Antitraducție

Antitraslazioni (sau, în mod echivalent, glissosimmetrie, glissoriflessioni, simetrii cu defilare) sunt acele izometrii ale planului euclidian care sunt obținute printr-o simetrie axială $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ compus cu o traducere $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de-a lungul unei linii paralele cu axa lui $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Aceste izometrii sunt întotdeauna inversate , deoarece sunt compoziția unei inversări (simetria axială) și una care nu inversează (traducerea).

Echivalența definițiilor

În general, compoziția izometriilor nu se bucură de proprietatea comutativă .

Cu toate acestea, constrângerea asupra paralelismului ne permite să considerăm definiția dată ca echivalentă cu următoarele:

Izometriile planului euclidian care se obțin prin compunerea unei traduceri se numesc antisimetrii $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu o simetrie axială $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ având axul său paralel cu direcția de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$

Cu alte cuvinte, dacă o simetrie axială și o translație au respectiv axa și direcția paralelă, atunci fac naveta.

Într-adevăr, efectul unei simetrii axiale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe orice punct al planului este întotdeauna o translație a direcției perpendiculare pe axa lui $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și forma $2d$ ${\ displaystyle 2d}$ ${\ displaystyle 2d}$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este distanța punctului de axa lui $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Când te duci să compui $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cu o traducere $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ direcție perpendiculară pe axa lui $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ nu se schimbă; adăugând că compoziția traducerilor este comutativă, avem asta, pentru fiecare punct $X,S(T(X))=T(S(X))$ ${\ displaystyle X, S (T (X)) = T (S (X))}$ ${\ displaystyle X, S (T (X)) = T (S (X))}$ , adică $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ sau $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ = $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sau $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Practic, puteți asocia fiecare punct cu un dreptunghi: antitraducția este diagonala, dacă compuneți simetria și translația într-o singură direcție faceți punctul să treacă prin laturile adiacente, dacă inversați ordinea compoziției îl faceți să treacă prin celelalte două părți.

Se poate arăta, de asemenea, că acesta este singurul caz în care se deplasează o traducere și o simetrie axială. De asemenea, din acest motiv, antitraducțiile sunt de obicei considerate o clasă deosebit de interesantă de izometrii plane.