Interpretare (logică)

O „interpretare” este de a atribui un sens simbolurilor unui limbaj formal . Multe limbaje formale utilizate în matematică , logică și informatică teoretică sunt definite exclusiv în termeni sintactici și ca atare nu au sens până când nu sunt interpretate. Studiul general al interpretărilor limbajelor formale se numește semantică formală .

Logicele formale cele mai frecvent studiate sunt logica propozițională , logica predicatului (și analogii lor modali ), pentru care există modalități standard de atribuire a unei interpretări. În aceste contexte, interpretarea este o funcție care oferă „ extensia simbolurilor și șirurilor de simboluri ale unui limbaj obiect. De exemplu, o funcție de interpretare ar putea lua predicatul A („înalt”) și ar putea atribui extensia {a} (pentru „Alice”). Rețineți că tot ceea ce face această interpretare este să atribuiți extensia {a} constantei fără logică A și nu susține că A înseamnă „înalt” și pentru Alice.

O interpretare adesea (dar nu întotdeauna) oferă o modalitate de a determina valorile de adevăr ale formulelor într-un limbaj. Dacă o interpretare dată atribuie valoarea „adevărată” a unei propoziții sau teorii , interpretarea se numește model al acestei propoziții sau teorii.

Conceptul de interpretare este esențial pentru a defini satisfacția unei formule sau existența a cel puțin unui model pentru aceeași. ^[1]

Limbi formale

Un limbaj formal constă dintr-un set infinit de propoziții construit de un set fix de litere sau simboluri. Inventarul din care sunt luate aceste litere se numește alfabetul pe care este definită limba. ^[1] Pentru a distinge șirurile de simboluri care aparțin unui limbaj formal prin șiruri de simboluri arbitrare, primele sunt uneori numite formule bine formate (FBF). ^[1] Caracteristica esențială a unui limbaj formal este că sintaxa acestuia poate fi definită fără referire la interpretare. De exemplu, putem determina asta $(P\ or\ Q)$ ${\ displaystyle (P \ or \ Q)}$ ${\ displaystyle (P \ or \ Q)}$ este o formulă bine formată chiar și fără să știe dacă este adevărată sau falsă.

Exemplu

Un limbaj formal ${\mathcal {W}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ $\ mathcal {W}$ poate fi definit cu alfabetul $\alpha =\{\triangle ,\square \}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ {\ triangle, \ square \}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ {\ triangle, \ square \}}$ și cu un cuvânt (spus apartenență la ${\mathcal {W}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ $\ mathcal {W}$ ) dacă începe cu $\triangle$ ${\ displaystyle \ triangle}$ $\ triunghi$ și este compus exclusiv din simbolurile conținute în $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ( $\triangle$ ${\ displaystyle \ triangle}$ $\ triunghi$ Și $\square$ ${\ displaystyle \ square}$ $\ pătrat$ ).

O posibilă interpretare a ${\mathcal {W}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ $\ mathcal {W}$ ar putea atribui zecimalul "1" lui $\triangle$ ${\ displaystyle \ triangle}$ $\ triunghi$ și de la „0” la $\square$ ${\ displaystyle \ square}$ $\ pătrat$ . Atunci $\triangle \square \triangle$ ${\ displaystyle \ triangle \ square \ triangle}$ ${\ displaystyle \ triangle \ square \ triangle}$ ar denota 101 sub această interpretare a ${\mathcal {W}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ $\ mathcal {W}$ .

Constante logice

În cazuri specifice de logică propozițională și logică predicată, limbajele formale considerate au alfabete care sunt împărțite în două seturi: simboluri logice (constante logice) și simboluri non-logice. Ideea din spatele acestei terminologii este că simbolurile logice au aceeași semnificație indiferent de câmpul de studiu, în timp ce simbolurile non-logice pot lua semnificații diferite în funcție de subiect.

Constantele logice includ simboluri de cuantificare ∀ (universale) și ∃ (existențiale), simboluri pentru conectivități logice ∧ („și”), ∨ („o”), ¬ („nu”), paranteze și alte simboluri de grupare și (în unele acsi) simbolul egalității =.

Semantica conexiunilor logice

Funcția de interpretare este utilă, de exemplu, pentru a defini semantica operatorilor logici. În acest context, interpretarea unui simbol este o funcție care, dată unui anumit simbol, returnează o valoare „adevărată” sau „falsă”.

Iată cum definim conectivitățile logice în logica propozițională:

¬Φ este adevărat dacă și numai dacă Φ este fals.
(Φ ∧ Ψ) este adevărat dacă și numai dacă Φ este adevărat și Ψ este adevărat.
(Φ ∨ Ψ) este adevărat dacă și numai dacă Φ este adevărat sau Ψ este adevărat (sau ambele sunt adevărate).
(Φ → Ψ) este adevărat dacă și numai dacă Φ este fals sau Ψ este adevărat (sau ambele sunt adevărate).
(Φ ↔ Ψ) este adevărat dacă și numai dacă (Φ → Ψ) este adevărat și (Ψ → Φ) este adevărat.

Deci, având în vedere o anumită interpretare a literelor Φ și Ψ (adică, după ce am atribuit o valoare de adevăr fiecărei litere din propoziție), putem determina valorile de adevăr ale tuturor formulelor care conțin cele două litere, ca o funcție a conectivelor logice utilizate . În tabelul următor, a doua și a treia coloană arată valorile adevărului literelor (cu toate cele patru interpretări posibile). Celelalte coloane arată valorile de adevăr ale formulelor construite cu aceste litere.

Conectori logici
Interpretare	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
# 1	T.	T.	F.	T.	T.	T.	T.
# 2	T.	F.	F.	F.	T.	F.	F.
# 3	F.	T.	T.	F.	T.	T.	F.
# 4	F.	F.	T.	F.	F.	T.	T.

Acum este mai ușor să verificați ce face o formulă validă logic. Să luăm formula $F:\Phi \lor \neg \Phi$ ${\ displaystyle F: \ Phi \ lor \ neg \ Phi}$ ${\ displaystyle F: \ Phi \ lor \ neg \ Phi}$ . Dacă funcția noastră de interpretare face ca Φ să fie adevărat, atunci ¬Φ este falsificat prin conectarea negativă. Deoarece disjuncția Φ F este adevărată sub această interpretare, F este adevărat. Acum singura altă interpretare posibilă a lui Φ o face falsă și, în acest caz, ¬Φ este făcută adevărată de funcția de negare. Acest lucru ar face din nou F adevărat, deoarece unul dintre simbolurile lui F, ¬Φ, ar fi adevărat în această interpretare. Deoarece aceste două interpretări pentru F sunt singurele interpretări logice posibile și din moment ce F este adevărat pentru ambele, spunem că este logic invalid sau tautologic.

Logica propozițională

Un limbaj formal în logica propozițională constă din formule construite din simboluri propoziționale (sau variabile propoziționale) și conectivități logice. Singurele simboluri „non-logice” dintr-un limbaj formal sunt variabilele propoziționale, care sunt adesea indicate cu majuscule.

În acest context, interpretarea se face de obicei printr-o funcție care mapează fiecare simbol propozițional la o valoare de adevăr adevărată sau falsă. Această funcție se mai numește și funcție de evaluare. ^[1] ^[2]

Pentru un limbaj cu n variabile propoziționale distincte există $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ posibile interpretări distincte. Pentru fiecare variabilă în special, de exemplu, există $2^{1}=2$ ${\ displaystyle 2 ^ {1} = 2}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1} = 2}$ posibile interpretări: putem atribui valoarea T (true) sau F (fals). Pentru perechea de variabile $\langle a,b\rangle$ ${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$ exista $2^{2}=4$ ${\ displaystyle 2 ^ {2} = 4}$ ${\ displaystyle 2 ^ {2} = 4}$ interpretări posibile: 1) atribuiți atât valoarea T , 2) atribuiți ambelor valoarea F , 3) T pentru a atribui a și F a b, sau 4) F atribui lui a și T b. Si asa mai departe.

Logica primului ordin

Pentru a da sens unui anumit limbaj de prim ordin , având în vedere un anumit domeniu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ (în general trebuie să nu fie gol), folosim următoarele interpretări: ^[3]

interpretarea simbolurilor constante: un element este asociat cu fiecare simbol constant $c^{\mathcal {I}}\in D$ ${\ displaystyle c ^ {\ mathcal {I}} \ în D}$ ${\ displaystyle c ^ {\ mathcal {I}} \ în D}$ ;
interpretarea simbolurilor funcției: o funcție este asociată cu fiecare simbol funcțional n-ari $f^{\mathcal {I}}:D^{n}\rightarrow D$ ${\ displaystyle f ^ {\ mathcal {I}}: D ^ {n} \ rightarrow D}$ ${\ displaystyle f ^ {\ mathcal {I}}: D ^ {n} \ rightarrow D}$ ;
interpretarea simbolurilor predicate: o relație este asociată cu fiecare simbol predicat n-ari $R^{\mathcal {I}}\subseteq D^{n}$ ${\ displaystyle R ^ {\ mathcal {I}} \ subseteq D ^ {n}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ mathcal {I}} \ subseteq D ^ {n}}$ .

Un obiect ${\mathfrak {A}}=\langle D,{\mathcal {I}}\rangle$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} = \ langle D, {\ mathcal {I}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} = \ langle D, {\ mathcal {I}} \ rangle}$ care conține astfel de informații este structura menționată . ^[3] O astfel de structură se numește modelul unei anumite formule $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ de sine ${\mathfrak {A}}\models \phi$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} \ models \ phi}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} \ models \ phi}$ , adică dacă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este adevărat în ${\mathfrak {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ ${\ mathfrak {A}}$ .

Exemplu

Definim un limbaj L posibil , având ca constante simboluri $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ; predicate $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ ; și variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Un exemplu de interpretare ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ Limba este după cum urmează:

Domeniu: piesele de șah
Constantele individuale: $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ : regele alb; $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ : regina neagră; $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ : un anume pion alb
$F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ : $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o bucată
$G(x)$ ${\ displaystyle G (x)}$ $G (x)$ : $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un pieton
$H(x)$ ${\ displaystyle H (x)}$ $H (x)$ : $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este negru
$I(x)$ ${\ displaystyle I (x)}$ $Eu (x)$ : $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este alb
$J(x,y)$ ${\ displaystyle J (x, y)}$ ${\ displaystyle J (x, y)}$ : $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate manca $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$

În interpretarea de mai sus:

următoarele propoziții sunt adevărate: $F(a)$ ${\ displaystyle F (a)}$ ${\ displaystyle F (a)}$ , $G(c)$ ${\ displaystyle G (c)}$ ${\ displaystyle G (c)}$ , $H(b)$ ${\ displaystyle H (b)}$ ${\ displaystyle H (b)}$ , $I(a)$ ${\ displaystyle I (a)}$ ${\ displaystyle I (a)}$ , $J(b,c)$ ${\ displaystyle J (b, c)}$ ${\ displaystyle J (b, c)}$ ;
următoarele propoziții sunt false: $J(a,c)$ ${\ displaystyle J (a, c)}$ ${\ displaystyle J (a, c)}$ , $G(a)$ ${\ displaystyle G (a)}$ ${\ displaystyle G (a)}$ , $I(b)$ ${\ displaystyle I (b)}$ ${\ displaystyle I (b)}$ .

Structura ${\mathfrak {A}}=\langle D,{\mathcal {I}}\rangle$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} = \ langle D, {\ mathcal {I}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} = \ langle D, {\ mathcal {I}} \ rangle}$ este un model al tuturor propozițiilor adevărate de mai sus. De exemplu, avem asta ${\mathfrak {A}}\models J(b,c)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} \ models J (b, c)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} \ models J (b, c)}$ .

Notă

^ ^A ^b ^c ^d Francesco Bottacin,clipboard Mathematical Logic (PDF), Universitatea din Padova . Adus la 6 decembrie 2020 ( depus la 10 ianuarie 2017).
^ Raffaella Bernardi, Logic & Language: Propositional Logic I (PDF) pe disi.unitn.it, Universitatea din Trento , 23 februarie 2012. Adus la 6 decembrie 2020.
^ ^A ^b Nardi, Cunoaștere - Reprezentarea lecției 2 (PDF) pe dis.uniroma1.it, Universitatea din Roma „La Sapienza” , 2008. Adus la 6 decembrie 2020 ( depus la 6 decembrie 2020).

Elemente conexe

Portal IT

Portalul de matematică

[bottacin-1] A ^b ^c ^d Francesco Bottacin,clipboard Mathematical Logic (PDF), Universitatea din Padova . Adus la 6 decembrie 2020 ( depus la 10 ianuarie 2017).

[2] Raffaella Bernardi, Logic & Language: Propositional Logic I (PDF) pe disi.unitn.it, Universitatea din Trento , 23 februarie 2012. Adus la 6 decembrie 2020.

[nardi2008-3] A ^b Nardi, Cunoaștere - Reprezentarea lecției 2 (PDF) pe dis.uniroma1.it, Universitatea din Roma „La Sapienza” , 2008. Adus la 6 decembrie 2020 ( depus la 6 decembrie 2020).

[1]

[2]

[3]

Interpretare	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
# 1	T.	T.	F.	T.	T.	T.	T.
# 2	T.	F.	F.	F.	T.	F.	F.
# 3	F.	T.	T.	F.	T.	T.	F.
# 4	F.	F.	T.	F.	F.	T.	T.

Interpretare	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
# 1	T.	T.	F.	T.	T.	T.	T.
# 2	T.	F.	F.	F.	T.	F.	F.
# 3	F.	T.	T.	F.	T.	T.	F.
# 4	F.	F.	T.	F.	F.	T.	T.

Interpretare	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
# 1	T.	T.	F.	T.	T.	T.	T.
# 2	T.	F.	F.	F.	T.	F.	F.
# 3	F.	T.	T.	F.	T.	T.	F.
# 4	F.	F.	T.	F.	F.	T.	T.