Lema cercului mic

În analiza complexă , lema cercului mic (sau lema arcului mic al unui cerc ) permite rezoluția unor integrale improprii particulare care au o funcție rațională ca integrand. Această lemă este împărțită în două părți.

Prima lemă

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set deschis al planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Este $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ o funcție holomorfă , astfel încât:
$\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow z_ {0}} (z-z_ {0}) f (z) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow z_ {0}} (z-z_ {0}) f (z) = 0}$
Atunci:
$\lim _{r\rightarrow 0}\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 0} \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 0} \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz = 0}$

Demonstrație

Construirea unei curbe regulate în bucăți pentru a calcula integralul

Stiu asta:

\exists \,\varepsilon >0\,\,\exists \,\,\delta (\varepsilon )>0\,:\,\forall \,r<\delta \,\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{r}}f(z)\cdot dz\right|<\varepsilon

{\ displaystyle \ există \, \ varepsilon> 0 \, \, \ există \, \, \ delta (\ varepsilon)> 0 \ ,: \, \ forall \, r <\ delta \, \ Rightarrow \ left | \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \ cdot dz \ right | <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ există \, \ varepsilon> 0 \, \, \ există \, \, \ delta (\ varepsilon)> 0 \ ,: \, \ forall \, r <\ delta \, \ Rightarrow \ left | \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \ cdot dz \ right | <\ varepsilon}

Rescrierea $\lim _{z-z_{0}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {z-z_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {z-z_ {0}}}$ :

\exists \,\,\delta >0\,:\,\forall \,z,\left|z-z_{0}\right|<\delta \,\,\Rightarrow \,\left|(z-z_{0})\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}

{\ displaystyle \ există \, \, \ delta> 0 \ ,: \, \ forall \, z, \ left | z-z_ {0} \ right | <\ delta \, \, \ Rightarrow \, \ left | (z-z_ {0}) \ cdot f (z) \ right | <{\ frac {\ varepsilon} {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}}}}

{\ displaystyle \ există \, \, \ delta> 0 \ ,: \, \ forall \, z, \ left | z-z_ {0} \ right | <\ delta \, \, \ Rightarrow \, \ left | (z-z_ {0}) \ cdot f (z) \ right | <{\ frac {\ varepsilon} {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}}}}

Deci calculez modulul integralului :

\left|\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{r}}\left|f(z)\right|\,dz\leq \int _{\gamma _{r}}{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z-z_{0}\right|}}\,dz=

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {r}} \ left | f (z) \ right | \, dz \ leq \ int _ {\ gamma _ {r}} {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) \ left | z-z_ {0} \ right |}} \, dz =}

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {r}} \ left | f (z) \ right | \, dz \ leq \ int _ {\ gamma _ {r}} {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) \ left | z-z_ {0} \ right |}} \, dz =}

Întrucât prin ipoteză $\left|z-z_{0}\right|=r<\delta$ ${\ displaystyle \ left | z-z_ {0} \ right | = r <\ delta}$ ${\ displaystyle \ left | z-z_ {0} \ right | = r <\ delta}$ , Pot scoate întreaga fracție și pot rezolva integralul care este egal cu lungimea arcului de circumferință dintre cele două unghiuri $\phi _{1},\,\phi _{2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \, \ phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \, \ phi _ {2}}$ . Prin urmare:

={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})r}}\,\cdot r(\phi _{2}-\phi _{1})=\varepsilon

{\ displaystyle = {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) r}} \, \ cdot r (\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) = \ varepsilon}

{\ displaystyle = {\ frac {\ varepsilon} {(\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) r}} \, \ cdot r (\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) = \ varepsilon}

Concluzii

Prima lemă arată că dat un $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ continuați în $\Omega \in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ Omega \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ in \ mathbb {C}}$ cu singularitate izolată , exact un pol de ordinul 1, integralul din jurul acestui pol este zero. Acest rezultat, important din punct de vedere teoretic, este mai puțin important din punct de vedere rezolutiv decât integralele .

Potrivit lemei

Este $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ cu polo simplu. Atunci
$\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz=\,(\phi _{2}-\phi _{1})i\operatorname {Res} (f,z_{0})$ ${\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz = \, (\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) i \ operatorname {Res} (f, z_ { 0})}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz = \, (\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) i \ operatorname {Res} (f, z_ { 0})}$

Demonstrație

Dezvoltând prin seria lui Laurent veți obține:

f(z)={\frac {a_{-1}}{z-z_{0}}}+g(z)

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {a _ {- 1}} {z-z_ {0}}} + g (z)}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {a _ {- 1}} {z-z_ {0}}} + g (z)}

$a_{-1}$ ${\ displaystyle a _ {- 1}}$ $la _ {{- 1}}$ reprezintă primul termen cunoscut din partea singulară a seriei lui Laurent . Aplicând semnul integrării ambilor membri primesc:

\int _{\gamma _{r}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{r}}{\frac {a_{-1}}{z-z_{0}}}\,dz+\int _{\gamma _{r}}g(z)\,dz

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz = \ int _ {\ gamma _ {r}} {\ frac {a _ {- 1}} {z-z_ {0 }}} \, dz + \ int _ {\ gamma _ {r}} g (z) \, dz}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {r}} f (z) \, dz = \ int _ {\ gamma _ {r}} {\ frac {a _ {- 1}} {z-z_ {0 }}} \, dz + \ int _ {\ gamma _ {r}} g (z) \, dz}

Acolo $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ este o funcție regulată și cu prima lemă, calculată anterior:

\lim _{z-z_{0}}(z-z_{0})\cdot g(z)=0\Rightarrow \int _{\gamma _{r}}g(z)\,dz=0

{\ displaystyle \ lim _ {z-z_ {0}} (z-z_ {0}) \ cdot g (z) = 0 \ Rightarrow \ int _ {\ gamma _ {r}} g (z) \, dz = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {z-z_ {0}} (z-z_ {0}) \ cdot g (z) = 0 \ Rightarrow \ int _ {\ gamma _ {r}} g (z) \, dz = 0}

integrala din $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ anulezi.

Îmi parametrizez curba închisă $\gamma _{r}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {r}}$ $\ gamma _ {r}$ , $z=z_{0}+re^{it}$ ${\ displaystyle z = z_ {0} + re ^ {it}}$ ${\ displaystyle z = z_ {0} + re ^ {it}}$ , cu $\phi _{1}\leq t\leq \phi _{2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} \ leq t \ leq \ phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} \ leq t \ leq \ phi _ {2}}$ . Înlocuind integral, voi avea:

a_{-1}\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\frac {1}{re^{it}}}\,rie^{it}\,dt=a_{-1}\,(\phi _{2}-\phi _{1})i

{\ displaystyle a _ {- 1} \ int _ {\ phi _ {1}} ^ {\ phi _ {2}} {\ frac {1} {re ^ {it}}} \, rie ^ {it} \, dt = a _ {- 1} \, (\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) i}

{\ displaystyle a _ {- 1} \ int _ {\ phi _ {1}} ^ {\ phi _ {2}} {\ frac {1} {re ^ {it}}} \, rie ^ {it} \, dt = a _ {- 1} \, (\ phi _ {2} - \ phi _ {1}) i}

dintre care coeficientul $a_{-1}$ ${\ displaystyle a _ {- 1}}$ $la _ {{- 1}}$ reprezintă tocmai $\operatorname {Res} (f,z_{0})$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, z_ {0})}$ $\ operatorname {Res} (f, z_ {0})$ .

Concluzii

A doua lemă, comparativ cu prima, este mult mai utilizată în soluția integralelor , cu condiția ca polul actual să fie de primul ordin, $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ . Pentru ordinele superioare, această lemă nu se aplică la rezoluția integralelor.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică