Lema cercului mare

În analiza complexă , lema cercului mare (sau lema arcului mare al unui cerc ) ne permite să rezolvăm integrale necorespunzătoare având o funcție rațională ca integrand.

Afirmație

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set deschis nelimitat al planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Este $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ holomorf în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ și astfel încât:

\lim _{z\in \Omega ;\,|z|\rightarrow +\infty }zf(z)=0,

{\ displaystyle \ lim _ {z \ in \ Omega; \, | z | \ rightarrow + \ infty} zf (z) = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {z \ in \ Omega; \, | z | \ rightarrow + \ infty} zf (z) = 0,}

asa de

\lim _{R\rightarrow +\infty }\,\,\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz=0,

{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \, \, \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} f (z) \, dz = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \, \, \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} f (z) \, dz = 0,}

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ reprezintă raza semicercului utilizată pentru a crea o curbă închisă în jurul unui pol .

Demonstrație

Construirea unei curbe regulate în bucăți pentru a calcula integralul

Avem asta:

\forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,M>0:\forall \,R>M\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|<\varepsilon

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ există \, \, M> 0: \ forall \, R> M \ Rightarrow \ left | \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} f (z) \, dz \ right | <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ există \, \, M> 0: \ forall \, R> M \ Rightarrow \ left | \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} f (z) \, dz \ right | <\ varepsilon}

Se aplică, de asemenea, că:

\forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}\,:\,\forall z,\,\left|z\right|>M\,\,\Rightarrow \left|z\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ există \, \, {\ frac {\ varepsilon} {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}}} \ ,: \, \ forall z, \, \ left | z \ right |> M \, \, \ Rightarrow \ left | z \ cdot f (z) \ right | <{\ frac {\ varepsilon} {\ phi _ {2} - \ phi _ { 1}}}}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ există \, \, {\ frac {\ varepsilon} {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}}} \ ,: \, \ forall z, \, \ left | z \ right |> M \, \, \ Rightarrow \ left | z \ cdot f (z) \ right | <{\ frac {\ varepsilon} {\ phi _ {2} - \ phi _ { 1}}}}

Modulul integralei este calculat mai jos:

\left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }\left|f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\,dz=

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} f (z) \, dz \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} \ left | f (z) \, dz \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1} ) \ left | z \ right |}} \, dz =}

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} f (z) \, dz \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} \ left | f (z) \, dz \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega} {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1} ) \ left | z \ right |}} \, dz =}

Din moment ce se presupunea $R>M$ ${\ displaystyle R> M}$ ${\ displaystyle R> M}$ , cu $R=\left|z\right|$ ${\ displaystyle R = \ left | z \ right |}$ ${\ displaystyle R = \ left | z \ right |}$ , și a fi $\left|z\right|$ ${\ displaystyle \ left | z \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | z \ right |}$ raza circumferinței, întreaga fracție poate fi scoasă din semnul integral. Prin urmare:

={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }dz={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\cdot (\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|=\varepsilon

{\ displaystyle = {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) \ left | z \ right |}} \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega } dz = {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) \ left | z \ right |}} \ cdot (\ phi _ {2} - \ phi _ {1 }) \ left | z \ right | = \ varepsilon}

{\ displaystyle = {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) \ left | z \ right |}} \ int _ {\ gamma _ {R} \ cap \ Omega } dz = {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) \ left | z \ right |}} \ cdot (\ phi _ {2} - \ phi _ {1 }) \ left | z \ right | = \ varepsilon}

Integrala rămasă nu este altceva decât lungimea arcului de circumferință dintre cele două unghiuri $\phi _{1},\,\phi _{2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \, \ phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \, \ phi _ {2}}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică