Formula Black și Scholes

Formula Black și Scholes este expresia pentru prețul non- arbitraj al unei opțiuni de apel în stil european ( put ), obținută pe baza modelului Black-Merton-Scholes .

Formule negre și Scholes

Prețul unei opțiuni de achiziție europeană, cu expirare $\ T$ ${\ displaystyle \ T}$ $\ T$ , evaluat în $\ t$ ${\ displaystyle \ t}$ $\ t$ , este dat de:

$\ C(S,t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$ ${\ displaystyle \ C (S, t) = S_ {t} N (d_ {1}) - Ke ^ {- r (Tt)} N (d_ {2})}$ $\ C (S, t) = S _ {{t}} N (d _ {{1}}) - Ke ^ {{- r (T-t)}} N (d _ {{2}})$

Pentru o opțiune de vânzare europeană, expresia corespunzătoare este:

$\ P(S,t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$ ${\ displaystyle \ P (S, t) = Ke ^ {- r (Tt)} N (-d_ {2}) - S_ {t} N (-d_ {1})}$ $\ P (S, t) = Ke ^ {{- r (T-t)}} N (-d _ {{2}}) - S _ {{t}} N (-d _ {{1}})$

unde este:

$\ S_{t}$ ${\ displaystyle \ S_ {t}}$ $\ S _ {{t}}$ este prețul titlului de bază ;
$\ K$ ${\ displaystyle \ K}$ $\ K$ este prețul de grevă al opțiunii;
$\ r$ ${\ displaystyle \ r}$ $\ r$ este rata dobânzii fără risc , exprimată anual;
$\ N(\cdot )$ ${\ displaystyle \ N (\ cdot)}$ $\ N (\ cdot)$ denotă funcția de distribuție a uneivariabile aleatoare normale ;

Și:

\ d_{1}={\frac {\ln {\frac {S_{t}}{K}}+\left(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}};\quad d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}

{\ displaystyle \ d_ {1} = {\ frac {\ ln {\ frac {S_ {t}} {K}} + \ left (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) (Tt)} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}}; \ quad d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {Tt}}}

\ d _ {{1}} = {\ frac {\ ln {\ frac {S _ {{t}}} {K}} + \ left (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {{2}} \ right) (Tt)} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}}; \ quad d _ {{2}} = d _ {{1}} - \ sigma {\ sqrt {Tt }}

$\ \sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ \ sigma ^ {2}}$ $\ \ sigma ^ {{2}}$ este varianța procentuală instantanee a logaritmului prețului titlului de bază , exprimată, de asemenea, anual.

Derivarea formulelor: prețuri neutre din punct de vedere al riscului

În practică, de asemenea, academică, formula Feynman-Kac justifică utilizarea principiului prețurilor neutru în raport cu riscul , care permite rezolvarea ecuației Black și Scholes și, prin urmare, obținerea formulelor, pur și simplu prin calcularea unei valori așteptate ; este ilustrată procedura de mai jos, cu referire la problema determinării prețului unei opțiuni put (procedura este destul de similară în cazul, mai des discutat, al unei opțiuni call ).

Din punct de vedere euristic, se poate argumenta că această abordare echivalează cu presupunerea că participanții la piață sunt neutri în ceea ce privește riscul . Din punct de vedere matematic, prețurile neutre din punct de vedere al riscului sunt pe deplin justificate de formula Feynman-Kac , care stabilește o legătură importantă între teoria ecuațiilor diferențiale parțiale și cea a proceselor stochastice .

Punctul de plecare al acestei abordări este ipoteza că, în conformitate cu o anumită măsură de probabilitate , numită risc neutru și , în general , diferit de cel fizic, de așteptat revenirea a activului suport este egal cu non-riscantă rata dobânzii. $\ r$ ${\ displaystyle \ r}$ $\ r$ ; bazat pe modelul Black și Scholes de mișcare browniană geometrică , prețul activului suport va satisface ecuația diferențială stocastică (SDE):

\ dS=rSdt+\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle \ dS = rSdt + \ sigma SdW_ {t}}

\ dS = rSdt + \ sigma SdW _ {{t}}

Este clar că în realitatea fizică deriva așteptată a diferențialului de $\ \ln S$ ${\ displaystyle \ \ ln S}$ $\ \ ln S$ nu este neapărat egal cu $\ rdt$ ${\ displaystyle \ rdt}$ $\ rdt$ ; Cu toate acestea, prin teorema lui Girsanov , suntem capabili să trecem dintr-o derivă generică $\ \mu dt$ ${\ displaystyle \ \ mu dt}$ $\ \ mu dt$ la cea dorită, exploatând conceptul de măsură de probabilitate echivalentă ; în acest fel, ipoteza de mai sus este perfect legitimă. Amintiți-vă ecuația Black și Scholes, unde $\ P$ ${\ displaystyle \ P}$ $\ P$ indică prețul opțiunii put , care urmează să fie determinat:

\ rS{\frac {\partial P}{\partial S}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial S^{2}}}-rP=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial P} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial P} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ partial S ^ {2}}} - rP = 0}

\ rS {\ frac {\ partial P} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial P} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {{2}} S ^ {{2}} {\ frac {\ partial ^ {{2}} P} {\ partial S ^ {{2}}}} - rP = 0

cu condiție de graniță:

\ P(S_{T},T)=\max(K-S_{T},0)=(K-S_{T})\mathbf {1} _{S_{T}<K}

{\ displaystyle \ P (S_ {T}, T) = \ max (K-S_ {T}, 0) = (K-S_ {T}) \ mathbf {1} _ {S_ {T} <K}}

\ P (S _ {{T}}, T) = \ max (K-S _ {{T}}, 0) = (K-S _ {{T}}) {\ mathbf {1}} _ {{S_ {{ T}} <K}}

unde este $\ \mathbf {1}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {1}}$ $\ {\ mathbf {1}}$ este funcția indicator . Formula Feynman-Kac afirmă că, în aceste ipoteze și în unele condiții de regularitate nedureroase, soluția ecuației este dată de:

\ P(S,t)=e^{-r(T-t)}{\textrm {E}}[(K-S_{T})\mathbf {1} _{S_{T}<K}]

{\ displaystyle \ P (S, t) = e ^ {- r (Tt)} {\ textrm {E}} [(K-S_ {T}) \ mathbf {1} _ {S_ {T} <K} ]}

\ P (S, t) = e ^ {{- r (Tt)}} {\ textrm {E}} [(K-S _ {{T}}) {\ mathbf {1}} _ {{S _ {{ T}} <K}}]

adică din valoarea scontată așteptată a plății viitoare (acest rezultat este în concordanță cu teorema fundamentală a prețului activelor ). Dezvoltând expresia de mai sus, avem:

\ P(S,t)=Ke^{-r(T-t)}{\textrm {E}}[\mathbf {1} _{S_{T}<K}]-e^{-r(T-t)}{\textrm {E}}[S_{T}\mathbf {1} _{S_{T}<K}]=

{\ displaystyle \ P (S, t) = Ke ^ {- r (Tt)} {\ textrm {E}} [\ mathbf {1} _ {S_ {T} <K}] - e ^ {- r ( Tt)} {\ textrm {E}} [S_ {T} \ mathbf {1} _ {S_ {T} <K}] =}

\ P (S, t) = Ke ^ {{- r (Tt)}} {\ textrm {E}} [{\ mathbf {1}} _ {{S _ {{T}} <K}}] - și ^ {{- r (Tt)}} {\ textrm {E}} [S _ {{T}} {\ mathbf {1}} _ {{S _ {{T}} <K}}] =

\ =Ke^{-r(T-t)}\Pr(S_{T}<K)-e^{-r(T-t)}{\textrm {E}}[S_{T}\mathbf {1} _{S_{T}<K}]

{\ displaystyle \ = Ke ^ {- r (Tt)} \ Pr (S_ {T} <K) -e ^ {- r (Tt)} {\ textrm {E}} [S_ {T} \ mathbf {1 } _ {S_ {T} <K}]}

\ = Ke ^ {{- r (Tt)}} \ Pr (S _ {{T}} <K) -e ^ {{- r (Tt)}} {\ textrm {E}} [S _ {{ T}} {\ mathbf {1}} _ {{S _ {{T}} <K}}]

Luați în considerare primul termen:

\ \Pr(S_{T}<K)=\Pr \left({\frac {W_{T}-W_{t}}{\sqrt {T-t}}}<-{\frac {\ln {\frac {S_{t}}{K}}+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\right)=N(-d_{2})

{\ displaystyle \ \ Pr (S_ {T} <K) = \ Pr \ left ({\ frac {W_ {T} -W_ {t}} {\ sqrt {Tt}}} <- {\ frac {\ ln {\ frac {S_ {t}} {K}} + \ left (r - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) (Tt)} {\ sigma {\ sqrt {Tt }}}} \ right) = N (-d_ {2})}

\ \ Pr (S _ {{T}} <K) = \ Pr \ left ({\ frac {W _ {{T}} - W _ {{t}}} {{\ sqrt {Tt}}}} <- {\ frac {\ ln {\ frac {S _ {{t}}} {K}} + \ left (r - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {{2}} \ right ) (Tt)} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ right) = N (-d _ {{2}})

pe baza proprietăților mișcării browniene geometrice .

Venind la al doilea termen, este util să operați următoarele manipulări:

\ e^{-r(T-t)}{\textrm {E}}[S_{T}\mathbf {1} _{S_{T}<K}]=e^{-r(T-t)}{\textrm {E}}[S_{T}|S_{T}<K]=

{\ displaystyle \ e ^ {- r (Tt)} {\ textrm {E}} [S_ {T} \ mathbf {1} _ {S_ {T} <K}] = e ^ {- r (Tt)} {\ textrm {E}} [S_ {T} | S_ {T} <K] =}

\ e ^ {{- r (Tt)}} {\ textrm {E}} [S _ {{T}} {\ mathbf {1}} _ {{S _ {{T}} <K}}] = e ^ {{-r (Tt)}} {\ textrm {E}} [S _ {{T}} | S _ {{T}} <K] =

=S_{t}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)\right){\textrm {E}}[\exp\{\sigma (W_{T}-W_{t})\}|S_{T}<K]

{\ displaystyle = S_ {t} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (Tt) \ right) {\ textrm {E}} [\ exp \ {\ sigma (W_ {T} -W_ {t}) \} | S_ {T} <K]}

= S _ {{t}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {{2}} (Tt) \ right) {\ textrm {E}} [\ exp \ { \ sigma (W _ {{T}} - W _ {{t}})}}} S _ {{T}} <K]

Pentru comoditatea notării, fie $\ Z_{T}=W_{T}-W_{t}\sim N(0,T-t)$ ${\ displaystyle \ Z_ {T} = W_ {T} -W_ {t} \ sim N (0, Tt)}$ $\ Z _ {{T}} = W _ {{T}} - W _ {{t}} \ sim N (0, T-t)$ ; cele de mai sus sunt echivalente cu dorința de a calcula:

\ S_{t}e^{-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}(T-t)}{\frac {1}{\sqrt {2\pi (T-t)}}}\int _{-\infty }^{-d_{2}}e^{\sigma Z_{T}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Z_{T}}{\sqrt {T-t}}}\right)^{2}}dZ_{T}

{\ displaystyle \ S_ {t} e ^ {- {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} (Tt)} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi (Tt)}}} \ int _ {- \ infty} ^ {- d_ {2}} e ^ {\ sigma Z_ {T}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Z_ {T }} {\ sqrt {Tt}}} \ right) ^ {2}} dZ_ {T}}

\ S _ {{t}} e ^ {{- {\ frac {\ sigma ^ {{2}}} {2}} (Tt)}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi ( Tt)}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{- d _ {{2}}}} e ^ {{\ sigma Z _ {{T}}}} e ^ {{- { \ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Z _ {{T}}} {{\ sqrt {Tt}}}} \ right) ^ {{2}}}} dZ _ {{T }}

Completând pătratul din exponențial prin integrare , avem:

\ S_{t}e^{-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}(T-t)}e^{{\frac {\sigma ^{2}}{2}}(T-t)}{\frac {1}{\sqrt {2\pi (T-t)}}}\int _{-\infty }^{-d_{2}}e^{-{\frac {\left(Z_{T}-\sigma ({T-t})\right)^{2}}{2(T-t)}}}dZ_{T}

{\ displaystyle \ S_ {t} e ^ {- {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} (Tt)} e ^ {{\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} ( Tt)} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi (Tt)}}} \ int _ {- \ infty} ^ {- d_ {2}} e ^ {- {\ frac {\ left (Z_ {T} - \ sigma ({Tt}) \ right) ^ {2}} {2 (Tt)}}} dZ_ {T}}

{\ displaystyle \ S_ {t} e ^ {- {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} (Tt)} e ^ {{\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} ( Tt)} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi (Tt)}}} \ int _ {- \ infty} ^ {- d_ {2}} e ^ {- {\ frac {\ left (Z_ {T} - \ sigma ({Tt}) \ right) ^ {2}} {2 (Tt)}}} dZ_ {T}}

În cele din urmă, efectuați următoarea modificare a variabilei; este: $\ X_{T}=Z_{T}-\sigma {\sqrt {T-t}}\sim N(0,T-t)$ ${\ displaystyle \ X_ {T} = Z_ {T} - \ sigma {\ sqrt {Tt}} \ sim N (0, Tt)}$ $\ X _ {{T}} = Z _ {{T}} - \ sigma {\ sqrt {T-t}} \ sim N (0, T-t)$ ; asa de $\ dX_{T}=dZ_{T}$ ${\ displaystyle \ dX_ {T} = dZ_ {T}}$ $\ dX _ {{T}} = dZ _ {{T}}$ , iar extrema integrării superioare devine $\ -d_{1}$ ${\ displaystyle \ -d_ {1}}$ $\ -d _ {{1}}$ ; expresia de calculat este:

\ S_{t}{\frac {1}{\sqrt {2\pi (T-t)}}}\int _{-\infty }^{-d_{1}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}{\frac {X_{T}^{2}}{T-t}}\right\}dX_{T}

{\ displaystyle \ S_ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi (Tt)}}} \ int _ {- \ infty} ^ {- d_ {1}} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} {\ frac {X_ {T} ^ {2}} {Tt}} \ right \} dX_ {T}}

\ S _ {{t}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi (Tt)}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{- d _ {{1}} }} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} {\ frac {X _ {{T}} ^ {{2}}} {Tt}} \ right \} dX _ {{T }}

în care funcția de distribuție a uneivariabile aleatoare normale este ușor recunoscută; prin urmare, cele de mai sus sunt egale cu:

\ S_{t}N(-d_{1})

{\ displaystyle \ S_ {t} N (-d_ {1})}

\ S _ {{t}} N (-d _ {{1}})

iar formula Black și Scholes pentru prețul unei opțiuni put europene este dovedită.

Alte derivări

În lucrarea lor originală, Black și Scholes rezolvă ecuația care le poartă numele pentru cazul unei opțiuni de apel în stil european folosind metoda separării variabilelor , o metodă standard pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale . O abordare foarte elegantă, care o urmează pe cea descrisă mai sus, dar care permite reducerea considerabilă a efortului algebric, este cea a schimbării măsurii sau schimbării numerarului , aparent propusă pentru prima dată de Margrabe (1978); o astfel de abordare necesită familiarizarea cu teorema lui Girsanov și depășește scopul acestui articol.

Extensii

Formulele prezentate mai sus se referă la opțiuni de tip european, pentru acțiuni care nu plătesc dividende . Extinderea la cazul unei acțiuni care plătește dividende este imediată; de exemplu, luați în considerare cazul unei acțiuni care plătește dividende în timp continuu (pentru opțiunile pe indici bursieri , care includ acțiuni ale numeroaselor companii care plătesc dividende în diferite perioade ale anului, această ipoteză nu este departe de realitate), formulând următoarele model pentru suma dividendului plătit pe un interval de timp infinitesimal $\ [t,t+dt]$ ${\ displaystyle \ [t, t + dt]}$ $\ [t, t + dt]$ :

\ qS_{t}dt

{\ displaystyle \ qS_ {t} dt}

\ qS _ {{t}} dt

unde este $\ q$ ${\ displaystyle \ q}$ $\ q$ este o constantă reală și indică rata dividendului instantaneu. Pe baza acestei formulări, printr-o procedură standard, este posibil să se demonstreze că prețul non- arbitraj al unei opțiuni de achiziție în cadrul ipotezelor Black și Scholes este:

\ C(S,t)=e^{-q(T-t)}S_{t}N({\tilde {d}}_{1})-e^{-r(T-t)}KN({\tilde {d}}_{2})

{\ displaystyle \ C (S, t) = e ^ {- q (Tt)} S_ {t} N ({\ tilde {d}} _ {1}) - e ^ {- r (Tt)} KN ( {\ tilde {d}} _ {2})}

\ C (S, t) = e ^ {{- q (Tt)}} S _ {{t}} N ({\ tilde {d}} _ {{1}}) - e ^ {{- r ( Tt)}} KN ({\ tilde {d}} _ {{2}})

unde este:

\ {\tilde {d}}_{1}={\frac {\ln {\frac {S_{t}}{K}}+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}};\quad {\tilde {d}}_{2}={\tilde {d}}_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}

{\ displaystyle \ {\ tilde {d}} _ {1} = {\ frac {\ ln {\ frac {S_ {t}} {K}} + \ left (r-q + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} \ right) (Tt)} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}}; \ quad {\ tilde {d}} _ {2} = {\ tilde {d}} _ { 1} - \ sigma {\ sqrt {Tt}}}

\ {\ tilde {d}} _ {{1}} = {\ frac {\ ln {\ frac {S _ {{t}}} {K}} + \ left (r-q + {\ frac {1} { 2}} \ sigma ^ {{2}} \ right) (Tt)} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}}; \ quad {\ tilde {d}} _ {{2}} = {\ tilde {d}} _ {{1}} - \ sigma {\ sqrt {Tt}}

O expresie complet analogă are în cazul unei opțiuni put .

Un caz separat este reprezentat de așa-numitul model negru pentru stabilirea prețurilor opțiunilor la termen , utilizat adesea în analiza instrumentelor financiare derivate pe rata dobânzii .

Bibliografie

Contribuții istorice

Black, F. și Scholes, M. (1973), Prețul opțiunilor și pasivelor corporative, Journal of Political Economy 81 , 637-654;
Margrabe, W. (1978), The Value of an Option to Exchange One Asset for Another, Journal of Finance 33 (1), 177-186;
Merton, R. (1973), Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1), 141-183.

Manuale

Hull, JC ( 2000 ), Options, Futures and Other Derivatives , Prentice-Hall, ISBN 0-13-022444-8 ; textul introductiv la teoria derivatelor de referință, la nivel universitar pre-doctoral (în limba engleză );
Hull, JC ( 2003 ), Options, Futures and Other Derivatives , Il Sole 24Ore Libri, (ediția italiană a volumului).

Elemente conexe