Model de evaluare a stocurilor bazat pe consum

Modelul de evaluare a stocurilor bazat pe consum ( CAPM de consum sau CCAPM) descrie consumul simultan și deciziile de alegere a portofoliului în caz de incertitudine. Dintr-o perspectivă a alegerii intertemporale , titlurile servesc la reducerea consumului în timp.

Funcția de utilitate a consumatorului reprezentativ este ^[1] :

\sum _{j=o}^{\infty }\delta ^{j}u(c_{t+j})

{\ displaystyle \ sum _ {j = o} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} u (c_ {t + j})}

{\ displaystyle \ sum _ {j = o} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} u (c_ {t + j})}

unde u este utilitarul instant, $c_{t+j}$ ${\ displaystyle c_ {t + j}}$ ${\ displaystyle c_ {t + j}}$ consum pe perioadă $t+j$ ${\ displaystyle t + j}$ ${\ displaystyle t + j}$ Și $\delta =1/(1+\rho )$ ${\ displaystyle \ delta = 1 / (1+ \ rho)}$ ${\ displaystyle \ delta = 1 / (1+ \ rho)}$ este rata subiectivă de preferință pentru timp ^[2] ( $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este rata de actualizare subiectivă).

Două perioade

Consumatorul dorește să maximizeze utilitatea intertemporală așteptată ^[3] :

u(c_{t})+\delta E_{t}\left[u(c_{t+1})\right]

{\ displaystyle u (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [u (c_ {t + 1}) \ right]}

{\ displaystyle u (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [u (c_ {t + 1}) \ right]}

unde este $E_{t}$ ${\ displaystyle E_ {t}}$ ${\ displaystyle E_ {t}}$ indică valoarea așteptată la momentul t. Constrângerile bugetare sunt:

a_{t}=c_{t}+\sum _{i=1}^{n}x_{it}

{\ displaystyle a_ {t} = c_ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {it}}

{\ displaystyle a_ {t} = c_ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {it}}

a_{t+1}\equiv c_{t+1}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}

{\ displaystyle a_ {t + 1} \ equiv c_ {t + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ {jt}}

{\ displaystyle a_ {t + 1} \ equiv c_ {t + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ {jt}}

unde este $x_{jt}$ ${\ displaystyle x_ {jt}}$ ${\ displaystyle x_ {jt}}$ este titlul j în perioada t, n numărul de titluri, $a_{t}$ ${\ displaystyle a_ {t}}$ ${\ displaystyle a_ {t}}$ activele consumatorului la începutul perioadei t, $r_{jt}$ ${\ displaystyle r_ {jt}}$ ${\ displaystyle r_ {jt}}$ rata rentabilității garanției j la perioada t.

Prin introducerea acestei a doua condiții în funcția de utilitate, valoarea maximă poate fi găsită folosind Lagrangianul:

L=u(c_{t})+\delta E_{t}\left[u{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}{\bigg )}\right]-\lambda (c_{t}+\sum _{j=1}^{n}x_{jt}-a_{t})

{\ displaystyle L = u (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [u {\ bigg (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ { jt} {\ bigg)} \ right] - \ lambda (c_ {t} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {jt} -a_ {t})}

{\ displaystyle L = u (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [u {\ bigg (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ { jt} {\ bigg)} \ right] - \ lambda (c_ {t} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {jt} -a_ {t})}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este multiplicatorul Lagrange . Condițiile pentru prima comandă sunt:

{\frac {\partial L}{\partial c_{t}}}=u^{\prime }(c_{t})-\lambda =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial c_ {t}}} = u ^ {\ prime} (c_ {t}) - \ lambda = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial c_ {t}}} = u ^ {\ prime} (c_ {t}) - \ lambda = 0}

{\frac {\partial L}{\partial x_{it}}}=\delta E_{t}\left[u^{\prime }(c_{t+1})(1+r_{it})\right]-\lambda =0\quad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {it}}} = \ delta E_ {t} \ left [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}) (1 + r_ {it }) \ dreapta] - \ lambda = 0 \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {it}}} = \ delta E_ {t} \ left [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}) (1 + r_ {it }) \ dreapta] - \ lambda = 0 \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=c_{t}-\sum _{j=1}^{n}x_{jt}-a_{t}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda}} = c_ {t} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {jt} -a_ {t} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda}} = c_ {t} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {jt} -a_ {t} = 0}

unde este $u^{\prime }(c_{t})$ ${\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t})}$ ${\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t})}$ este derivatul lui $u(c_{t})$ ${\ displaystyle u (c_ {t})}$ ${\ displaystyle u (c_ {t})}$ .

Luând primele două ecuații obținem:

u^{\prime }(c_{t})=E_{t}\left[{\bigg (}{\frac {1+r_{it}}{1+\rho }}{\bigg )}u^{\prime }(c_{t+1})\right]\quad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = E_ {t} \ left [{\ bigg (} {\ frac {1 + r_ {it}} {1+ \ rho}} {\ bigg) } u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}) \ right] \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = E_ {t} \ left [{\ bigg (} {\ frac {1 + r_ {it}} {1+ \ rho}} {\ bigg) } u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}) \ right] \ quad i = 1, \ ldots, n}

Utilitatea marginală a unei unități de consum la perioada t trebuie să fie egală cu utilitatea marginală așteptată a unei unități salvate care dă o rentabilitate de $r_{it}$ ${\ displaystyle r_ {it}}$ ${\ displaystyle r_ {it}}$ e se consumă în perioada t + 1.

Numeroase perioade

Modelul devine, prin introducerea unui titlu fără riscuri $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și un venit exogen $y_{t}$ ${\ displaystyle y_ {t}}$ ${\ displaystyle y_ {t}}$ :

max\quad u(c_{t})+\sum _{j=1}^{\infty }\delta ^{j}E_{t}[u(c_{t+j})]

{\ displaystyle max \ quad u (c_ {t}) + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} E_ {t} [u (c_ {t + j})]}

{\ displaystyle max \ quad u (c_ {t}) + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} E_ {t} [u (c_ {t + j})]}

sub constrângere:

\sum _{j=1}^{n}x_{j,t+1}+F_{t+1}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}+(1+r_{ft})F_{t}+y_{t}-c_{t}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} + F_ {t + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt} ) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t} + y_ {t} -c_ {t}}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} + F_ {t + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt} ) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t} + y_ {t} -c_ {t}}

unde este $r_{ft}$ ${\ displaystyle r_ {ft}}$ ${\ displaystyle r_ {ft}}$ este rata dobânzii unui titlu fără risc. Folosind ecuația Bellman a programării dinamice ^[4] putem scrie:

V(A_{t})=\max _{x_{i,t+1},F_{t+1}}\left\{u(A_{t}+y_{t}-\sum _{j=1}^{n}x_{j,t+1}-F_{t+1})+\delta E_{t}\left[V(A_{t+1})\right]\right\}

{\ displaystyle V (A_ {t}) = \ max _ {x_ {i, t + 1}, F_ {t + 1}} \ left \ {u (A_ {t} + y_ {t} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} -F_ {t + 1}) + \ delta E_ {t} \ left [V (A_ {t + 1}) \ right] \ right \ }}

{\ displaystyle V (A_ {t}) = \ max _ {x_ {i, t + 1}, F_ {t + 1}} \ left \ {u (A_ {t} + y_ {t} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} -F_ {t + 1}) + \ delta E_ {t} \ left [V (A_ {t + 1}) \ right] \ right \ }}

unde variabila de stare este:

A_{t}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}+(1+r_{ft})F_{t}

{\ displaystyle A_ {t} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t}}

{\ displaystyle A_ {t} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t}}

Condițiile pentru prima comandă sunt:

{\frac {\partial V}{\partial x_{i,t+1}}}=-u^{\prime }(c_{t})+\delta E_{t}\left[V_{A}(A_{t+1}){\frac {\partial A_{t+1}}{\partial x_{i,t+1}}}\right]=0\quad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i, t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ { A} (A_ {t + 1}) {\ frac {\ partial A_ {t + 1}} {\ partial x_ {i, t + 1}}} \ right] = 0 \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i, t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ { A} (A_ {t + 1}) {\ frac {\ partial A_ {t + 1}} {\ partial x_ {i, t + 1}}} \ right] = 0 \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\frac {\partial V}{\partial F_{t+1}}}=-u^{\prime }(c_{t})+\delta E_{t}\left[V_{A}(A_{t+1}){\frac {\partial A_{t+1}}{\partial F_{t+1}}}\right]=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial F_ {t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ {A} (A_ {t + 1}) {\ frac {\ partial A_ {t + 1}} {\ partial F_ {t + 1}}} \ right] = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial F_ {t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ {A} (A_ {t + 1}) {\ frac {\ partial A_ {t + 1}} {\ partial F_ {t + 1}}} \ right] = 0}

unde este $V_{A}$ ${\ displaystyle V_ {A}}$ ${\ displaystyle V_ {A}}$ este derivatul cu privire la $A_{t+1}$ ${\ displaystyle A_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle A_ {t + 1}}$ .

Folosind teorema plicului , primele n condiții pot fi scrise după cum urmează:

V_{A}(A_{t})=u^{\prime }(c_{t})=>E_{t}[V_{A}(A_{t+1})]=E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]

{\ displaystyle V_ {A} (A_ {t}) = u ^ {\ prime} (c_ {t}) => E_ {t} [V_ {A} (A_ {t + 1})] = E_ {t } [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})]}

{\ displaystyle V_ {A} (A_ {t}) = u ^ {\ prime} (c_ {t}) => E_ {t} [V_ {A} (A_ {t + 1})] = E_ {t } [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})]}

Primesti:

u^{\prime }(c_{t})=\delta E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})(1+r_{i,t+1})]\quad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = \ delta E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}) (1 + r_ {i, t + 1})] \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = \ delta E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}) (1 + r_ {i, t + 1})] \ quad i = 1, \ ldots, n}

Pentru securitatea fără riscuri avem:

u^{\prime }(c_{t})=\delta (1+r_{f,t+1})E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = \ delta (1 + r_ {f, t + 1}) E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] }

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = \ delta (1 + r_ {f, t + 1}) E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] }

Covarianța a două variabile stochastice x, y este:

cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)

{\ displaystyle cov (x, y) = E (xy) -E (x) E (y)}

{\ displaystyle cov (x, y) = E (xy) -E (x) E (y)}

Pentru valorile mobiliare riscante puteți scrie:

u^{\prime }(c_{t})=\delta {\big \{}E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]E_{t}(1+r_{i,t+1})+cov_{t}[u^{\prime }(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]{\big \}}

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = \ delta {\ big \ {} E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) + cov_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}), (1 + r_ {i, t + 1})] {\ big \}} }

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (c_ {t}) = \ delta {\ big \ {} E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) + cov_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}), (1 + r_ {i, t + 1})] {\ big \}} }

Acest rezultat arată că alegerea consumatorului depinde de rentabilitatea așteptată și de covarianța cu utilitatea marginală a consumului.

Prin scăderea din rezultatul securității riscante a activului fără risc obținem:

$\delta {\big \{}E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]E_{t}(1+r_{i,t+1})+cov_{t}[u^{\prime }(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]{\big \}}-\delta (1+r_{f,t+1})E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]=0$ ${\ displaystyle \ delta {\ big \ {} E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) + cov_ { t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}), (1 + r_ {i, t + 1})] {\ big \}} - \ delta (1 + r_ {f, t + 1 }) E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] = 0}$ ${\ displaystyle \ delta {\ big \ {} E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) + cov_ { t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1}), (1 + r_ {i, t + 1})] {\ big \}} - \ delta (1 + r_ {f, t + 1 }) E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})] = 0}$

Prin urmare, putem scrie:

E_{t}(r_{i,t+1})-r_{f,t+1}=-{\frac {cov_{t}[u^{\prime }(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]}{E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]}}

{\ displaystyle E_ {t} (r_ {i, t + 1}) - r_ {f, t + 1} = - {\ frac {cov_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1} ), (1 + r_ {i, t + 1})]} {E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})]}}}

{\ displaystyle E_ {t} (r_ {i, t + 1}) - r_ {f, t + 1} = - {\ frac {cov_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1} ), (1 + r_ {i, t + 1})]} {E_ {t} [u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})]}}}

Randamentul suplimentar al unui activ riscant care are o corelație pozitivă cu consumul trebuie să fie ridicat ^[5] , deoarece nu oferă o bună protecție în caz de nevoie. De fapt, pentru a ușura consumul, este necesar să existe stocuri care au o corelație negativă cu cheltuielile consumatorilor.

Utilitate instantanee cu aversiune constantă la risc

Puteți scrie rezultatul stocului riscant după cum urmează:

1=E_{t}[{\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})(1+\rho )}}]E_{t}(1+r_{i,t+1})+cov_{t}[{\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})(1+\rho )}}\,,\,(1+r_{i,t+1})]

{\ displaystyle 1 = E_ {t} [{\ frac {u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})} {u ^ {\ prime} (c_ {t}) (1+ \ rho)}} ] E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) + cov_ {t} [{\ frac {u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})} {u ^ {\ prime} ( c_ {t}) (1+ \ rho)}} \ ,, \, (1 + r_ {i, t + 1})]}

{\ displaystyle 1 = E_ {t} [{\ frac {u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})} {u ^ {\ prime} (c_ {t}) (1+ \ rho)}} ] E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) + cov_ {t} [{\ frac {u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})} {u ^ {\ prime} ( c_ {t}) (1+ \ rho)}} \ ,, \, (1 + r_ {i, t + 1})]}

Este $S_{t+1}$ ${\ displaystyle S_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle S_ {t + 1}}$ factorul de reducere stocastică :

S_{t+1}={\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})(1+\rho )}}

{\ displaystyle S_ {t + 1} = {\ frac {u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})} {u ^ {\ prime} (c_ {t}) (1+ \ rho)}} }

{\ displaystyle S_ {t + 1} = {\ frac {u ^ {\ prime} (c_ {t + 1})} {u ^ {\ prime} (c_ {t}) (1+ \ rho)}} }

Apoi obținem:

1-cov_{t}[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]=E_{t}(S_{t+1})E_{t}(1+r_{i,t+1})

{\ displaystyle 1-cov_ {t} [S_ {t + 1}, (1 + r_ {i, t + 1})] = E_ {t} (S_ {t + 1}) E_ {t} (1+ r_ {i, t + 1})}

{\ displaystyle 1-cov_ {t} [S_ {t + 1}, (1 + r_ {i, t + 1})] = E_ {t} (S_ {t + 1}) E_ {t} (1+ r_ {i, t + 1})}

E_{t}(1+r_{i,t+1})=[E_{t}(S_{t+1})]^{-1}\{1-cov_{t}[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]\}

{\ displaystyle E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) = [E_ {t} (S_ {t + 1})] ^ {- 1} \ {1-cov_ {t} [S_ { t + 1}, (1 + r_ {i, t + 1})] \}}

{\ displaystyle E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) = [E_ {t} (S_ {t + 1})] ^ {- 1} \ {1-cov_ {t} [S_ { t + 1}, (1 + r_ {i, t + 1})] \}}

Dacă funcția de utilitate instantanee este :

u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}

{\ displaystyle u (c_ {t}) = {\ frac {c_ {t} ^ {1- \ sigma}} {1- \ sigma}}}

{\ displaystyle u (c_ {t}) = {\ frac {c_ {t} ^ {1- \ sigma}} {1- \ sigma}}}

unde este $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este coeficientul relativ de aversiune la risc (e $1/\sigma$ ${\ displaystyle 1 / \ sigma}$ ${\ displaystyle 1 / \ sigma}$ elasticitatea substituției intertemporale) se obține:

S_{t+1}={\frac {1}{(1+\rho )}}g_{t+1}^{-\sigma }

{\ displaystyle S_ {t + 1} = {\ frac {1} {(1+ \ rho)}} g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}}

{\ displaystyle S_ {t + 1} = {\ frac {1} {(1+ \ rho)}} g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}}

cu $g_{t+1}=c_{t+1}/c_{t}$ ${\ displaystyle g_ {t + 1} = c_ {t + 1} / c_ {t}}$ ${\ displaystyle g_ {t + 1} = c_ {t + 1} / c_ {t}}$ rata brută de creștere a consumului. Ecuația venitului așteptat devine apoi:

E_{t}(1+r_{i,t+1})=(1+\rho )[E_{t}(g_{t+1}^{-\sigma })]^{-1}\{1-cov_{t}[{\frac {1}{(1+\rho )}}g_{t+1}^{-\sigma },(1+r_{i,t+1})]\}

{\ displaystyle E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) = (1+ \ rho) [E_ {t} (g_ {t + 1} ^ {- \ sigma})] ^ {- 1 } \ {1-cov_ {t} [{\ frac {1} {(1+ \ rho)}} g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}, (1 + r_ {i, t + 1}) ] \}}

{\ displaystyle E_ {t} (1 + r_ {i, t + 1}) = (1+ \ rho) [E_ {t} (g_ {t + 1} ^ {- \ sigma})] ^ {- 1 } \ {1-cov_ {t} [{\ frac {1} {(1+ \ rho)}} g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}, (1 + r_ {i, t + 1}) ] \}}

Mankiw și Shapiro ^[6] folosesc următoarea aproximare a covarianței:

cov_{t}[{\frac {1}{(1+\rho )}}g_{t+1}^{-\sigma },(1+r_{i,t+1})]\approx {\frac {-\sigma }{(1+\rho )}}cov[g_{t+1},(1+r_{1,t+1})]

{\ displaystyle cov_ {t} [{\ frac {1} {(1+ \ rho)}} g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}, (1 + r_ {i, t + 1})] \ approx {\ frac {- \ sigma} {(1+ \ rho)}} cov [g_ {t + 1}, (1 + r_ {1, t + 1})]}

{\ displaystyle cov_ {t} [{\ frac {1} {(1+ \ rho)}} g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}, (1 + r_ {i, t + 1})] \ approx {\ frac {- \ sigma} {(1+ \ rho)}} cov [g_ {t + 1}, (1 + r_ {1, t + 1})]}

Următoarea ecuație, normalizată pentru a obține o valoare unitară pentru piața beta (randamentul acestui consum CAPM ( $\beta _{ci}$ ${\ displaystyle \ beta _ {ci}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {ci}}$ ) Și $r_{M,t+1}$ ${\ displaystyle r_ {M, t + 1}}$ ${\ displaystyle r_ {M, t + 1}}$ ) poate fi comparat cu cel al modelului CAPM :

r_{i}=a_{o}+a_{2}\beta _{ci}

{\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {2} \ beta _ {ci}}

{\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {2} \ beta _ {ci}}

cu:

$r_{i}=$ ${\ displaystyle r_ {i} =}$ ${\ displaystyle r_ {i} =}$ randamentul obligațiunilor fără risc i

$a_{o}=(1+\rho )[E_{t}(g_{t+1}^{-\sigma }]^{-1}-1$ ${\ displaystyle a_ {o} = (1+ \ rho) [E_ {t} (g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}] ^ {- 1} -1}$ ${\ displaystyle a_ {o} = (1+ \ rho) [E_ {t} (g_ {t + 1} ^ {- \ sigma}] ^ {- 1} -1}$

$a_{2}={\frac {\sigma cov[(1+r_{M,t+1}),g_{t+1}]}{(1+\rho )[E_{t}(g_{t+1})^{-\sigma }]}}$ ${\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {\ sigma cov [(1 + r_ {M, t + 1}), g_ {t + 1}]} {(1+ \ rho) [E_ {t} ( g_ {t + 1}) ^ {- \ sigma}]}}}$ ${\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {\ sigma cov [(1 + r_ {M, t + 1}), g_ {t + 1}]} {(1+ \ rho) [E_ {t} ( g_ {t + 1}) ^ {- \ sigma}]}}}$

$\beta _{ci}={\frac {cov[(1+r_{i,t+1}),g_{t+1}]}{cov[(1+r_{M,t+1},g_{t+1}]}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {ci} = {\ frac {cov [(1 + r_ {i, t + 1}), g_ {t + 1}]} {cov [(1 + r_ {M, t + 1 }, g_ {t + 1}]}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {ci} = {\ frac {cov [(1 + r_ {i, t + 1}), g_ {t + 1}]} {cov [(1 + r_ {M, t + 1 }, g_ {t + 1}]}}}$

La fel ca în modelul CAPM , randamentul activului riscant i depinde de riscul sistematic, dar acest lucru este dat de covarianța cu rata brută de creștere a consumului.

Verificarea empirică

Folosind date trimestriale de la 464 de firme între 1959 și 1982, Mankiw și Shapiro estimează următoarea ecuație:

r_{i}=a_{o}+a_{1}\beta _{Mi}+a_{2}\beta _{ci}

{\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {1} \ beta _ {Mi} + a_ {2} \ beta _ {ci}}

{\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {1} \ beta _ {Mi} + a_ {2} \ beta _ {ci}}

unde este $\beta _{Mi}$ ${\ displaystyle \ beta _ {Mi}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {Mi}}$ se numește coeficientul beta de consum.

Modelul CAPM ^[7] spune asta $a_{o}=r_{f}\,;\,a_{1}=E(r_{Mi})-r_{f}\,;\,a_{2}=0$ ${\ displaystyle a_ {o} = r_ {f} \ ,; \, a_ {1} = E (r_ {Mi}) - r_ {f} \ ,; \, a_ {2} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {o} = r_ {f} \ ,; \, a_ {1} = E (r_ {Mi}) - r_ {f} \ ,; \, a_ {2} = 0}$

în schimb, pentru modelul CCAPM pe care îl avem $a_{1}=0\,;\,a_{2}=E(r_{M})-r_{f}$ ${\ displaystyle a_ {1} = 0 \ ,; \, a_ {2} = E (r_ {M}) - r_ {f}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = 0 \ ,; \, a_ {2} = E (r_ {M}) - r_ {f}}$ .

Estimările obținute indică faptul că modelul CAPM oferă un rezultat mai bun decât modelul CCAPM.

Alți autori au obținut rezultate negative, în special Hansen și Singleton ^[8] .

Dimpotrivă, Lettau și Ludvigson ^[9] consideră că o versiune condiționată a modelului CCAPM care ia în considerare raportul consum / avere dă rezultate satisfăcătoare.

Notă

^ DT Breeden, "Un model intertemporal de stabilire a prețurilor activelor cu consum stocastic și oportunități de investiții", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
^ Factorul de reducere psihologică a utilităților viitoare.
^ Această utilitate aditivă poate fi înlocuită cu o formă mai generală (vezi YZ Bergman, „Modele de preferință a timpului și prețurile activelor de capital”, Journal of Financial Economics, 1985, p. 145-159)
^ KJ Arrow și M. Kurz, Investiții publice, rata rentabilității și politica fiscală optimă, Londra, 1970
^ Utilitatea marginală a consumului este o funcție descrescătoare.
^ NG Mankiw și MD Shapiro, „Risc și rentabilitate: beta de consum versus beta de piață”, Review of Economics and Statistics, 1986, p. 453
^ Ecuația riscantă a rentabilității stocului este: $r_{i}=a_{o}+a_{1}\beta _{Mi}$ ${\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {1} \ beta _ {Mi}}$ ${\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {1} \ beta _ {Mi}}$
^ LP Hansen și KJ Singleton, „Consum stochastic, aversiune la risc și comportamentul temporal al revenirilor activelor”, Journal of Political Economy, 1983, p. 249-265
^ M. Lettau și S. Ludvigson, „Resurrecting the (C) CAPM: A Cross-Sectionl Test When Risk Premia Are Time-Varying”, Journal of Political Economy, 2001, p. 1238-1287

Bibliografie

DT Breeden, „Un model intertemporal de stabilire a prețurilor activelor cu consum stocastic și oportunități de investiții”, Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
D. Breeden, MR Gibbons, RH Litzenberger, "Testele empirice ale CAPM orientate spre consum", Journal of Finance, 1989, p. 231-262
JH Cochrane, „Un test transversal al unui model de stabilire a prețurilor bazat pe investiții”, Journal of Political Economy, 1996, p. 572-621
D. Duffie și William Zame, „Modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital bazate pe consum”, Econometrica, 1989, p. 1279-1297
R. Lucas, „Prețurile activelor într-o economie de schimb”, Econometrica, 1978, p. 1429-1445
NG Mankiw și MD Shapiro, „Risc și rentabilitate: beta de consum versus beta de piață”, Review of Economics and Statistics, 1986, p. 452-459
R. Mehra și E. Prescott, „The equity premium: a puzzle”, Journal of Monetary Economics, 1985, p. 145-161
Comitetul Premiului pentru Științe Economice al Academiei Regale de Științe din Suedia, Înțelegerea prețurilor activelor, Stockholm, 2013 [1]

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4201772-5

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

[1] DT Breeden, "Un model intertemporal de stabilire a prețurilor activelor cu consum stocastic și oportunități de investiții", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296

[2] Factorul de reducere psihologică a utilităților viitoare.

[3] Această utilitate aditivă poate fi înlocuită cu o formă mai generală (vezi YZ Bergman, „Modele de preferință a timpului și prețurile activelor de capital”, Journal of Financial Economics, 1985, p. 145-159)

[4] KJ Arrow și M. Kurz, Investiții publice, rata rentabilității și politica fiscală optimă, Londra, 1970

[5] Utilitatea marginală a consumului este o funcție descrescătoare.

[6] NG Mankiw și MD Shapiro, „Risc și rentabilitate: beta de consum versus beta de piață”, Review of Economics and Statistics, 1986, p. 453

[7] Ecuația riscantă a rentabilității stocului este: $r_{i}=a_{o}+a_{1}\beta _{Mi}$ ${\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {1} \ beta _ {Mi}}$ ${\ displaystyle r_ {i} = a_ {o} + a_ {1} \ beta _ {Mi}}$

[8] LP Hansen și KJ Singleton, „Consum stochastic, aversiune la risc și comportamentul temporal al revenirilor activelor”, Journal of Political Economy, 1983, p. 249-265

[9] M. Lettau și S. Ludvigson, „Resurrecting the (C) CAPM: A Cross-Sectionl Test When Risk Premia Are Time-Varying”, Journal of Political Economy, 2001, p. 1238-1287

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]