Matricea triiagonală

În algebra liniară, o matrice tridiagonală este o matrice pătrată care, în afara diagonalei principale și a liniilor imediat deasupra și dedesubt (prima peste și prima sub-diagonală), are doar valori nule (0). În diagonala principală , în prima supra-diagonală și în prima sub- diagonală , totuși, poate exista orice valoare (inclusiv valoarea nulă). Este banal să spunem că, chiar dacă diagonala principală , prima supra-diagonală și prima sub- diagonală au toate valori nule, matricea devine o matrice nulă, rămânând o matrice tridiagonală. Matricea diagonală este, de asemenea, o matrice tridiagonală.

Fiecare matrice pătrată de ordinul 1 sau 2 este automat tridiagonală. Un alt exemplu de matrice tridiagonală este

{\begin{pmatrix}1&4&0&0\\3&4&1&0\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\ end {pmatrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\ end {pmatrix} }}

Proprietate

Matricile tridiagonale sunt un caz particular al matricilor de benzi , ale căror elemente diferite de zero sunt pe unele diagonale consecutive. In particular, o matrice tridiagonal este simultan o parte superioară și inferior matrice Hessenberg (adică, are nuluri atât toate elementele aflate sub primul sub-diagonală și toate cele de mai sus prima supra-diagonală).

Aplicații

Din punct de vedere al calculului , matricile tridiagonale generalizează matricile diagonale la fel de mult ca matricile Hessenberg generalizează matricile triunghiulare : pot fi obținute în mai multe cazuri, dar mențin o scădere semnificativă a efortului de calcul comparativ cu cel necesar matricilor pătrate generice. În particular, o Hermitian sau simetrică matrice Hessenberg este o matrice tridiagonal.

În mecanica cuantică se folosesc uneori matrici tridiagonale de ordin infinit ( numărabile ).

Sistem de ecuații

Un sistem $Ax=b$ ${\ displaystyle Ax = b}$ $Ax = b$ cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ tridiagonale se numește tridiagonale. Există un algoritm eficient pentru soluția sa , care are o complexitate de $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ .

Elemente conexe

Glosar matricial

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică