Identitatea lui Ward-Takahashi

În teoria câmpului cuantic , o identitate Ward-Takahashi este o identitate între funcțiile de corelație care este o consecință a simetriilor globale sau ecartamentale ale teoriei și care rămâne valabilă după renormalizare .

Identitatea Ward - Takahashi a electrodinamicii cuantice (QED) a fost inițial utilizată de John Clive Ward ^[1] și Yasushi Takahashi ^[2] pentru a raporta renormalizarea funcției de undă a electronului la factorul de renormalizare al vârfului, asigurând anularea divergența ultravioletă la fiecare ordine în teoria perturbării. Utilizările ulterioare includ extinderea dovezii teoremei Goldstone la toate ordinele din teoria perturbării.

Mai general, o identitate Ward-Takahashi este versiunea cuantică a conservării curentului clasic asociată cu o simetrie continuă prin intermediul teoremei lui Noether . Astfel de simetrii în teoria câmpului cuantic (aproape) dau întotdeauna naștere acestor identități generalizate Ward-Takahashi care impun simetrie la nivelul amplitudinilor cuantice. Acest sens generalizat ar trebui să se distingă la citirea literaturii, cum ar fi manualul lui Michael Peskin și al lui Daniel Schroeder, ^[3] din identitatea originală Ward - Takahashi.

Următoarea discuție se referă la QED, o teorie gauge Abeliană asupra căreia se aplică identitatea. Identitățile echivalente pentru teoriile non-abeliene precum cromodinamica cuantică (QCD) sunt identitățile Slavnov-Taylor .

Identitatea lui Ward-Takahashi

Identitatea Ward-Takahashi se aplică funcțiilor de corelație din spațiul impulsurilor, care nu au neapărat toate impulsurile lor externe pe shell . Este

{\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal { M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n})}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal { M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n})}

o funcție de corelație în QED care implică un foton extern cu impuls k (unde $\epsilon _{\mu }(k)$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$ este vectorul de polarizare al fotonului și este implicită suma peste $\mu =0,\ldots ,3$ ${\ displaystyle \ mu = 0, \ ldots, 3}$ $\ mu = 0, \ ldots, 3$ ), n electroni în starea inițială cu impulsuri $p_{1}\cdots p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {1} \ cdots p_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {1} \ cdots p_ {n}}$ și n electroni în stare finală cu impulsuri $q_{1}\cdots q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {1} \ cdots q_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {1} \ cdots q_ {n}}$ . De asemenea, se definește pe sine ${\mathcal {M}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}$ ca cea mai simplă amplitudine obținută prin îndepărtarea fotonului cu impulsul k din amplitudinea inițială. Atunci identitatea lui Ward - Takahashi este

{\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.\\\left.{}-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n }) = e \ sum _ {i} \ left [{\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots (q_ {i} -k) \ cdots q_ {n}) \ right. \\\ left. {} - {\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots (p_ {i} + k) \ cdots p_ {n} ; q_ {1} \ cdots q_ {n}) \ right] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n }) = e \ sum _ {i} \ left [{\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots (q_ {i} -k) \ cdots q_ {n}) \ right. \\\ left. {} - {\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots (p_ {i} + k) \ cdots p_ {n} ; q_ {1} \ cdots q_ {n}) \ right] \ end {align}}}

unde e este sarcina electronului și are un semn negativ. Rețineți că dacă ${\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ $\ mathcal {M}$ are electronii săi externi pe înveliș, apoi amplitudinile din partea dreaptă a acestei identități au fiecare o particulă externă în afara învelișului și, prin urmare, nu contribuie la elementele matricei S.

Identitatea lui Ward

Identitatea Ward este un caz special al identității Ward - Takahashi aplicată elementelor matricei S , care descriu procesele de împrăștiere posibile din punct de vedere fizic și, prin urmare, au toate particulele lor externe pe coajă . Să mai fie ${\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (k) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (k) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k)}$ amplitudinea pentru un anumit proces QED care implică un foton extern cu impuls $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , unde este $\epsilon _{\mu }(k)$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$ este vectorul de polarizare al fotonului. Apoi, identitatea lui Ward este scrisă:

k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0

{\ displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k) = 0}

{\ displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k) = 0}

Fizic, ceea ce înseamnă această identitate este că polarizarea longitudinală a fotonului care apare în termenul uge gauge nu este fizică și dispare din matricea S.

Exemple în acest sens includ constrângerea asupra structurii tensoriale a polarizării în vid și funcția de vârf a electronului în QED.

Identitatea Slavnov-Taylor

Identitățile Slavnov-Taylor sunt generalizarea identităților Ward - Takahashi la teoriile ecartamentului non-Abelian . ^[4] Aceste identități au fost descoperite inițial de Gerard 't Hooft ^[5] și poartă numele lui Andrei Slavnov și John Clayton Taylor care le-au reformulat pentru a aplica chiar și off-shell . ^[6] ^[7]

Notă

^ John Clive Ward, O identitate în electrodinamica cuantică , în Physical Review , vol. 78, nr. 2, 1950, p. 182, Bibcode : 1950PhRv ... 78..182W , DOI : 10.1103 / PhysRev.78.182 .
^ Yasushi Takahashi, Despre identitatea generalizată a secției , în Il Nuovo Cimento , vol. 6, nr. 2, 1957, pp. 371–375, Bibcode : 1957NCim .... 6..371T , DOI : 10.1007 / BF02832514 .
^ Michael E. Peskin și Daniel V. Schroeder,"Identitatea Ward-Takahashi" , în An Introduction to Quantum Field Theory , Westview Press, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 .
^ Weinberg, Steven , Teoria cuantică a câmpurilor , Vol. 2., Cambridge University Press, 1995, p. 76, ISBN 9780521550024 .
^ 't Hooft, G., Renormalizarea câmpurilor Yang-Mills fără masă , în Nucl. Fizic. B , vol. 33, nr. 1, 1971, pp. 173-199, Bibcode : 1971NuPhB..33..173T , DOI : 10.1016 / 0550-3213 (71) 90395-6 .
^ Taylor, JC, Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field , in Nucl. Fizic. B , vol. 33, nr. 2, 1971, pp. 436–444, Bibcode : 1971NuPhB..33..436T , DOI : 10.1016 / 0550-3213 (71) 90297-5 .
^ Slavnov, AA, Ward identities in gauge theories , în Theoretical and Mathematical Physics , vol. 10, nr. 2, 1972, pp. 99–104, Bibcode : 1972TMP .... 10 ... 99S , DOI : 10.1007 / BF01090719 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[Ward-1] John Clive Ward, O identitate în electrodinamica cuantică , în Physical Review , vol. 78, nr. 2, 1950, p. 182, Bibcode : 1950PhRv ... 78..182W , DOI : 10.1103 / PhysRev.78.182 .

[Takahashi-2] Yasushi Takahashi, Despre identitatea generalizată a secției , în Il Nuovo Cimento , vol. 6, nr. 2, 1957, pp. 371–375, Bibcode : 1957NCim .... 6..371T , DOI : 10.1007 / BF02832514 .

[PeskinSchroeder-3] Michael E. Peskin și Daniel V. Schroeder,"Identitatea Ward-Takahashi" , în An Introduction to Quantum Field Theory , Westview Press, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 .

[4] Weinberg, Steven , Teoria cuantică a câmpurilor , Vol. 2., Cambridge University Press, 1995, p. 76, ISBN 9780521550024 .

[5] 't Hooft, G., Renormalizarea câmpurilor Yang-Mills fără masă , în Nucl. Fizic. B , vol. 33, nr. 1, 1971, pp. 173-199, Bibcode : 1971NuPhB..33..173T , DOI : 10.1016 / 0550-3213 (71) 90395-6 .

[6] Taylor, JC, Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field , in Nucl. Fizic. B , vol. 33, nr. 2, 1971, pp. 436–444, Bibcode : 1971NuPhB..33..436T , DOI : 10.1016 / 0550-3213 (71) 90297-5 .

[7] Slavnov, AA, Ward identities in gauge theories , în Theoretical and Mathematical Physics , vol. 10, nr. 2, 1972, pp. 99–104, Bibcode : 1972TMP .... 10 ... 99S , DOI : 10.1007 / BF01090719 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]