Funcții Lamé

În matematică , funcțiile Lamé sunt funcții speciale introduse în 1839 de matematicianul francez Gabriel Lamé în studiul ecuației lui Laplace în coordonate elipsoidale . De asemenea, au fost studiate independent de matematicianul german Carl Gustav Jakob Jacobi în același an.

Coordonatele elipsoidale

Sistemul de coordonate elipsoidale utilizat de Lamé este definit de cele trei ecuații:

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ lambda}} = 1,}

{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ lambda}} = 1,

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ mu}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ mu}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ mu}} = 1,}

{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ mu}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ mu}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ mu}} = 1,

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1,

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ nu}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ nu}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ nu}} = 1,}

{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ nu}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ nu}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ nu}} = 1,

unde este $\lambda >-c^{2}>\mu >-b^{2}>\nu >-a^{2}$ ${\ displaystyle \ lambda> -c ^ {2}> \ mu> -b ^ {2}> \ nu> -a ^ {2}}$ $\ lambda> -c ^ {2}> \ mu> -b ^ {2}> \ nu> -a ^ {2}$ .

Punctul de coordonate cartezian (x, y, z) este situat la intersecția a trei suprafețe : un elipsoid (prima ecuație), un hiperboloid cu un singur pas și un hiperboloid cu două pasuri . Este posibil să se exprime coordonatele punctului $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ ca o funcție a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu, \ nu)}$ $(\ lambda, \ mu, \ nu)$ care se numesc coordonate elipsoidale (vezi textul lui Whittaker și Watson sau al lui Byerly).

Laplacian în coordonate elipsoidale

Este posibil să se exprime laplacianul în sistemul de coordonate elipsoidale. Expresia finală (vezi textul lui Byerly) este:

\Delta V=(\mu ^{2}-\nu ^{2}){\frac {\partial V}{\partial \alpha ^{2}}}+(\lambda ^{2}-\nu ^{2}){\frac {\partial V}{\partial \beta ^{2}}}+(\lambda ^{2}-\mu ^{2}){\frac {\partial V}{\partial \gamma ^{2}}},

{\ displaystyle \ Delta V = (\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2}) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ alpha ^ {2}}} + (\ lambda ^ {2} - \ nu ^ {2}) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ beta ^ {2}}} + (\ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2}) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ gamma ^ {2}}},}

\ Delta V = (\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2}) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ alpha ^ {2}}} + (\ lambda ^ {2} - \ nu ^ {2}) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ beta ^ {2}}} + (\ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2}) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ gamma ^ {2}}},

unde este:

\alpha =c\int _{c}^{\lambda }{\frac {d\lambda '}{\sqrt {(\lambda '^{2}-b^{2})(\lambda '^{2}-c^{2})}}}

{\ displaystyle \ alpha = c \ int _ {c} ^ {\ lambda} {\ frac {d \ lambda '} {\ sqrt {(\ lambda' ^ {2} -b ^ {2}) (\ lambda ' ^ {2} -c ^ {2})}}}}

\ alpha = c \ int _ {{c}} ^ {\ lambda} {\ frac {d \ lambda '} {{\ sqrt {(\ lambda' ^ {2} -b ^ {2}) (\ lambda ' ^ {2} -c ^ {2})}}}}

\beta =c\int _{b}^{\mu }{\frac {d\lambda '}{\sqrt {(c^{2}-\mu ^{2})(\mu ^{2}-b^{2})}}}

{\ displaystyle \ beta = c \ int _ {b} ^ {\ mu} {\ frac {d \ lambda '} {\ sqrt {(c ^ {2} - \ mu ^ {2}) (\ mu ^ { 2} -b ^ {2})}}}}

\ beta = c \ int _ {{b}} ^ {\ mu} {\ frac {d \ lambda '} {{\ sqrt {(c ^ {2} - \ mu ^ {2}) (\ mu ^ { 2} -b ^ {2})}}}}

\alpha =c\int _{0}^{\nu }{\frac {d\nu '}{\sqrt {(b^{2}-\nu ^{2})(c^{2}-\nu ^{2})}}}

{\ displaystyle \ alpha = c \ int _ {0} ^ {\ nu} {\ frac {d \ nu '} {\ sqrt {(b ^ {2} - \ nu ^ {2}) (c ^ {2 } - \ nu ^ {2})}}}}

\ alpha = c \ int _ {{0}} ^ {\ nu} {\ frac {d \ nu '} {{\ sqrt {(b ^ {2} - \ nu ^ {2}) (c ^ {2 } - \ nu ^ {2})}}}}

Este posibil să scrii $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ ca integrală eliptică .

Ecuația Laplace

Pentru a rezolva ecuația Laplace, $\Delta V=0$ ${\ displaystyle \ Delta V = 0}$ $\ Delta V = 0$ și, eventual, să caute soluții $V(\alpha ,\beta ,\gamma )=L(\alpha )M(\beta )N(\gamma )$ ${\ displaystyle V (\ alpha, \ beta, \ gamma) = L (\ alpha) M (\ beta) N (\ gamma)}$ $V (\ alfa, \ beta, \ gamma) = L (\ alfa) M (\ beta) N (\ gamma)$ , funcții $L, M., Nu.$ ${\ displaystyle L, M, N}$ $L, M, N$ trebuie să satisfacă ecuația diferențială obișnuită :

{\frac {d^{2}L}{d\alpha ^{2}}}=[m(m+1)\lambda ^{2}-(b^{2}+c^{2})p]L

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} L} {d \ alpha ^ {2}}} = [m (m + 1) \ lambda ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2 }) p] L}

{\ frac {d ^ {2} L} {d \ alpha ^ {2}}} = [m (m + 1) \ lambda ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p ] L

{\frac {d^{2}M}{d\beta ^{2}}}=-[m(m+1)\mu ^{2}-(b^{2}+c^{2})p]M

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} M} {d \ beta ^ {2}}} = - [m (m + 1) \ mu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ { 2}) p] M}

{\ frac {d ^ {2} M} {d \ beta ^ {2}}} = - [m (m + 1) \ mu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] M

{\frac {d^{2}M}{d\gamma ^{2}}}=[m(m+1)\nu ^{2}-(b^{2}+c^{2})p]N

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} M} {d \ gamma ^ {2}}} = [m (m + 1) \ nu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2 }) p] N}

{\ frac {d ^ {2} M} {d \ gamma ^ {2}}} = [m (m + 1) \ nu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p ] N

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ sunt parametri convenabili.

Exprimând $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ ca o funcție a $\lambda ,\mu ,\nu$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu, \ nu}$ $\ lambda, \ mu, \ nu$ rezultatul final este acela $L, M., Nu.$ ${\ displaystyle L, M, N}$ $L, M, N$ satisface:

(\lambda ^{2}-b^{2})(\lambda ^{2}-c^{2}){\frac {d^{2}L}{d\lambda ^{2}}}+\lambda (\lambda ^{2}-b^{2}+\lambda ^{2}-c^{2}){\frac {dL}{d\lambda }}-[m(m+1)\lambda ^{2}-(b^{2}+c^{2})p]L=0

{\ displaystyle (\ lambda ^ {2} -b ^ {2}) (\ lambda ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} L} {d \ lambda ^ {2} }} + \ lambda (\ lambda ^ {2} -b ^ {2} + \ lambda ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dL} {d \ lambda}} - [m (m + 1) \ lambda ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] L = 0}

(\ lambda ^ {2} -b ^ {2}) (\ lambda ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} L} {d \ lambda ^ {2}}} + \ lambda (\ lambda ^ {2} -b ^ {2} + \ lambda ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dL} {d \ lambda}} - [m (m + 1) \ lambda ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] L = 0

(\mu ^{2}-b^{2})(\mu ^{2}-c^{2}){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+\mu (\mu ^{2}-b^{2}+\mu ^{2}-c^{2}){\frac {dM}{d\mu }}-[m(m+1)\mu ^{2}-(b^{2}+c^{2})p]L=0

{\ displaystyle (\ mu ^ {2} -b ^ {2}) (\ mu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} M} {d \ mu ^ {2} }} + \ mu (\ mu ^ {2} -b ^ {2} + \ mu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dM} {d \ mu}} - [m (m + 1) \ mu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] L = 0}

(\ mu ^ {2} -b ^ {2}) (\ mu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} M} {d \ mu ^ {2}}} + \ mu (\ mu ^ {2} -b ^ {2} + \ mu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dM} {d \ mu}} - [m (m + 1) \ mu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] L = 0

(\nu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-c^{2}){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+\nu (\nu ^{2}-b^{2}+\nu ^{2}-c^{2}){\frac {dN}{d\nu }}-[m(m+1)\nu ^{2}-(b^{2}+c^{2})p]L=0

{\ displaystyle (\ nu ^ {2} -b ^ {2}) (\ nu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} N} {d \ nu ^ {2} }} + \ nu (\ nu ^ {2} -b ^ {2} + \ nu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dN} {d \ nu}} - [m (m + 1) \ nu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] L = 0}

(\ nu ^ {2} -b ^ {2}) (\ nu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} N} {d \ nu ^ {2}}} + \ nu (\ nu ^ {2} -b ^ {2} + \ nu ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dN} {d \ nu}} - [m (m + 1) \ nu ^ {2} - (b ^ {2} + c ^ {2}) p] L = 0

Apelare $E_{m}^{p}(u)$ ${\ displaystyle E_ {m} ^ {p} (u)}$ $E_ {m} ^ {p} (u)$ soluția ecuației diferențiale a lui Lamé:

(u^{2}-b^{2})(u^{2}-c^{2}){\frac {d^{2}v}{du^{2}}}+u(u^{2}-b^{2}+u^{2}-c^{2}){\frac {dv}{du}}-[m(m+1)u^{2}-(b^{2}+c^{2})p]v=0

{\ displaystyle (u ^ {2} -b ^ {2}) (u ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} v} {du ^ {2}}} + u (u ^ {2} -b ^ {2} + u ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dv} {du}} - [m (m + 1) u ^ {2} - ( b ^ {2} + c ^ {2}) p] v = 0}

(u ^ {2} -b ^ {2}) (u ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {d ^ {2} v} {du ^ {2}}} + u (u ^ {2} -b ^ {2} + u ^ {2} -c ^ {2}) {\ frac {dv} {du}} - [m (m + 1) u ^ {2} - (b ^ { 2} + c ^ {2}) p] v = 0

(1)

Este clar că $V(\lambda ,\mu ,\nu )=E_{m}^{p}(\lambda )E_{m}^{p}(\mu )E_{m}^{p}(\nu )$ ${\ displaystyle V (\ lambda, \ mu, \ nu) = E_ {m} ^ {p} (\ lambda) E_ {m} ^ {p} (\ mu) E_ {m} ^ {p} (\ nu )}}$ $V (\ lambda, \ mu, \ nu) = E_ {m} ^ {p} (\ lambda) E_ {m} ^ {p} (\ mu) E_ {m} ^ {p} (\ nu)$ .

$E_{m}^{p}(u)$ ${\ displaystyle E_ {m} ^ {p} (u)}$ $E_ {m} ^ {p} (u)$ se numește funcția Lamé. Cand $m\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ este posibil să căutați soluțiile ecuației Lamé sub forma:

K_{m}^{p}(u)=u^{m}+a_{m-2}u^{m-2}+\ldots

{\ displaystyle K_ {m} ^ {p} (u) = u ^ {m} + a_ {m-2} u ^ {m-2} + \ ldots}

K_ {m} ^ {p} (u) = u ^ {m} + a _ {{m-2}} u ^ {{m-2}} + \ ldots

(polinom)

L_{m}^{p}(u)={\sqrt {u^{2}-b^{2}}}(u^{m-1}+a_{m-3}u^{m-3}+\ldots

{\ displaystyle L_ {m} ^ {p} (u) = {\ sqrt {u ^ {2} -b ^ {2}}} (u ^ {m-1} + a_ {m-3} u ^ { m-3} + \ ldots}

L_ {m} ^ {p} (u) = {\ sqrt {u ^ {2} -b ^ {2}}} (u ^ {{m-1}} + a _ {{m-3}} u ^ {{m-3}} + \ ldots

M_{m}^{p}(u)={\sqrt {u^{2}-c^{2}}}(u^{m-1}+a_{m-3}u^{m-3}+\ldots

{\ displaystyle M_ {m} ^ {p} (u) = {\ sqrt {u ^ {2} -c ^ {2}}} (u ^ {m-1} + a_ {m-3} u ^ { m-3} + \ ldots}

M_ {m} ^ {p} (u) = {\ sqrt {u ^ {2} -c ^ {2}}} (u ^ {{m-1}} + a _ {{m-3}} u ^ {{m-3}} + \ ldots

N_{m}^{p}(u)={\sqrt {(u^{2}-b^{2})(u^{2}-c^{2})}}(u^{m-2}+a_{m-4}u^{m-4}+\ldots

{\ displaystyle N_ {m} ^ {p} (u) = {\ sqrt {(u ^ {2} -b ^ {2}) (u ^ {2} -c ^ {2})}} (u ^ {m-2} + a_ {m-4} u ^ {m-4} + \ ldots}

N_ {m} ^ {p} (u) = {\ sqrt {(u ^ {2} -b ^ {2}) (u ^ {2} -c ^ {2})}} (u ^ {{m -2}} + a _ {{m-4}} u ^ {{m-4}} + \ ldots

Acest lucru impune condiții $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Este posibil să se demonstreze că pentru fiecare $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ există în total $(2m+1)$ ${\ displaystyle (2m + 1)}$ $(2m + 1)$ Funcții Lamé $E_{m}^{p}(u)$ ${\ displaystyle E_ {m} ^ {p} (u)}$ $E_ {m} ^ {p} (u)$ a formei $K_{m}^{p}$ ${\ displaystyle K_ {m} ^ {p}}$ $K_ {m} ^ {p}$ , $L_{m}^{p}$ ${\ displaystyle L_ {m} ^ {p}}$ $L_ {m} ^ {p}$ , $M_{m}^{p}$ ${\ displaystyle M_ {m} ^ {p}}$ $M_ {m} ^ {p}$ sau $N_{m}^{p}$ ${\ displaystyle N_ {m} ^ {p}}$ $N_ {m} ^ {p}$ .

Un tabel al acestor funcții se găsește în cartea lui Byerly pentru $m\leq 3$ ${\ displaystyle m \ leq 3}$ $m \ l și q 3$ .

Există, de asemenea, funcții Lamé de al doilea tip, introduse de Eduard Heine și Joseph Liouville :

F_{m}^{p}(u)=(2m+1)E_{m}^{p}(u)\int _{u}^{\infty }{\frac {dw}{{\sqrt {(w^{2}-b^{2})(w^{2}-c^{2})}}[E_{m}^{p}(w)]^{2}}}

{\ displaystyle F_ {m} ^ {p} (u) = (2m + 1) E_ {m} ^ {p} (u) \ int _ {u} ^ {\ infty} {\ frac {dw} {{ \ sqrt {(w ^ {2} -b ^ {2}) (w ^ {2} -c ^ {2})}} [E_ {m} ^ {p} (w)] ^ {2}}} }

F_ {m} ^ {p} (u) = (2m + 1) E_ {m} ^ {p} (u) \ int _ {u} ^ {\ infty} {\ frac {dw} {{\ sqrt { (w ^ {2} -b ^ {2}) (w ^ {2} -c ^ {2})}} [E_ {m} ^ {p} (w)] ^ {2}}}

.

Ecuația Lamé cu funcții eliptice

Există, de asemenea, o teorie a funcțiilor Lamé bazată pe ecuația diferențială obținută prin schimbarea variabilei:

{\frac {d^{2}U}{du^{2}}}=[m(m+1)\wp (u)+B]U

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} U} {du ^ {2}}} = [m (m + 1) \ wp (u) + B] U}

{\ frac {d ^ {2} U} {du ^ {2}}} = [m (m + 1) \ wp (u) + B] U

(2)

unde este $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ este funcția eliptică Weierstrass , dezvoltată de matematicianul francez Georges Henri Halphen .

Există încă o formă a ecuației Lamé:

{\frac {d^{2}U}{du^{2}}}=[m(m+1)k^{2}\mathrm {sn} ^{2}(u)+B]U

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} U} {du ^ {2}}} = [m (m + 1) k ^ {2} \ mathrm {sn} ^ {2} (u) + B] U}

{\ frac {d ^ {2} U} {du ^ {2}}} = [m (m + 1) k ^ {2} {\ mathrm {sn}} ^ {2} (u) + B] U

(3)

unde este $\mathrm {sn}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sn}}$ ${\ mathrm {sn}}$ este o funcție eliptică Jacobi , dezvoltată de matematicianul francez Charles Hermite în 1885 . Forma Halphen este mai generală. În cartea lui James Pierpont, teoria funcțiilor Lamé poate fi găsită pe baza ecuației cu funcția Weierstrass.

Bibliografie

( FR ) G. Lamé Journal de Mathématiques pure et appliquées 2 p. 147 (1837); ibid. 4 , p. 126 , 351 (1839); ibid. 8 p. 397 (1843).
( DE ) CGJ Jacobi Journal von Crelle 19 , p. 309 (1839).
I. Todhunter Un tratat elementar despre funcțiile Laplace Funcțiile lui Lamé și funcțiile Bessels pp. 219-283 (Londra, MacMillan, 1875)
WE Byerly Un tratat elementar despre seria lui Fourier și armonica sferică, cilindrică și elipsoidală, cu aplicații la probleme în fizica matematică pp. 238-266 (Boston, Ginn & co., 1893)
J. Pierpont Funcțiile unei variabile complexe pp. 561–583 (Boston, Ginn & co., 1914)
( FR ) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 2) pp. 457–530 (Paris, Gauthier-Villars, 1888)
A. R Teoria Forsyth a ecuațiilor diferențiale (vol. 4: ecuații liniare obișnuite) pp. 459–477 (Cambridge University Press, 1902)
ET Whittaker și GN Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922)
EH Neville Geneza ecuației lui Lamé Jurnal trimestrial de matematică pură și aplicată 202 p. 338 (1923)
P. Humbert Fonctions de Lamé și fonctions de Mathieu Mémorial des sciences mathématiques, nº 10 (1926)
A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger și F. Tricomi Higher Transcendental Functions Vol III (New York, McGraw-Hill, 1954) capitolul 15.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 33536 · LCCN (EN) sh85074198 · BNF (FR) cb167313822 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică