Modelul Black-Scholes-Merton

Economia financiară
Economia financiară Pretul bunului Factor de reducere stochastic Portofolii de frontieră , CAPM și APT Modelul Black-Scholes-Merton Finanțe corporative / finanțe corporative Structura Capitala
Economie și finanțe
Glosar economic Categorie: Economie

Black-Scholes-Merton, adesea numit pur și simplu modelul Black-Scholes, este un model de tendințe în timp în prețul instrumentelor financiare , în special în opțiuni . Formula Black-Scholes este o formulă matematică pentru prețul ne- arbitrajului unei „ opțiuni call sau put option” de tip european, care poate fi derivată din ipotezele modelului; același lucru este valabil și pentru formula Black pentru evaluarea opțiunilor la termen .

Ecuația lui Black și Scholes la baza formulei a fost inițial derivată din Fischer Black și Myron Scholes , într-o lucrare din 1973 , bazată pe cercetările anterioare ale lui Robert Merton și Paul Samuelson . Înțelegerea cheie a modelului Black-Scholes este aceea că un titlu derivă implicit la preț dacă titlul de bază este tranzacționat pe piață. Formula Black-Scholes este aplicată pe scară largă pe piețele financiare. Merton și Scholes au primit în 1997 Premiul Băncii Centrale Suedeze în Științe Economice în memoria lui Alfred Nobel ( Premiul Nobel Memorial în Științe Economice ) pentru munca lor (Black a murit în 1995 ).

Ipoteza modelului

Pretul activului suport urmează o mișcare browniană geometrică (vezi mai jos);
Aceasta a permis vanzarea a activului suport , ca instrumentul derivat ;
Nu li se permite arbitrajul de oportunități;
Garanția și instrumentele derivate subiacente sunt vândute pe piețe în timp continuu;
Nu există costuri de tranzacționare , taxe sau alte tipuri de ambreiaje pe piață;
Toate activele financiare sunt perfect divizibile (este posibil să se schimbe fracțiuni arbitrare mici din fiecare titlu de pe piață);
Rata dobânzii fără risc $\ r$ ${\ displaystyle \ r}$ $\ r$ este constant și la fel pentru toate termenele.

Derivarea ecuației Black-Scholes

Sunt posibile mai multe derivări ale ecuației Black-Scholes. În lucrarea lor originală din 1973, Black și Scholes construiesc un portofoliu neutru la risc ( abordare de acoperire , în cazul în care acesta este riscul portofoliului este anulat); Abordările alternative se bazează pe derivarea unui portofoliu care reproduce valoarea titlului derivatului, precum și pe o derivare utilizând abordarea standard a factorului de actualizare stocastică .

Odată ce ecuația Black-Scholes a fost derivată, definiția condițiilor alternative la graniță permite caracterizarea diferitelor instrumente derivate. Soluția este independentă de condițiile limită și poate fi obținută prin metoda de separare a variabilelor (utilizată de Black și Scholes în lucrarea lor din 1973 ), sau prin exploatarea formulei Feynman-Kac , care permite exprimarea soluției ca o așteptare valoare , deschizând astfel calea către soluții numerice, obținute prin simularea Monte Carlo .

Portofoliu neutru din punct de vedere al riscului (argument de acoperire)

Luați în considerare un derivat al cărui preț este notat cu $\ f(S_{t},t)$ ${\ displaystyle \ f (S_ {t}, t)}$ ${\ displaystyle \ f (S_ {t}, t)}$ , unde este $\ S_{t}$ ${\ displaystyle \ S_ {t}}$ $\ S _ {{t}}$ este prețul suportului ; Scopul analizei este de a determina condițiile pe care trebuie să le îndeplinească $\ f(\cdot )$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ , Sub presupunerea arbitrajului fără oportunități. Se presupune că subiacentul urmează un proces de mișcare browniană geometrică , descris de „ ecuația diferențială stocastică :

\ dS=\mu Sdt+\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle \ dS = \ mu Sdt + \ sigma SdW_ {t}}

{\ displaystyle \ dS = \ mu Sdt + \ sigma SdW_ {t}}

unde este $\ W_{t}$ ${\ displaystyle \ W_ {t}}$ $\ W _ {{t}}$ Este un proces Wiener sau standarde de mișcare browniene și $\ \mu$ ${\ displaystyle \ \ mu}$ $\ \ mu$ (Procent instant de derivare) și $\ \sigma$ ${\ displaystyle \ \ sigma}$ ${\ displaystyle \ \ sigma}$ (Volatilitatea procentuală instantanee) sunt constante reale. Ecuația este exact modelul lui Black-Scholes-Merton pentru prețul unui activ financiar.

Apoi construiește un portofoliu fictiv:

\ \pi =f-{\frac {\partial f}{\partial S}}S

{\ displaystyle \ \ pi = f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S}

{\ displaystyle \ \ pi = f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S}

Rețineți că $\ \partial f/\partial S$ ${\ displaystyle \ \ partial f / \ partial S}$ ${\ displaystyle \ \ partial f / \ partial S}$ Un altul este că delta instrumentului derivat . Aplicând Lemma Itō , determină „ ecuația diferențială stocastică care $\ \pi$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ trebuie să satisfacă:

\ d\pi =df-{\frac {\partial f}{\partial S}}dS=\left({\frac {\partial f}{\partial S}}\mu S+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\sigma SdW_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}\mu Sdt-{\frac {\partial f}{\partial S}}\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle \ d \ pi = df - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} dS = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t} - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu Sdt - { \ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

{\ displaystyle \ d \ pi = df - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} dS = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t} - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu Sdt - { \ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

În acest moment, dictează că portofelul $\ \pi$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ nu prezintă riscuri pe un interval de timp infinitesimal; în ipoteza absenței arbitrajului de oportunități, acest lucru echivalează cu impunerea:

\ d\pi =r\pi dt=r\left(f-{\frac {\partial f}{\partial S}}S\right)dt

{\ displaystyle \ d \ pi = r \ pi dt = r \ left (f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S \ right) dt}

{\ displaystyle \ d \ pi = r \ pi dt = r \ left (f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S \ right) dt}

Prin echivalarea celor două relații astfel obținute, obținem ecuația Black-Scholes:

\ rS{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}-rf=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

Este o „ ecuație diferențială parțială parabolică; relația de mai sus trebuie să fie satisfăcută, în absența arbitrajului de oportunități, prețul oricărui instrument derivat .

Portofoliu de replicare

Această abordare se datorează lui Merton (1973). Luați în considerare un portofoliu de valoare $f(\cdot )$ ${\ displaystyle f (\ cdot)}$ ${\ displaystyle f (\ cdot)}$ care contine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ unitate de securitate riscantă, e $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ unitate a garanției fără risc (al cărei preț urmează $dB_{t}=rBdt$ ${\ displaystyle dB_ {t} = rBdt}$ ${\ displaystyle dB_ {t} = rBdt}$ Unde r este rata dobânzii fără risc). Se intenționează ca portofoliul în cauză să reproducă exact valoarea instrumentului derivat al cărui preț urmează să fie determinat. În fiecare moment, portofoliul de replicare realizează un câștig monetar egal cu:

\ dG(t)=a(t)dS(t)+b(t)dB(t)

{\ displaystyle \ dG (t) = a (t) dS (t) + b (t) dB (t)}

{\ displaystyle \ dG (t) = a (t) dS (t) + b (t) dB (t)}

Portofoliul trebuie să se autofinanțeze , adică, odată ce s-a stabilit cheltuiala inițială aferentă valorii sale, nu este necesar să se introducă sume suplimentare de bani pentru a reproduce valoarea instrumentului derivat - cu alte cuvinte, orice modificare în valoarea derivatului trebuie să fie însoțită de modificări corespunzătoare în $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ Și $b(t)$ ${\ displaystyle b (t)}$ ${\ displaystyle b (t)}$ astfel încât să asigure replicarea. Condiția autofinanțării este:

\ df(t)-dG(t)=0

{\ displaystyle \ df (t) -dG (t) = 0}

{\ displaystyle \ df (t) -dG (t) = 0}

Pentru lema Ito , se știe că:

df=\left({\frac {\partial f}{\partial S}}\mu S+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle df = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

{\ displaystyle df = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

Pentru a obtine $df-dG=0$ ${\ displaystyle df-dG = 0}$ ${\ displaystyle df-dG = 0}$ , termenii în sunt egali cu zero în primul rând $dW_{t}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ :

{\frac {\partial f}{\partial S_{t}}}\sigma S_{t}dW_{t}-a(t)\sigma S_{t}dW_{t}=0\quad \Rightarrow \quad a(t)={\frac {\partial f}{\partial S_{t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} \ sigma S_ {t} dW_ {t} -a (t) \ sigma S_ {t} dW_ {t} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad a (t) = {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} \ sigma S_ {t} dW_ {t} -a (t) \ sigma S_ {t} dW_ {t} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad a (t) = {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}}}

Atâta timp cât $f(t)=a(t)S(t)+b(t)B(t)$ ${\ displaystyle f (t) = a (t) S (t) + b (t) B (t)}$ ${\ displaystyle f (t) = a (t) S (t) + b (t) B (t)}$ , avem:

b(t)={\frac {f(t)-{\frac {\partial f}{\partial S_{t}}}S(t)}{B(t)}}

{\ displaystyle b (t) = {\ frac {f (t) - {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} S (t)} {B (t)}}}

{\ displaystyle b (t) = {\ frac {f (t) - {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} S (t)} {B (t)}}}

unde a înlocuit anunțul $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ expresia lui. Prin înlocuire $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ Și $b(t)$ ${\ displaystyle b (t)}$ ${\ displaystyle b (t)}$ în stare $df(t)-dG(t)=0$ ${\ displaystyle df (t) -dG (t) = 0}$ ${\ displaystyle df (t) -dG (t) = 0}$ , noi obținem:

\ rS{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}-rf=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

adică, încă o dată, ecuația Black-Scholes.

Derivarea prin factorul de reducere stocastică în timp continuu

Același subiect în detaliu: Reducerea stocastică factor .

O derivare alternativă poate fi obținută printr-un factor de reducere stocastic în timp continuu. Definiți un factor de reducere stocastică în timp continuu ca proces stocastic $\xi (t)$ ${\ displaystyle \ xi (t)}$ ${\ displaystyle \ xi (t)}$ , Care îndeplinește „ ecuația diferențială stocastică :

\ d\xi (t)=-r(t)\xi (t)dt-\lambda (t)\xi (t)dW_{t}

{\ displaystyle \ d \ xi (t) = - r (t) \ xi (t) dt- \ lambda (t) \ xi (t) dW_ {t}}

{\ displaystyle \ d \ xi (t) = - r (t) \ xi (t) dt- \ lambda (t) \ xi (t) dW_ {t}}

unde este $r(t)$ ${\ displaystyle r (t)}$ $r (t)$ denotă rata instantanee fără risc, e $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ denotă prima de risc (voce engleză , prețul de piață al riscului):

{\frac {\mu -r}{\sigma }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}}}

Prin urmare, se impune condiția ca factorul de actualizare stocastic astfel definit să determine corect prețul unui titlu derivat $\ f(\cdot )$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ , și anume că:

{\mbox{E}}\left[d\left(\xi f\right)\right]=0

{\ displaystyle {\ mbox {E}} \ left [d \ left (\ xi f \ right) \ right] = 0}

{\ displaystyle {\ mbox {E}} \ left [d \ left (\ xi f \ right) \ right] = 0}

Această condiție este cunoscută sub numele de condiție martingalitate (deoarece dictează că procesul $\{\xi (t)f(t)\}$ ${\ displaystyle \ {\ xi (t) f (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ xi (t) f (t) \}}$ este o martingală ). Se știe (și puteți demonstra imediat, recurgând la lema Ito ) că:

d\left(\xi f\right)=\xi df+fd\xi

{\ displaystyle d \ left (\ xi f \ right) = \ xi df + fd \ xi}

{\ displaystyle d \ left (\ xi f \ right) = \ xi df + fd \ xi}

Prin înlocuirea unui $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ , $d\xi$ ${\ displaystyle d \ xi}$ ${\ displaystyle d \ xi}$ expresiile lor ( $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ încă determină o dată prin lema Itō ) și observând că valoarea așteptată a termenilor din $dW_{t}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ este nul pentru proprietățile mișcării browniene , se obține, din condiția martingalità:

\ rS{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}-rf=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

adică, încă o dată, ecuația Black-Scholes.

Dispute

Modelul de-a lungul timpului a fost folosit de comercianți nu numai ca o previziune, ci și o condiție prealabilă înainte de a face schimburi, creând efectiv realitatea pieței pe care modelul a descris-o, eșecul paradigmatic al fondului speculativ pe termen lung de gestionare a capitalului ^[1] .

Notă

^ Luciano Gallino , Finanzcapitalismo. Civilizația banilor în criză , pagina 100, Einaudi, Torino, 2011. ISBN 978-88-06-20701-4

Bibliografie

Contribuții istorice

Black, F. și Scholes, M. ( 1973 ), Prețul opțiunilor și pasivelor corporative, Journal of Political Economy 81 (3), 637-654;
Merton, R. ( 1973 ), Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1), 141-183.

Manuale

Hull, JC ( 2000 ), Options, Futures and Other Derivatives , Prentice-Hall, ISBN 0-13-022444-8 ; textul introductiv la teoria referinței derivate , nivel pre-doctoral universitar (în limba engleză );
Hull, JC ( 2003 ), Options, Futures and Other Derivatives , Il Sole 24Ore Libri, (ediția italiană a volumului).
Paul, W., Baschnagel, J., „Procese stochastice de la fizică la finanțe”, Springer.

Elemente conexe

linkuri externe

Black, Merton și Scholes: munca lor și consecințele sale , articol despre modelul Black and Scholes în limba engleză.

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

[1] Luciano Gallino , Finanzcapitalismo. Civilizația banilor în criză , pagina 100, Einaudi, Torino, 2011. ISBN 978-88-06-20701-4

[1]

V · D · M Derivate
Termeni	Preț grevă bază privitoare la instrumentul Volatilitatea deschis interes payoff de risc de rată a dobânzii de maturitate greci
Opțiuni	Sunați · Puneți · Mandate
Opțiuni exotice	Asiatic · Binar · Swaption · Lookback · Cliquet
Strategii	Straddle · Strangle · Fluture · Guler
Evaluarea opțiunilor	Moneyness Opțiune Valoare Put-call parity Model Black -Scholes Model negru Metoda binomială Montecarlo
Swap	Swap pe rata dobânzii · Swap pe profit total · Swap pe acțiuni · Swap pe scadență constantă · Swap de credit implicit
Alte derivate	Futures · Înainte
Piețe	IDEM · SeDeX · Over the Counter · Piețe derivate străine