Grup de reflecție

Un grup de reflecție , în geometrie și teoria grupurilor, este un grup discret generat de setul de reflecții ale unui spațiu euclidian de dimensiune finită. Grupurile de reflecție includ, de asemenea, grupările Weyl și grupurile cristalografice Coxeter .

Definiție

Fie E un spațiu euclidian de dimensiune finită; un grup de reflecție finită este un subgrup al grupului liniar general al lui E generat de setul de reflecții ortogonale pe hiperplanele care trec prin origine; un grup de reflecție afină este un subgrup discret al unui grup afin de E generat de setul de reflecții afine ale lui E (fără cerința ca hiperplanele să treacă prin origine). Conceptele corespunzătoare pot fi definite pe alte câmpuri , iar acest lucru duce la grupuri complexe de reflecție și la analogii grupurilor de reflecție pe un câmp finit.

Exemple

Podea

În două dimensiuni, grupurile de reflexie finită sunt grupurile diedrice , care sunt generate de reflectarea a două linii care formează un unghi de ${\textstyle 2\pi /n}$ ${\ textstyle 2 \ pi / n}$ ${\ textstyle 2 \ pi / n}$ și corespund diagramei Coxeter $I_{2}(n).$ ${\ displaystyle I_ {2} (n).}$ ${\ displaystyle I_ {2} (n).}$ În schimb, grupurile de puncte ciclice în două dimensiuni nu sunt generate de reflexii și, de fapt, nu conțin reflexii - totuși sunt subgrupuri ale indicelui 2 al unui grup diedru.

Spaţiu

Grupurile de reflexie finită sunt grupurile punctuale și grupurile de simetrie ale celor cinci solide platonice . Poliedrul regulat dual (cub, octaedru, dodecaedru și icosaedru) generează grupuri izomorfe de simetrie. Clasificarea grupurilor de reflecție finită ale lui R ³ este un exemplu de clasificare ADE.

Aplicații

În cristalografia cu raze X, instrumentele de modelare oferite de studiul grupurilor de reflecție sunt utilizate pentru a determina structura proteinelor.

Bibliografie

(EN) James E. Humphreys, grupuri de reflecție și grupuri Coxeter , primul pbk. și. (cu corecții), Cambridgersity Press, (tipărirea din 1992), ISBN 9780511623646 ,OCLC 817965208 . Adus la 18 februarie 2019 .
Edoardo Sernesi, Geometrie I , Bollati Boringhieri, pp. 273-290, ISBN 9788833954479 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere ale Grupului de reflecție

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică