _ii = 1 și m _ij ≥ 2 pentru i ≠ j .

Condiția m _ij = ∞ înseamnă că nu se poate impune nicio relație a formei ( r _i r _j ) ^m .

Unele concluzii pot fi trase din definițiile de mai sus.

Relația m _ii = 1 indică faptul că ( r _i ) ² = 1 pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ; generatoarele sunt involutii .
Dacă m _ij = 2, atunci generatoarele r _i r _j comută. Aceasta rezultă din observația că

xx=yy=1

{\ displaystyle xx = yy = 1}

xx = aa = 1

cu

xyxy=1

{\ displaystyle xyxy = 1}

xyxy = 1

presupune că

xy=xxyxyy=yx

{\ displaystyle xy = xxyxyy = yx}

xy = xxyxyy = yx

Pentru a nu exista redundanță între relații, este necesar să presupunem că m _ij = m _ji . Acest lucru se realizează observând că

yy=1

{\ displaystyle yy = 1}

aa = 1

cu

( xy ) ^m = 1

presupune că

( yx ) ^m = ( yx ) ^m yy = y ( xy ) ^m y = yy = 1.

Matricea Coxeter este o matrice simetrică a aspectului n × n ale cărei intrări le notăm cu m _ij . În realitate, orice matrice simetrică având intrări întregi pozitive și ∞ și cu intrări pe diagonală egală cu 1 servește la definirea unui grup Coxeter.

Matricea Coxeter poate fi codificată convenabil prin intermediul așa-numitului „grafic Coxeter”, conform următoarelor reguli:

vârfurile grafului sunt etichetate cu indicele elementelor generatoare;
vârfurile graficului $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ sunt conectate dacă și numai dacă m _ij ≥ 3;
o parte este etichetată cu valoarea m _ij dacă este egală sau mai mare decât $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ .

În special, două generatoare fac naveta dacă și numai dacă nu sunt conectate printr-o parte a graficului.

Mai mult, dacă un grafic Coxeter are două sau mai multe componente conectate, grupul asociat este produsul direct al grupurilor asociate componentelor individuale.

Un exemplu

Graficul de unde sunt vârfurile $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ acestea sunt plasate într-un rând cu fiecare vârf conectat de o parte nemarcată la vecinul său imediat, dând naștere unui grup simetric S _{n +1} ; generatoarele corespund permutărilor $(1$ ${\ displaystyle (1}$ $(1$ $2)$ ${\ displaystyle 2)}$ $2)$ , $(2$ ${\ displaystyle (2}$ $(2$ $3)$ ${\ displaystyle 3)}$ $3)$ , ... $(n$ ${\ displaystyle (n}$ $(n$ $n+1)$ ${\ displaystyle n + 1)}$ $n + 1)$ . Două permutări non-consecutive navighează întotdeauna, în timp ce $(k$ ${\ displaystyle (k}$ $(k$ $k+1)$ ${\ displaystyle k + 1)}$ $k + 1)$ $(k+1$ ${\ displaystyle (k + 1}$ $(k + 1$ $k+2)$ ${\ displaystyle k + 2)}$ $k + 2)$ din $(k$ ${\ displaystyle (k}$ $(k$ $k+1$ ${\ displaystyle k + 1}$ $k + 1$ $k+2)$ ${\ displaystyle k + 2)}$ $k + 2)$ . Desigur, acest lucru arată doar că S _{n + 1} este un grup coeficient al grupului Coxeter, dar nu este prea dificil să verifici egalitatea pe care o menține.

Grupuri finite Coxeter

Graficele Coxeter ale grupurilor finite Coxeter

Fiecare grup Weyl poate fi realizat ca un grup Coxeter. Graficul Coxeter poate fi obținut din diagrama Dynkin prin înlocuirea fiecărei fețe duble cu o față etichetată $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ și fiecare parte triplă cu o parte etichetată $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ . Exemplul dat mai sus corespunde grupului Weyl al sistemului radicular de tip A _n . Grupul Weyl include majoritatea grupurilor finite ale lui Coxeter, dar există și exemple suplimentare. Următoarea listă oferă toate graficele Coxeter conectate care dau naștere la grupuri finite.

Comparând acest lucru cu lista sistemelor rădăcină simple, vedem că B _n și C _n dau naștere aceluiași grup Coxeter. De asemenea, G ₂ pare să lipsească, dar este prezent sub numele I ₂ (6). Adăugările la listă sunt H ₃ , H ₄ și I ₂ ( p ).

Unele proprietăți ale grupurilor finite Coxeter sunt date în tabelul următor:

Tip	Rang	Aspect	Polytopus
A _n	n	( n + 1)!	simplex - n
B _n = C _n	n	2 ⁿ n !	hipercub - n / politop încrucișat - n
D _n	n	2 ^{n −1} n !	demipercube
I ₂ ( n )	2	2 n	n - sunt
H ₃	3	120	icosaedru / dodecaedru
F ₄	4	1152	24 de celule
H ₄	4	14400	120 de celule / 600 de celule
Și ₆	6	51840	politopul E ₆
Și ₇	7	2903040	politopul E ₇
Și ₈	8	696729600	politopul E ₈

Grupuri de simetrie ale politopilor obișnuiți

Toate grupurile de simetrie ale politopilor obișnuiți sunt grupuri finite de Coxeter. Grupurile diedre , care sunt grupurile simetrice ale poligoanelor regulate , formează seria I ₂ ( p ). Grupul de simetrie al unui simplex regulat - n este grupul simetric S _{n +1} , cunoscut și sub numele de grupul Coxeter de tip A _n . Grupul de simetrie al cubului - n este același cu cel al politopului încrucișat - n , adică BC _n . Grupul de simetrie al dodecagonului regulat și al icosaedrului regulat este H ₃ . In marime $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , există trei politopi speciali, celula 24, celula 120 și celula 600 . Primul are un grup simetric F ₄ , în timp ce celelalte două au un grup simetric H ₄ .

Grupurile Coxeter de tip D _n , E ₆ , E ₇ și E ₈ sunt grupuri de simetrie ale unor politopi semiregulari.

Grupuri afine Weyl

Grupurile afine Weyl formează o a doua serie importantă de grupuri Coxeter. Acestea nu sunt finite în sine, dar fiecare conține un subgrup abelian normal, astfel încât grupul de coeficient corespunzător este finit. În fiecare caz, grupul coeficient este el însuși un grup Weyl, iar graficul Coxeter este obținut din graficul Coxeter al grupului Weyl adăugând un vârf suplimentar și una sau două laturi suplimentare. De exemplu, pentru n ≥ 2, graficul format din n +1 vârfuri într-un cerc este obținut de la A _n în acest fel, iar grupul Coxeter corespunzător este grupul Weyl afin al lui A _n . Pentru n = 2, acest lucru poate fi ilustrat ca grupul standard de simetrie a plăcilor de podea folosind triunghiuri echilaterale.

Mai jos este o listă a grupurilor legate de Coxeter: Rețineți că indicele este în orice caz numărul de noduri minus unul, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la un grafic finit al grupului.

Grupuri hiperbolice de Coxeter

Există, de asemenea, grupuri Coxeter hiperbolice care reprezintă grupuri de reflecție în geometrie hiperbolică .

Sortarea lui Bruhat

Alegerea generatoarelor de reflecție dă naștere unei funcții de lungime l într-un grup Coxeter, adică numărul minim de utilizări ale generatoarelor necesare pentru a exprima un element de grup. Din acesta se definește ordinea lui Bruhat: un element v depășește un element u dacă are o lungime mai mare de 1 și este produsul lui u pentru un generator de reflecție. Cu alte cuvinte, u ≤ v înseamnă că v este construit din u cu numărul corespunzător l ( v ) - l ( u ) de reflexii generate.

Bibliografie

Larry C Grove și Clark T. Benson, Grupuri de reflecție finite , texte postuniversitare în matematică, vol. 99, Springer, (1985)
James E. Humphreys, Reflection Groups și Coxeter Groups , studii Cambridge la matematică avansată, 29 (1990)
Richard Kane, Reflection Groups and Invariant Theory , CMS Books in Mathematics, Springer (2001)
Anders Björner și Francesco Brenti, Combinatorica grupurilor Coxeter, Textele postuniversitare în matematică, vol. 231, Springer (2006)
Michael W. Davis , Geometria și topologia grupurilor Coxeter, (LMS-32) Princeton University Press (2012)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre grupul lui Coxeter

linkuri externe

( EN ) Grupul Coxeter în MathWorld
( EN ) Jenn , sistem software pentru vizualizarea graficelor Cayley ale grupurilor finite Coxeter cu 1, 2, 3 și 4 generatoare.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh00000209 · GND (DE) 4261522-7 · BNF (FR) cb13562002v (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică