Energia potențială gravitațională

În mecanica clasică și, în special, în teoria newtoniană a gravitației , energia potențială gravitațională este energia potențială relativă la forța de atracție gravitațională dintre mase. Este un exemplu de potențial scalar .

Definiție

Forța gravitațională newtoniană pe care un corp de masă M o exercită asupra unui corp de masă m (corpuri punctiforme sau rigide cu densitate sferic simetrică (a se vedea teorema sferică a cochiliei )) este dată de:

{\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} = - {\ frac {GMm} {r ^ {3}}} { \ vec {r}}}

{\ vec F} = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat r} = - {\ frac {GMm} {r ^ {3}}} {\ vec r}

unde este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este constanta gravitationala , ${\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$ ${\ vec r} = {\ vec r} _ {2} - {\ vec r} _ {1}$ vectorul care unește cele două mase, e ${\hat {r}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}}}$ ${\ hat r}$ vectorul unitate relativ. Pentru simplitate, punem M în originea sistemului de referință, astfel încât să fie ${\vec {r}}={\vec {r}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2}}$ ${\ vec r} = {\ vec r} _ {2}$ , și calculăm munca pe care trebuie să o facă un agent extern pentru a muta corpul masei m din punctul A în punctul B , departe de origine respectiv r _A și r _B :

L_{AB}=\int _{A}^{B}-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-GMm\int _{r_{A}}^{r_{B}}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=-{\frac {GMm}{r_{A}}}+{\frac {GMm}{r_{B}}}\qquad \qquad \qquad \qquad (\,{\hat {r}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} r\,)

{\ displaystyle L_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = - GMm \ int _ {r_ {A}} ^ {r_ {B}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {r ^ {2}}} = - {\ frac {GMm} {r_ {A}}} + {\ frac {GMm} {r_ {B}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (\, {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec { s}} = \ mathrm {d} r \,)}

{\ displaystyle L_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = - GMm \ int _ {r_ {A}} ^ {r_ {B}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {r ^ {2}}} = - {\ frac {GMm} {r_ {A}}} + {\ frac {GMm} {r_ {B}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (\, {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec { s}} = \ mathrm {d} r \,)}

Este esențial să rețineți că lucrarea nu depinde de cale, ci doar de pozițiile de început și de sfârșit ale corpului și nici de viteza cu care este parcurs, ceea ce înseamnă că suntem în prezența unui câmp de forță conservator. (fiind forța centrală), și anume că $\delta L$ ${\ displaystyle \ delta L}$ ${\ displaystyle \ delta L}$ este un diferențial exact : $\operatorname {\delta } L=\operatorname {d} L$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ delta} L = \ operatorname {d} L}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ delta} L = \ operatorname {d} L}$ . În acest caz, este util să introducem conceptul de energie potențială gravitațională $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ conform următoarei definiții: energie potențială gravitațională $U_{A}$ ${\ displaystyle U_ {A}}$ $U_ {A}$ cu privire la un punct de referință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ales în mod arbitrar dintr-o masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ poziționat la un moment dat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este munca efectuată de forțele câmpului gravitațional în deplasarea lui $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din punct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la punctul de referință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Pe baza a ceea ce a fost văzut anterior, va fi:

U_{A}=-L_{CA}=\int _{C}^{A}{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=GMm\int _{r_{C}}^{r_{A}}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {GMm}{r_{C}}}-{\frac {GMm}{r_{A}}}\qquad \qquad \qquad \qquad (\,{\hat {r}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\mathrm {d} r\,)

{\ displaystyle U_ {A} = - L_ {CA} = \ int _ {C} ^ {A} {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm { d} {\ vec {s}} = GMm \ int _ {r_ {C}} ^ {r_ {A}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {r ^ {2}}} = {\ frac {GMm} {r_ {C}}} - {\ frac {GMm} {r_ {A}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (\, {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm {d} { \ vec {s}} = \ mathrm {d} r \,)}

{\ displaystyle U_ {A} = - L_ {CA} = \ int _ {C} ^ {A} {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm { d} {\ vec {s}} = GMm \ int _ {r_ {C}} ^ {r_ {A}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {r ^ {2}}} = {\ frac {GMm} {r_ {C}}} - {\ frac {GMm} {r_ {A}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (\, {\ hat {r}} \ cdot \ mathrm {d} { \ vec {s}} = \ mathrm {d} r \,)}

Fiind $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ales în mod arbitrar, este posibil și convenabil să o luați la o distanță infinită, astfel încât să obțineți următoarea expresie (întotdeauna negativă și descrescătoare (în creștere în magnitudine) pentru distanțele care se apropie de sursa câmpului):

U_{A}=-{\frac {GMm}{r_{A}}}

{\ displaystyle U_ {A} = - {\ frac {GMm} {r_ {A}}}}

U_ {A} = - {\ frac {GMm} {r_ {A}}}

Aceasta este energia potențială gravitațională a corpului de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ când este plasat în punct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (și este lucrarea (negativă) efectuată de forțele câmpului gravitațional pe masa m când aceasta începe și merge la infinit, sau lucrarea pozitivă realizată de o forță externă egală pentru a aduce masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la „în afara câmpului”, adică la infinit).

În consecință, va rezulta:

L_{AB}=U_{A}-U_{B}

{\ displaystyle L_ {AB} = U_ {A} -U_ {B}}

L _ {{AB}} = U_ {A} -U_ {B}

.

ceea ce înseamnă că în câmpul gravitațional munca efectuată de forțele câmpului pe un corp de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ trecând din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este egal cu diferența de energie potențială a $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (care nu este o prerogativă a câmpului gravitațional, ci este o caracteristică a oricărui câmp de forță conservator). Observați modul în care energia potențială a $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ într-o poziție generică este o funcție a distanței $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ :

U(r)=-{\frac {GMm}{r}}

{\ displaystyle U (r) = - {\ frac {GMm} {r}}}

U (r) = - {\ frac {GMm} {r}}

Introducerea conceptului de potențial, ca energie potențială normalizată la masa sondei $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ unitar:

V(r)=-{\frac {GM}{r}}

{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {GM} {r}}}

V (r) = - {\ frac {GM} {r}}

Rețineți că potențialul este o caracteristică a punctelor câmpului și nu depinde de masa posibilă plasată în el. Va merita:

U(r)=mV(r)

{\ displaystyle U (r) = mV (r)}

U (r) = mV (r)

Observații:

Energia potențială, ca și forța, depinde doar de distanța reciprocă a corpurilor. Dacă unul dintre cei doi este legat de origine, celălalt va fi supus unei forțe centrale .
În cazul de mai sus, suprafețele echipotențiale vor fi sfere centrate pe origine. Intr-adevar: ${\textstyle -{\frac {GMm}{r}}=K\Rightarrow r=-{\frac {GMm}{K}}}$ ${\ textstyle - {\ frac {GMm} {r}} = K \ Rightarrow r = - {\ frac {GMm} {K}}}$ ${\ textstyle - {\ frac {GMm} {r}} = K \ Rightarrow r = - {\ frac {GMm} {K}}}$ adică o constantă pozitivă ( K este mai mic decât 0).
Cu alegerea setării constantei de integrare $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ egal cu 0, am impus că energia potențială este întotdeauna negativă. În cazul în care r tinde să $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ energia potențială tinde la 0.

Corpuri sferice simetrice

Același subiect în detaliu: Teorema fluxului .

Există o teoremă fundamentală pentru corpurile cu simetrie sferică: în versiunea „ dedicată ” forței gravitaționale se afirmă că „ o masă extinsă cu simetrie sferică generează același câmp gravitațional la exterior generat de un obiect asemănător unui punct cu masă egală plasat în centrul sferei ". Datorită aceleiași forme a funcțiilor forțelor electrice și gravitaționale, aceeași teoremă se aplică aproape identic în electrostatică .

Teorema fluxului Gauss implică posibilitatea modelării, cu o bună aproximare, a forței pe care o planetă (sau o stea, sau orice obiect cu simetrie sferică) o exercită asupra unui corp în câmpul său gravitațional ca și cum sursa câmpului ar fi punct- ca și, prin urmare, să se utilizeze formulele clasice ale forței și energiei potențiale și în cazul corpurilor extinse radial simetrice.

Corpuri apropiate de suprafața pământului

Pentru corpurile apropiate de suprafața pământului (în decurs de zeci de km de pământ) este posibilă aproximarea accelerației gravitaționale cu dezvoltarea lui Taylor la ordinea 0, adică cu valoarea constantă g pe care forța o asumă pe suprafața pământului.

Să ne plasăm într-un sistem cartezian de referință ( $SAU, X, y, z$ ${\ displaystyle O, x, y, z}$ $O, x, y, z$ ), cu ${\textstyle {\hat {z}}}$ ${\ textstyle {\ hat {z}}}$ ${\ textstyle {\ hat {z}}}$ versor al axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Suprafața terestră este, prin definiție, la o rază terestră r _T distanță de centrul Pământului; desigur, atât accelerația gravitației, cât și raza terestră sunt cantități medii . Noi obținem:

{\begin{aligned}F(x,y,z)&=F(z)=-m\cdot {\frac {GM}{r_{T}^{2}}}{\hat {z}}+{\mathcal {O}}(r){\hat {z}}\\&=-mg{\hat {z}}+{\mathcal {O}}(r){\hat {z}}\\&\approx -mg{\hat {z}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (x, y, z) & = F (z) = - m \ cdot {\ frac {GM} {r_ {T} ^ {2}}} {\ hat {z }} + {\ mathcal {O}} (r) {\ hat {z}} \\ & = - mg {\ hat {z}} + {\ mathcal {O}} (r) {\ hat {z} } \\ & \ approx -mg {\ hat {z}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (x, y, z) & = F (z) = - m \ cdot {\ frac {GM} {r_ {T} ^ {2}}} {\ hat {z }} + {\ mathcal {O}} (r) {\ hat {z}} \\ & = - mg {\ hat {z}} + {\ mathcal {O}} (r) {\ hat {z} } \\ & \ approx -mg {\ hat {z}} \ end {align}}}

unde este ${\textstyle g={\frac {GM}{r_{T}^{2}}}}$ ${\ textstyle g = {\ frac {GM} {r_ {T} ^ {2}}}}$ ${\ textstyle g = {\ frac {GM} {r_ {T} ^ {2}}}}$ ; termenul ${\mathcal {O}}(r){\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (r) {\ hat {z}}}$ ${\ mathcal {O}} (r) {\ hat z}$ indică termeni de dezvoltare dependenți de distanța de centrul pământului și este neglijat.