Ideal fracționat

În matematică , idealurile fracționare sunt generalizări ale idealurilor unui inel utilizate în studiul domeniilor de integritate ; pot fi gândite ca idealuri cărora li se permite să aibă un numitor comun. În acest context, idealurile inelului sunt uneori numite idealuri întregi .

Definiție și exemple

Fie A un domeniu și K câmpul său coeficient . Un ideal fracționat al lui A este un sub- A - modulul I al lui K pentru care există un element diferit de zero d în A astfel încât $dI\subseteq A$ ${\ displaystyle dI \ subseteq A}$ $dI \ subseteq A$ .

Întregul $d\cdot I$ ${\ displaystyle d \ cdot I}$ $d \ cdot I$ , fiind un submodul al lui A , este un ideal al lui A ; idealurile fracționare pot fi, prin urmare, definite și ca i $d^{-1}J$ ${\ displaystyle d ^ {- 1} J}$ $d ^ {{- 1}} J$ , unde d este un element al lui A și J un ideal propriu al lui A. Aceasta înseamnă că I este alcătuit din elementele din formă ${\frac {j}{d}}$ ${\ displaystyle {\ frac {j} {d}}}$ ${\ frac {j} {d}}$ , unde j este un element al lui J ; în acest sens, prin urmare, idealurile fracționate pot fi considerate idealuri (proprii) ale lui A „cu un numitor”. În special, idealurile fracționate ale lui A conținute în A sunt tocmai idealurile lui A.

Toate submodulele generate de K finit sunt idealuri fracționate, dar acest lucru nu este adevărat pentru modulele generate non-finit: de exemplu K în sine este un modul A, dar nu este niciodată un ideal fracționat al lui A (cu excepția cazului în care A coincide cu K ). Folosind corespondența cu idealurile proprii ale lui A , vedem că idealurile fracționate coincid cu submodulele finite generate ale lui K dacă și numai dacă A este noetherian .

Ca și în cazul idealurilor proprii, un ideal fracționat de forma xA , pentru a $x\in K$ ${\ displaystyle x \ în K}$ $x \ în K$ , se spune principal .

Operații și inversibilitate

Fiind submodule ale aceluiași modul ( K ), se pot efectua diverse operații între idealurile fracționate ale lui A : printre acestea intersecția $I\,\cap \,J$ ${\ displaystyle I \, \ cap \, J}$ $I \, \ cap \, J$ , suma $I+J=\{i+j|i\in I,j\in J\}$ ${\ displaystyle I + J = \ {i + j | i \ în I, j \ în J \}}$ $I + J = \ {i + j | i \ în I, j \ în J \}$ , produsul $IJ=\left\{\sum _{k=1}^{n}i_{k}j_{k}|i_{k}\in I,j_{k}\in J\right\}$ ${\ displaystyle IJ = \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {n} i_ {k} j_ {k} | i_ {k} \ in I, j_ {k} \ in J \ right \}}$ $IJ = \ left \ {\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} i_ {k} j_ {k} | i_ {k} \ in I, j_ {k} \ in J \ right \}$ și „diviziunea” $(I:J)=\{x\in K|xJ\subseteq I\}$ ${\ displaystyle (I: J) = \ {x \ în K | xJ \ subseteq I \}}$ $(I: J) = \ {x \ in K | xJ \ subseteq I \}$ . Acestea nu sunt doar sub-module A ale lui K , ci sunt și idealuri fracționate.

Echipat cu produsul, setul de idealuri fracționare non-zero este un monoid cu un element neutru A , dar în general nu este un grup : acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă A este un domeniu Dedekind . Elementele inversabile ale acestui monoid se numesc idealuri inversabile : cu alte cuvinte, un ideal inversabil este un ideal fracționat I astfel încât există un ideal fracționat J astfel încât $IJ=A$ ${\ displaystyle IJ = A}$ $IJ = A$ ; dacă se întâmplă acest lucru, J trebuie să coincidă cu $(A:I)$ ${\ displaystyle (A: I)}$ $(LA)$ . Idealurile inversabile pot fi caracterizate prin localizările lui A : I este inversabil dacă și numai dacă este generat finit și $IR_{M}$ ${\ displaystyle IR_ {M}}$ $IR_ {M}$ este principal pentru orice ideal maxim M. În special, în inelele locale (precum și în inelele semilocale , adică cu un număr finit de idealuri maxime) un ideal fracționat este inversabil dacă și numai dacă este principal.

Setul de idealuri fracționabile inversabile este un grup față de produs, notat cu Inv ( A ), și include ca subgrup ansamblul idealurilor principale P ( A ).

În cazul în care A este un domeniu Dedekind, idealurile fracționare au rezultate deosebit de bune. În acest caz, de fapt, toate idealurile sunt inversabile, iar coeficientul $Inv(A)/P(A)$ ${\ displaystyle Inv (A) / P (A)}$ $Inv (A) / P (A)$ (numit grup de clase A ) oferă informații despre proprietățile de factorizare ale lui A : de exemplu, grupul de clase este trivial dacă și numai dacă A este un singur domeniu de factorizare .

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică