Factor de reducere stochastic

Economia financiară
Economia financiară Pretul bunului Factor de reducere stochastic Portofoliul de frontieră , CAPM și APT Modelul Black-Scholes-Merton Finanțe corporative / finanțe corporative Structura Capitala
Economie și finanțe
Glosar economic Categorie: Economie

În economia financiară , conceptul de factor de reducere stocastică (voce engleză , factor de reducere stocastică, din care abrevierea SDF prin care este adesea menționat, chiar și în limba italiană ) stă la baza unei formulări a „teoriei prețului activelor , dezvoltat pornind de la o serie de lucrări ale lui Lars Hansen și ale altor autori. Factorul de reducere stocastic determină prețul oricărui activ financiar și rezumă concluziile teoremelor fundamentale ale stabilirii prețurilor activelor . Sub o serie de ipoteze, FDS poate fi justificat printr-un model general de echilibru economic .

Notând valoarea viitoare (în momentul de timp $t+1$ ${\ displaystyle t + 1}$ ${\ displaystyle t + 1}$ ) a unui titlu generic $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ prin $x_{it+1}$ ${\ displaystyle x_ {it + 1}}$ ${\ displaystyle x_ {it + 1}}$ , și prețul său actual prin $p_{it}$ ${\ displaystyle p_ {it}}$ ${\ displaystyle p_ {it}}$ , factorul de reducere stocastică este o variabilă aleatorie $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ astfel încât:

\ p_{it}={\mbox{E}}_{t}[m_{t+1}x_{it+1}]

{\ displaystyle \ p_ {it} = {\ mbox {E}} _ {t} [m_ {t + 1} x_ {it + 1}]}

{\ displaystyle \ p_ {it} = {\ mbox {E}} _ {t} [m_ {t + 1} x_ {it + 1}]}

pentru fiecare titlu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , unde este ${\mbox{E}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} _ {t}}$ indică valoarea așteptată condiționată de informațiile disponibile instantaneu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Popularitatea acestei formulări este legată de imediatitatea sa (în esență constă din expresia de mai sus), precum și de faptul că conectează domenii anterior îndepărtate ale teoriei clasice a prețului activelor într-un singur cadru analitic; în general, orice model care vizează determinarea prețului unui activ financiar poate fi văzut ca un model de SDF.

Într-o formulare continuă în timp, factorul de reducere stocastică este definit ca un proces stochastic pozitiv $\{\xi (t)\}$ ${\ displaystyle \ {\ xi (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ xi (t) \}}$ care satisface ecuația diferențială stocastică:

\ d\xi (t)=-\xi (t)r(t)dt-\xi (t)\lambda (t)^{\top }d\mathbf {w} (t)

{\ displaystyle \ d \ xi (t) = - \ xi (t) r (t) dt- \ xi (t) \ lambda (t) ^ {\ top} d \ mathbf {w} (t)}

{\ displaystyle \ d \ xi (t) = - \ xi (t) r (t) dt- \ xi (t) \ lambda (t) ^ {\ top} d \ mathbf {w} (t)}

unde este $\{r(t)\}$ ${\ displaystyle \ {r (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {r (t) \}}$ este procesul ratei dobânzii fără risc, $\{\mathbf {w} (t)\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {w} (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {w} (t) \}}$ este un vector de mișcare brownian standard și $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ este vectorul riscului de preț al pieței (în limba engleză price of risk), egal cu:

\Sigma ^{-1}(t)\left({\mathcal {S}}(t)-r(t)\mathbf {1} \right)

{\ displaystyle \ Sigma ^ {- 1} (t) \ left ({\ mathcal {S}} (t) -r (t) \ mathbf {1} \ right)}

{\ displaystyle \ Sigma ^ {- 1} (t) \ left ({\ mathcal {S}} (t) -r (t) \ mathbf {1} \ right)}

unde este $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ este matricea varianță-covarianță a randamentelor instantanee ale activelor financiare tranzacționate în economie, ${\mathcal {S}}(t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (t)}$ este vectorul prețurilor lor și $\mathbf {1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1}}$ ${\ mathbf {1}}$ denotă un vector conform care are fiecare element egal cu 1. Pentru orice eventualitate $\mathbf {w} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} (t)}$ ambele mărimea 1, $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ este un scalar, dat de:

\lambda (t)={\frac {\mu (t)-r(t)}{\sigma (t)}}

{\ displaystyle \ lambda (t) = {\ frac {\ mu (t) -r (t)} {\ sigma (t)}}}

{\ displaystyle \ lambda (t) = {\ frac {\ mu (t) -r (t)} {\ sigma (t)}}}

unde este $\mu (t)$ ${\ displaystyle \ mu (t)}$ ${\ displaystyle \ mu (t)}$ Și $\sigma (t)$ ${\ displaystyle \ sigma (t)}$ ${\ displaystyle \ sigma (t)}$ sunt rentabilitatea instantanee așteptată și volatilitatea instantanee a unei garanții și respectiv $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este rentabilitatea instantanee fără risc: este un raport Sharpe . In balanta, $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ va fi identic pentru toate valorile mobiliare tranzacționate pe piață (adică pentru orice alegere a perechii $\{\mu (t),\sigma (t)\}$ ${\ displaystyle \ {\ mu (t), \ sigma (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mu (t), \ sigma (t) \}}$ ). Starea prețului, într-un model continuu, este dată de:

{\mbox{E}}\left[d(\xi S)\right]=0

{\ displaystyle {\ mbox {E}} \ left [d (\ xi S) \ right] = 0}

{\ displaystyle {\ mbox {E}} \ left [d (\ xi S) \ right] = 0}

unde este $S(t)$ ${\ displaystyle S (t)}$ $S (t)$ denotă prețul unui activ financiar.

Modele intertemporale de consum

Ideea factorului de reducere stochastic își are originea în literatura macroeconomică privind tiparele de consum intertemporal. În astfel de modele, un consumator reprezentativ maximizează utilitatea așteptată din consumul actual $c_{t}$ ${\ displaystyle c_ {t}}$ ${\ displaystyle c_ {t}}$ și viitor $c_{t+1}$ ${\ displaystyle c_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle c_ {t + 1}}$ rezolvarea problemei:

\max _{\left\{\psi _{t}\right\}}u(c_{t})+\delta {\mbox{E}}_{t}[u(c_{t+1})]

{\ displaystyle \ max _ {\ left \ {\ psi _ {t} \ right \}} u (c_ {t}) + \ delta {\ mbox {E}} _ {t} [u (c_ {t + 1})]}

{\ displaystyle \ max _ {\ left \ {\ psi _ {t} \ right \}} u (c_ {t}) + \ delta {\ mbox {E}} _ {t} [u (c_ {t + 1})]}

{\mbox{s.t.}}\ c_{t}=\omega _{t}-p_{t}\psi _{t};\quad c_{t+1}=\omega _{t+1}+\psi _{t}x_{t+1}

{\ displaystyle {\ mbox {st}} \ c_ {t} = \ omega _ {t} -p_ {t} \ psi _ {t}; \ quad c_ {t + 1} = \ omega _ {t + 1 } + \ psi _ {t} x_ {t + 1}}

{\ displaystyle {\ mbox {st}} \ c_ {t} = \ omega _ {t} -p_ {t} \ psi _ {t}; \ quad c_ {t + 1} = \ omega _ {t + 1 } + \ psi _ {t} x_ {t + 1}}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ denotă un factor de reducere al utilității rezultat din consumul viitor (consumatorul reprezentativ acordă o importanță mai mare consumului actual decât consumului viitor); $\psi _{t}$ ${\ displaystyle \ psi _ {t}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {t}}$ denotă investiția în active financiare prin preț $p_{t}$ ${\ displaystyle p_ {t}}$ ${\ displaystyle p_ {t}}$ și valoarea viitoare $x_{t+1}$ ${\ displaystyle x_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle x_ {t + 1}}$ , Și $\omega _{t}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t}}$ , $\omega _{t+1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t + 1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t + 1}}$ ele reprezintă dotările inițiale ale consumatorului reprezentativ în cele două momente de timp, adică cât ar fi disponibil pentru consum în absența investiției. Se presupune că oportunitățile de consum viitoare sunt de natură aleatorie, de unde și operatorul de valoare așteptată ${\mbox{E}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} _ {t}}$ în expresia de mai sus. Semnificația constrângerilor problemei așteptate de maximizare a utilității este clarificată rapid: în absența oportunităților de investiții, consumatorul reprezentativ nu are nicio modalitate de a transfera bogăția în timp până în momentul respectiv. $t+1$ ${\ displaystyle t + 1}$ ${\ displaystyle t + 1}$ , deci consumul $c_{t}$ ${\ displaystyle c_ {t}}$ ${\ displaystyle c_ {t}}$ ar fi egal cu dotarea inițială $\omega _{t}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t}}$ . Posibilitatea de a investi prin achiziționarea activului financiar îi permite consumatorului să sacrifice consumul actual pentru a consuma ceva mai mult în viitor (mai exact, $\psi _{t}x_{t+1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {t} x_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {t} x_ {t + 1}}$ ) decât propriul echipament $\omega _{t+1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t + 1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {t + 1}}$ .

Înlocuirea constrângerilor din cadrul funcției obiective și derivarea cu privire la $\ \psi _{t}$ ${\ displaystyle \ \ psi _ {t}}$ ${\ displaystyle \ \ psi _ {t}}$ , condiția necesară pentru prima comandă este obținută pentru un maxim:

\ -u'(c_{t})p_{t}+\delta {\mbox{E}}_{t}\left[u'(c_{t+1})x_{t+1}\right]=0

{\ displaystyle \ -u '(c_ {t}) p_ {t} + \ delta {\ mbox {E}} _ {t} \ left [u' (c_ {t + 1}) x_ {t + 1} \ dreapta] = 0}

{\ displaystyle \ -u '(c_ {t}) p_ {t} + \ delta {\ mbox {E}} _ {t} \ left [u' (c_ {t + 1}) x_ {t + 1} \ dreapta] = 0}

Explicând $p_{t}$ ${\ displaystyle p_ {t}}$ ${\ displaystyle p_ {t}}$ primesti:

p_{t}={\mbox{E}}_{t}\left[\delta {\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}x_{t+1}\right]

{\ displaystyle p_ {t} = {\ mbox {E}} _ {t} \ left [\ delta {\ frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} x_ {t + 1} \ dreapta]}

{\ displaystyle p_ {t} = {\ mbox {E}} _ {t} \ left [\ delta {\ frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} x_ {t + 1} \ dreapta]}

Această ultimă relație se numește ecuația Euler a agentului reprezentativ . În acest moment, este imediat să observăm că definiția factorului de reducere stocastică este recuperată $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ pur și simplu impunând:

m_{t+1}=\delta {\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}

{\ displaystyle m_ {t + 1} = \ delta {\ frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}}}

{\ displaystyle m_ {t + 1} = \ delta {\ frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}}}

Astfel, factorul de reducere stocastică este egal cu rata marginală de substituție intertemporală. Intuiția din spatele acestui rezultat (care poate fi extins imediat la condiții mai generale decât cele ipotezate până acum) este simplă: prețul unui activ financiar nu este altceva decât o medie ponderată a valorii sale în diferitele posibile state viitoare ale lumii; în special, această medie atribuie o pondere mai mare statelor lumii în care consumul $\ c_{t+1}$ ${\ displaystyle \ c_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle \ c_ {t + 1}}$ au o valoare mai mare (utilitate marginală $\ u'(c_{t+1})$ ${\ displaystyle \ u '(c_ {t + 1})}$ ${\ displaystyle \ u '(c_ {t + 1})}$ superior).

Relațiile cu teoria clasică a prețului activelor

Vector de stabilire a prețurilor

În cea mai simplă formulare, un model clasic de stabilire a prețurilor statice a activelor (adică, care are în vedere un moment al timpului prezent , în care sunt luate decizii de investiții și un moment viitor , în care se realizează randamentele care decurg din investiție și în care pentru orice alt aspect dimensiunea temporală este absentă) considerați un set de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ active financiare, ale căror prețuri sunt colectate la un singur transportator $p\in \mathbb {R} ^{N}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {N}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {N}}$ . La un moment dat al timpului viitor, ele pot apărea $S<\infty$ ${\ displaystyle S <\ infty}$ ${\ displaystyle S <\ infty}$ stări ale lumii, fiecare dintre ele corespunzând unei valori a fiecărei garanții; este deci posibil să colectăm posibilele valori viitoare ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ stocurile de pe piață într-o matrice $X\in \mathbb {R} ^{N\times S}$ ${\ displaystyle X \ in \ mathbb {R} ^ {N \ times S}}$ ${\ displaystyle X \ in \ mathbb {R} ^ {N \ times S}}$ .

Prin urmare, definim un vector al prețurilor de stat (cu voce engleză , vector de preț de stat , SPV) $q\in \mathbb {R} ^{S}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {S}}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {S}}$ astfel încât:

\ p=Xq

{\ displaystyle \ p = Xq}

{\ displaystyle \ p = Xq}

Prețul unei acțiuni care valorează 1 în starea lumii $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și 0 în toate celelalte stări ale lumii este egal cu componenta $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ -thth din $\ q$ ${\ displaystyle \ q}$ $\ q$ ( $\ q_{s}$ ${\ displaystyle \ q_ {s}}$ ${\ displaystyle \ q_ {s}}$ ); acest titlu se numește securitate Arrow-Debreu , în onoarea economiștilor Kenneth Arrow și Gérard Debreu, care au propus mai întâi această formulare, într-un context de echilibru economic general. Intuitiv, $q_{s}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ este prețul unui fel de asigurare împotriva a ceea ce se poate întâmpla în stat $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ : dacă (și numai dacă) apare un astfel de statut, investitorului i se va plăti o sumă egală cu investiția sa în garanția Arrow-Debreu .

Ilustrație vectorială a prețurilor de stat în diagrama de stat

Adesea vectorul prețului de stat este ilustrat grafic folosind o diagramă de stare, cum ar fi cea prezentată în figură. Diagrama de stare reprezintă valorile fiecărei securități din diferitele stări ale lumii într-un sistem de referință cartezian în care coordonatele $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea corespunde valorii din starea lumii $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Presupunând că există doar două posibile state ale lumii viitoare (de exemplu, recesiunea și expansiunea economiei; statele lumii nu trebuie neapărat să fie toate descrierile posibile ale lumii la un moment dat în timpul viitor, ci pur și simplu descrierile a aspectelor relevante în lume), vectorul prețurilor de stat $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ va fi un vector de dimensiunea 2, perpendicular pe liniile caracterizate de un preț constant. Acest lucru rezultă din raport $p=Xq$ ${\ displaystyle p = Xq}$ ${\ displaystyle p = Xq}$ : luând în considerare întregul $p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ din perechile de valori viitoare ale valorilor mobiliare în cele două state ale lumii al căror preț este zero, corespunzător acestor valori mobiliare pe care le avem $Xq=0$ ${\ displaystyle Xq = 0}$ ${\ displaystyle Xq = 0}$ , astfel încât echivalența să fie verificată imediat; pentru orice titlu al cărui preț este diferit de zero, valorile corespunzătoare în cele două posibile state ale lumii viitoare sunt obținute ca o traducere adecvată a $p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ (de exemplu. $p_{1}$ ${\ displaystyle p_ {1}}$ $p_ {1}$ , $p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ $p_ {2}$ , $p_{3}$ ${\ displaystyle p_ {3}}$ $p_ {3}$ în figură), astfel încât perpendicularitatea față de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ se păstrează.

Prețurile de stat și factorul de reducere stocastică

Prin definirea probabilităților $\ \pi _{1},\ldots ,\pi _{S}$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {1}, \ ldots, \ pi _ {S}}$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {1}, \ ldots, \ pi _ {S}}$ că fiecare dintre $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ stările lumii apar, din definiția factorului de reducere stochastic $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ unul are pentru titlul generic $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ :

p_{i}=\sum _{s=1}^{S}\pi _{s}m_{s}X_{is}

{\ displaystyle p_ {i} = \ sum _ {s = 1} ^ {S} \ pi _ {s} m_ {s} X_ {is}}

{\ displaystyle p_ {i} = \ sum _ {s = 1} ^ {S} \ pi _ {s} m_ {s} X_ {is}}

unde este $X_{is}$ ${\ displaystyle X_ {este}}$ ${\ displaystyle X_ {este}}$ denotă elementul $the, s$ ${\ displaystyle i, s}$ ${\ displaystyle i, s}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Și $m_{s}$ ${\ displaystyle m_ {s}}$ ${\ displaystyle m_ {s}}$ denotă valoarea asumată de factorul de reducere stocastică în starea lumii $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Prin exploatarea în schimb a definiției vectorului prețului de stat $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ avem:

p_{i}=\sum _{s=1}^{S}q_{s}X_{is}

{\ displaystyle p_ {i} = \ sum _ {s = 1} ^ {S} q_ {s} X_ {is}}

{\ displaystyle p_ {i} = \ sum _ {s = 1} ^ {S} q_ {s} X_ {is}}

Expresia de mai sus are o interpretare foarte rezonabilă: prețul unui titlu dat este egal cu suma valorilor pe care le poate asuma în diferitele state viitoare ale lumii, înmulțit cu „costul” $q_{s}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ a fiecărui stat. Este o expresie a așa-numitei legi economice sau a regularității empirice, care se numește legea prețului unic . Prin urmare, relația următoare se menține între factorul de reducere stocastic și vectorul de preț de stat:

\ m_{s}={\frac {q_{s}}{\pi _{s}}}

{\ displaystyle \ m_ {s} = {\ frac {q_ {s}} {\ pi _ {s}}}}

{\ displaystyle \ m_ {s} = {\ frac {q_ {s}} {\ pi _ {s}}}}

adică:

q_{s}={m_{s}}{\pi _{s}}\quad s=1,\ldots ,S

{\ displaystyle q_ {s} = {m_ {s}} {\ pi _ {s}} \ quad s = 1, \ ldots, S}

{\ displaystyle q_ {s} = {m_ {s}} {\ pi _ {s}} \ quad s = 1, \ ldots, S}

ori de câte ori penultima expresie are sens (adică pentru $\pi _{s}\neq 0$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} \ neq 0}$ ).

Amintind că factorul de reducere stocastică este egal cu rata marginală de substituție intertemporală și, prin urmare, este proporțional cu utilitatea marginală $\ u'(c_{t+1})$ ${\ displaystyle \ u '(c_ {t + 1})}$ ${\ displaystyle \ u '(c_ {t + 1})}$ în diferitele state ale lumii, semnificația prețurilor de stat este clarificată. Factorul de reducere stocastică va avea o valoare mai mare în statele lumii în care utilitatea marginală este mai mare: acelea, adică în care consumul este departe de a fi optim - de exemplu, într-o recesiune. Relația de mai sus implică faptul că și prețurile de stat corespunzătoare vor fi ridicate (din moment ce $\pi _{s}\geq 0$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} \ geq 0}$ ): va exista, de fapt, o cerere puternică de „asigurare” împotriva acestor state ale lumii, ceea ce va crește prețul „asigurării” reprezentate de titlurile Arrow-Debreu .

Arbitrajul și teorema fundamentală a prețului activelor

În această formulare, un portofoliu nu este altceva decât un operator de transport $w\in \mathbb {R} ^{N}$ ${\ displaystyle w \ in \ mathbb {R} ^ {N}}$ ${\ displaystyle w \ in \ mathbb {R} ^ {N}}$ ale căror componente reprezintă investiția în fiecare securitate a economiei (nu este exclus, în general, ca această investiție să poată fi negativă, caz în care investitorul vinde scurtul de valoare corespunzător). Prețul unui portofel dat este: $\ w'p=\sum _{i}w_{i}p_{i}$ ${\ displaystyle \ w'p = \ sum _ {i} w_ {i} p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ w'p = \ sum _ {i} w_ {i} p_ {i}}$ ; în mod similar, valoarea portofoliului în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ stările lumii sunt descrise de un vector $w'X\in \mathbb {R} ^{S}$ ${\ displaystyle w'X \ in \ mathbb {R} ^ {S}}$ ${\ displaystyle w'X \ in \ mathbb {R} ^ {S}}$ . Acestea sunt apoi definite:

Arbitraj de primul fel: un portofoliu $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ astfel încât: $\ w_{1}'p\leq 0\ \wedge \ w_{1}'X>0$ ${\ displaystyle \ w_ {1} 'p \ leq 0 \ \ wedge \ w_ {1}' X> 0}$ ${\ displaystyle \ w_ {1} 'p \ leq 0 \ \ wedge \ w_ {1}' X> 0}$ (ultima condiție este verificată componentă cu componentă);
Arbitrajul celui de-al doilea tip: un portofoliu $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ astfel încât: $\ w_{2}'p<0\ \wedge \ w_{2}'X\geq 0$ ${\ displaystyle \ w_ {2} 'p <0 \ \ wedge \ w_ {2}' X \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ w_ {2} 'p <0 \ \ wedge \ w_ {2}' X \ geq 0}$ (ultima condiție este verificată componentă cu componentă).

În primul caz, portofelul nu costă nimic (sau chiar se oferă investitorului bani pentru a-l accepta) și garantează o valoare pozitivă în fiecare țară a lumii; în al doilea caz, banii sunt oferiți investitorului pentru a accepta portofoliul, iar portofoliul în sine are o valoare pozitivă sau cel mult zero, în fiecare țară a lumii. Deoarece nimic nu este creat din nimic, este rezonabil să ne așteptăm ca eventualitățile descrise prin arbitraj de primul și al doilea tip să nu apară în realitatea pieței. Acest lucru duce la un rezultat cunoscut ca (prima) teoremă fundamentală a prețului activelor , care afirmă că:

Nu există oportunități de arbitraj dacă și numai dacă vectorul prețului de stat are toate componentele strict pozitive (adică, dacă și numai dacă factorul de reducere stocastică este strict pozitiv în fiecare stat al lumii).

Teorema fundamentală a stabilirii prețurilor activelor este uneori utilizată pentru a determina intervalul de preț pentru un anumit activ financiar care nu admite posibilitatea arbitrajului (limitele inferioare și superioare ale acestui interval se numesc, limbajul său englezesc , limite de arbitraj). Acest interval este definit, datorită teoremei fundamentale, ca interval care asigură faptul că factorul de reducere stocastică este strict pozitiv. Paritatea call-put în teoria opțiunilor este o aplicație a acestei metode.

Măsură de probabilitate neutră din punct de vedere al riscului și prețuri neutre din punct de vedere al riscului

Același subiect în detaliu: măsură de probabilitate neutră a riscului .

O securitate fără riscuri are aceeași valoare în fiecare stat al lumii; fără a afecta generalitatea, asumați o securitate fără riscuri cu o valoare de 1 în fiecare țară a lumii. Prețul acestei garanții va fi, pe baza expresiilor prezentate mai sus:

\ \sum _{s}q_{s}=\sum _{s}\pi _{s}m_{s}={\mbox{E}}[m]

{\ displaystyle \ \ sum _ {s} q_ {s} = \ sum _ {s} \ pi _ {s} m_ {s} = {\ mbox {E}} [m]}

{\ displaystyle \ \ sum _ {s} q_ {s} = \ sum _ {s} \ pi _ {s} m_ {s} = {\ mbox {E}} [m]}

Brută returnarea garanției fără risc va fi , de asemenea , non-riscante, și va fi dată de:

R_{f}={\frac {1}{\sum _{s}q_{s}}}={\frac {1}{{\mbox{E}}[m]}}

{\ displaystyle R_ {f} = {\ frac {1} {\ sum _ {s} q_ {s}}} = {\ frac {1} {{\ mbox {E}} [m]}}}

{\ displaystyle R_ {f} = {\ frac {1} {\ sum _ {s} q_ {s}}} = {\ frac {1} {{\ mbox {E}} [m]}}}

unde notația $R_{f}$ ${\ displaystyle R_ {f}}$ $R_ {f}$ derivă din termenul englezesc rata fără risc (literalmente, rata fără risc ).

Acum este posibil să se definească o serie de constante $\{\pi _{s}^{*}\}_{s=1}^{S}$ ${\ displaystyle \ {\ pi _ {s} ^ {*} \} _ {s = 1} ^ {S}}$ ${\ displaystyle \ {\ pi _ {s} ^ {*} \} _ {s = 1} ^ {S}}$ , unde este:

\pi _{s}^{*}={\frac {m_{s}\pi _{s}}{{\mbox{E}}[m]}}={\frac {q_{s}}{\sum _{s}q_{s}}}

{\ displaystyle \ pi _ {s} ^ {*} = {\ frac {m_ {s} \ pi _ {s}} {{\ mbox {E}} [m]}} = {\ frac {q_ {s }} {\ sum _ {s} q_ {s}}}}

{\ displaystyle \ pi _ {s} ^ {*} = {\ frac {m_ {s} \ pi _ {s}} {{\ mbox {E}} [m]}} = {\ frac {q_ {s }} {\ sum _ {s} q_ {s}}}}

De sine $m_{s}>0$ ${\ displaystyle m_ {s}> 0}$ ${\ displaystyle m_ {s}> 0}$ pentru fiecare $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , $\pi _{s}^{*}$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} ^ {*}}$ sunt o serie de constante pozitive a căror sumă este 1, adică o măsură de probabilitate , numită măsură de probabilitate neutră a riscului . Atâta timp cât $\ \pi _{s}^{*}=0$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {s} ^ {*} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {s} ^ {*} = 0}$ oricând $\ \pi _{s}=0$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {s} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {s} = 0}$ , măsura de probabilitate neutră a riscului este, de asemenea, echivalentă cu măsura de probabilitate inițială; echivalența dintre cele două măsuri de probabilitate este o cerință rezonabilă: în acest fel se evită ca evenimente imposibile (adică să aibă probabilitate zero) sub o măsură sunt posibile sub cealaltă.

Din punct de vedere euristic, probabilitățile de risc neutru reprezintă punctele de vedere (exprimate în termeni de probabilități) ale pieței cu privire la faptul dacă statele lumii sunt indexate prin $\ s=1,\ldots ,S$ ${\ displaystyle \ s = 1, \ ldots, S}$ ${\ displaystyle \ s = 1, \ ldots, S}$ . Pentru a face această interpretare mai concretă, luați în considerare contextul pariurilor la cursele de cai; casa de pariuri va varia cotele asociate fiecărui cal în funcție de probabilitatea ca acesta să câștige sau nu, stabilind astfel o relație între probabilitatea stării lumii „calul XXX câștigă cursa” și prețul unui pariu pe calul respectiv ; tocmai acesta este rolul jucat de prețurile statului $\left\{q_{s}\right\}_{s=1}^{S}$ ${\ displaystyle \ left \ {q_ {s} \ right \} _ {s = 1} ^ {S}}$ ${\ displaystyle \ left \ {q_ {s} \ right \} _ {s = 1} ^ {S}}$ , și deci din $\left\{m_{s}\right\}_{s=1}^{S}$ ${\ displaystyle \ left \ {m_ {s} \ right \} _ {s = 1} ^ {S}}$ ${\ displaystyle \ left \ {m_ {s} \ right \} _ {s = 1} ^ {S}}$ Și $\left\{\pi _{s}^{*}\right\}_{s=1}^{S}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ pi _ {s} ^ {*} \ right \} _ {s = 1} ^ {S}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ pi _ {s} ^ {*} \ right \} _ {s = 1} ^ {S}}$ , în formularea prezentată mai sus.

Motivul denumirii măsurii de probabilitate neutru la risc este că, în cazul în care funcția de utilitate a consumatorului reprezentativ este liniară și, prin urmare, consumatorul este neutru la risc , utilitatea marginală este redusă la o constantă, iar măsura de probabilitate definită de $\pi _{s}^{*}$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {s} ^ {*}}$ coincide cu data inițială din $\ \pi _{s}$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {s}}$ ${\ displaystyle \ \ pi _ {s}}$ . De asemenea, apare, pentru fiecare titlu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ :

p_{i}={\frac {1}{R_{f}}}\sum _{s}\pi _{s}^{*}X_{is}={\frac {1}{R_{f}}}{\mbox{E}}^{*}[X_{i}]

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {R_ {f}}} \ sum _ {s} \ pi _ {s} ^ {*} X_ {is} = {\ frac {1} {R_ {f}}} {\ mbox {E}} ^ {*} [X_ {i}]}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {R_ {f}}} \ sum _ {s} \ pi _ {s} ^ {*} X_ {is} = {\ frac {1} {R_ {f}}} {\ mbox {E}} ^ {*} [X_ {i}]}

unde este ${\mbox{E}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} ^ {*}}$ denotă valoarea așteptată pe baza măsurii probabilității neutre a riscului. Prin urmare, prețul unui titlu este egal cu valoarea actualizată a valorii sale viitoare preconizate, pe baza unei anumite măsuri de probabilitate. Acest rezultat stă la baza unei serii de metode de stabilire a prețurilor activelor financiare, colectate sub denumirea de metode de stabilire a prețurilor neutre din punct de vedere al riscului (metode de stabilire a prețurilor bazate pe măsura neutrală a riscurilor). Un exemplu este dat (în contextul mai general al unui model în timp continuu) de celebra formulă Black și Scholes pentru evaluarea opțiunilor europene. Pe baza expresiei de mai sus, este imediat să observăm că factorul de reducere stocastică nu este altceva decât un derivat Radon-Nikodym care permite trecerea de la măsura de probabilitate neutră la risc la cea inițială sau măsură fizică .

SDF și frontiera portofoliilor

Același subiect în detaliu: Frontieră portofel .

Conceptul de factor de reducere stocastic permite reformularea teoriei frontierei portofoliului în conformitate cu o abordare geometrică mult mai simplă, din punct de vedere algebric, decât abordarea tradițională lagrangiană bazată pe preferințele de varianță medie.

SDF, Modelul de stabilire a prețului activelor de capital și APT

Același subiect în detaliu: modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital și teoria prețurilor de arbitraj .

Cadrul teoretic oferit de factorul de reducere stocastică ne permite, de asemenea, să considerăm modelele binecunoscute de rentabilitate așteptată ale CAPM și APT ca fiind cazuri speciale. În special, este posibil să se arate că orice model pentru factorul de reducere stocastică sub forma:

\ m=a+bR_{m}

{\ displaystyle \ m = a + bR_ {m}}

{\ displaystyle \ m = a + bR_ {m}}

unde este $\ R_{m}$ ${\ displaystyle \ R_ {m}}$ ${\ displaystyle \ R_ {m}}$ este rentabilitatea brută a portofoliului pieței, implică modelul de stabilire a prețului activelor de capital . APT poate fi obținut și prin formularea unui model extins, în care SDF este o funcție liniară a unei serii de factori:

\ m=a+\mathbf {b} '\mathbf {f}

{\ displaystyle \ m = a + \ mathbf {b} '\ mathbf {f}}

{\ displaystyle \ m = a + \ mathbf {b} '\ mathbf {f}}

unde este $\mathbf {f} =[f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}]$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = [f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {k}]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = [f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {k}]}$ colectează factorii într-o scriere vectorială, e $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ denotă vectorul constantelor corespunzător fiecărui factor.

SDF, teste empirice și teorie economică

Generalitatea extremă a formulării teoriei prețului activelor bazată pe factorul de reducere stocastică a dus la modificări semnificative în modul de desfășurare a unui test empiric într-un context de stabilire a prețurilor activelor . Dacă în lucrările empirice mai vechi a fost specificat un anumit model de preț / rentabilitate așteptat, cum ar fi CAPM sau APT , care a fost testat direct pe date, cele mai recente lucrări empirice se concentrează pe proprietăți generale care trebuie satisfăcute de orice factor de reducere stocastic. Un exemplu este dat de binecunoscutele limite Hansen-Jagannathan (în engleză , Hansen-Jagannathan bound ), pe care orice SDF trebuie să le îndeplinească pentru a determina corect prețul unui activ financiar (vezi mai jos).

Relația care definește factorul de reducere stocastică:

\ p_{it}={\mbox{E}}_{t}\left[m_{t+1}x_{it+1}\right]

{\ displaystyle \ p_ {it} = {\ mbox {E}} _ {t} \ left [m_ {t + 1} x_ {it + 1} \ right]}

{\ displaystyle \ p_ {it} = {\ mbox {E}} _ {t} \ left [m_ {t + 1} x_ {it + 1} \ right]}

poate fi rescris imediat ca:

\ {\mbox{E}}_{t}\left[p_{it}-m_{t+1}x_{it+1}\right]=0

{\ displaystyle \ {\ mbox {E}} _ {t} \ left [p_ {it} -m_ {t + 1} x_ {it + 1} \ right] = 0}

{\ displaystyle \ {\ mbox {E}} _ {t} \ left [p_ {it} -m_ {t + 1} x_ {it + 1} \ right] = 0}

Expresia de mai sus nu este altceva decât o condiție exprimată în termenii momentului de prim ordin al unei variabile aleatorii . Intuitiv, acest lucru sugerează posibilitatea utilizării metodei momentelor pentru a efectua un test empiric al unui model de factor de reducere stocastic. În practică, se folosește metoda generalizată mai flexibilă a momentelor ; Prin urmare, nu este surprinzător să observăm că această din urmă metodologie, precum și ideea factorului de reducere stocastică, a fost inițial dezvoltată de Lars Peter Hansen .

Cu toate acestea, munca teoretică de stabilire a prețurilor activelor nu se termină aici; dacă dintr-o parte prin conceptul SDF multe dintre ideile care au apărut în evoluțiile teoretice anterioare sunt unificate, este de asemenea adevărat că cercetătorul are sarcina de a relaționa factorul de reducere stocastică cu variabilele economice observabile, astfel încât modelul este de unele utilitate practică amabilă și nu doar o curiozitate teoretică.

Puzzle cu limită Hansen-Jagannathan și capital premium

Același subiect în detaliu: puzzle premium Equity .

Într-o lucrare bine cunoscută, Hansen și Jagannathan (1991) obțin o limită inferioară a relației dintre medie și varianța oricărui factor de reducere stocastic; această limită stă la baza oricărui test al unui model de preț / returnare așteptat. Limita poate fi derivată după cum urmează (aceasta este o derivare euristică care o urmează pe cea prezentată de Cochrane (2001); a se vedea lucrarea originală a lui Hansen și Jagannathan pentru o dovadă formală). Luați în considerare relația fundamentală:

\ 1={\mbox{E}}[mR]={\mbox{cov}}(m,r)+{\mbox{E}}(m){\mbox{E}}(R)=\sigma (m)\sigma (R){\mbox{corr}}(m,R)+{\mbox{E}}(m){\mbox{E}}(R)

{\ displaystyle \ 1 = {\ mbox {E}} [mR] = {\ mbox {cov}} (m, r) + {\ mbox {E}} (m) {\ mbox {E}} (R) = \ sigma (m) \ sigma (R) {\ mbox {corr}} (m, R) + {\ mbox {E}} (m) {\ mbox {E}} (R)}

{\ displaystyle \ 1 = {\ mbox {E}} [mR] = {\ mbox {cov}} (m, r) + {\ mbox {E}} (m) {\ mbox {E}} (R) = \ sigma (m) \ sigma (R) {\ mbox {corr}} (m, R) + {\ mbox {E}} (m) {\ mbox {E}} (R)}

Atâta timp cât $|{\mbox{corr}}(m,R)|\leq 1$ ${\ displaystyle | {\ mbox {corr}} (m, R) | \ leq 1}$ ${\ displaystyle | {\ mbox {corr}} (m, R) | \ leq 1}$ , este posibil să se stabilească o limită pe baza cazului în care ${\mbox{corr}}(m,r)=-1$ ${\ displaystyle {\ mbox {corr}} (m, r) = - 1}$ ${\ displaystyle {\ mbox {corr}} (m, r) = - 1}$ ; atunci rezultă:

\sigma (m)\sigma (R)\geq {\frac {|{\mbox{E}}(R)-R_{f}|}{R_{f}}}

{\ displaystyle \ sigma (m) \ sigma (R) \ geq {\ frac {| {\ mbox {E}} (R) -R_ {f} |} {R_ {f}}}}

{\ displaystyle \ sigma (m) \ sigma (R) \ geq {\ frac {| {\ mbox {E}} (R) -R_ {f} |} {R_ {f}}}}

fiind cunoscut faptul că ${\mbox{E}}(m)=R_{f}^{-1}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} (m) = R_ {f} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {E}} (m) = R_ {f} ^ {- 1}}$ ; sau:

\sigma ^{2}(m)\geq \left[{\frac {{\mbox{E}}(R)-R_{f}}{\sigma (R)}}\right]\left({\mbox{E}}[m]\right)^{2}={\mbox{SR}}^{2}\left({\mbox{E}}[m]\right)^{2}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} (m) \ geq \ left [{\ frac {{\ mbox {E}} (R) -R_ {f}} {\ sigma (R)}} \ right] \ left ({\ mbox {E}} [m] \ right) ^ {2} = {\ mbox {SR}} ^ {2} \ left ({\ mbox {E}} [m] \ right) ^ {2} }

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} (m) \ geq \ left [{\ frac {{\ mbox {E}} (R) -R_ {f}} {\ sigma (R)}} \ right] \ left ({\ mbox {E}} [m] \ right) ^ {2} = {\ mbox {SR}} ^ {2} \ left ({\ mbox {E}} [m] \ right) ^ {2} }

unde este ${\mbox{SR}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {SR}}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {SR}}}$ denotă raportul Sharpe al titlului sau portofoliului de titluri în cauză.

Într-un model standard de consum intertemporal cu utilitate CRRA :

u(c_{t})={\frac {c_{t}^{\gamma }}{\gamma }}

{\ displaystyle u (c_ {t}) = {\ frac {c_ {t} ^ {\ gamma}} {\ gamma}}}

{\ displaystyle u (c_ {t}) = {\ frac {c_ {t} ^ {\ gamma}} {\ gamma}}}

factorul de reducere stocastică, egal cu rata marginală de substituție intertemporală, este proporțional cu rata de creștere a consumului. Il limite di Hansen-Jagannathan stabilisce dunque una relazione tra il tasso medio di crescita dei consumi e la sua varianza. Dal punto di vista empirico, ciò conduce al problema noto come equity premium puzzle : poiché la varianza del tasso di crescita dei consumi è normalmente modesta, il limite risulta violato.

Estensioni

Il quadro qui presentato è limitato a modelli in tempo discreto (in effetti, in due soli istanti di tempo), in cui l'incertezza sul futuro è limitata alla possibilità che si verifichi uno tra un numero finito di stati del mondo. Praticamente ogni aspetto di questa formulazione è stato generalizzato. Una teoria basata sul fattore di sconto stocastico può essere derivata in tempo continuo, con la possibilità che si verifichi un numero infinito di stati; il riferimento standard al riguardo è il noto lavoro di Hansen e Richards (1987).

Bibliografia

Campbell, JY (2000) Asset Pricing at the Millennium, Journal of Finance , 55 (4), 1515-1567, un articolo di rassegna della letteratura sull' asset pricing che illustra la metodologia del fattore di sconto stocastico.
Cochrane, J. (2003) Asset Pricing: Revised Edition , Princeton University Press ISBN 0-691-12137-0 Un testo di livello universitario avanzato, che ha reso popolare la metodologia del fattore di sconto stocastico. Si tratta di uno standard nei corsi di introduzione alla finanza matematica; presente inoltre nel dettaglio le applicazioni empiriche della teoria del fattore di sconto stocastico, sia dal punto di vista della metodologia, sia conducendo una rassegna della letteratura empirica.
Hansen, L. , Richards, SF (1987) The Role of Conditioning Information in Deducing Testable Restrictions Implied by Dynamic Asset Pricing Models, Econometrica , 55 (4), 587-614.
Hansen, L., Jagannathan, R. (1991) Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies, Journal of Political Economy , 99 , 225-262.

Voci correlate