Negru - Ecuația Scholes

În matematica financiară , ecuația Black-Scholes este o ecuație diferențială parțială (PDE) care reglementează evoluția prețului unui apel european sau pus sub modelul Black-Scholes . În general, termenul se poate referi la un PDE similar care poate fi derivat pentru o varietate de opțiuni , sau mai general, din derivate .

Mișcări browniene geometrice simulate cu parametri din datele pieței

Pentru un apel european sau un stoc subiacent care nu plătește dividende, ecuația este:

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV = 0}

unde V este prețul opțional în funcție de prețul acțiunii S și timpul t , r este rata dobânzii fără risc și $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este volatilitatea stocului.

Informația financiară cheie din spatele ecuației este că puteți acoperi perfect opțiunea cumpărând și vânzând activul subiacent în modul corect și astfel „eliminând riscul”. La rândul său, această acoperire implică faptul că există un singur preț corect pe opțiune, după cum este returnat de formula Black-Scholes .

Interpretare financiară

Ecuația are o interpretare concretă care este adesea utilizată de profesioniști și stă la baza derivării comune date în următoarea subsecțiune. Ecuația poate fi rescrisă în modul:

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} = rV-rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} = rV-rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}

Partea stângă este formată dintr-un termen de „descompunere a timpului”, adică variația valorii derivatei față de timp, numită theta , și dintr-un termen care implică a doua derivată spațială gamma , convexitatea valorii derivate în raport cu valoarea de bază. Partea dreaptă este rentabilitatea fără risc dintr-o poziție pe termen lung a instrumentului derivat și o poziție pe termen scurt constând din ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$ acțiuni ale suportului.

Intuiția lui Black și Scholes este că portofoliul reprezentat de partea dreaptă este lipsit de risc: prin urmare, ecuația spune că randamentul fără risc pe orice interval de timp infinitesimal, poate fi exprimat ca suma theta și un termen care încorporează gama . Pentru o opțiune, teta este, în general, negativă, reflectând pierderea de valoare datorată dorinței mai mici de a exercita opțiunea (pentru un apel european pe un suport fără dividende, este întotdeauna negativ). Intervalul este de obicei pozitiv, astfel încât termenul interval reflectă câștigurile obținute din deținerea opțiunii. Ecuația afirmă că, pe orice interval de timp infinitesimal, pierderea din theta și câștigul din termenul gamma se compensează reciproc, astfel încât rezultatul este o revenire fără risc a ratei.

Din punctul de vedere al emitentului de opțiuni, de exemplu o bancă de investiții, termenul gamma este costul acoperirii opțiunii. (Deoarece valoarea gamma este cea mai mare atunci când prețul spot al suportului este apropiat de prețul de achiziție al opțiunii, costurile de acoperire ale vânzătorului sunt cele mai mari în această circumstanță.)

Derivare

Următoarea derivare este dată în Opțiunile, futures și alte derivate ale lui John C. Hull ^[1] : 287–288 Aceasta, la rândul său, se bazează pe argumentul clasic din lucrarea originală Black-Scholes.

Conform ipotezelor modelului de mai sus, prețul activului subiacent (de obicei un titlu) urmează o mișcare geometrică browniană . Aceasta este

{\frac {dS}{S}}=\mu \,dt+\sigma \,dW\,

{\ displaystyle {\ frac {dS} {S}} = \ mu \, dt + \ sigma \, dW \,}

{\ displaystyle {\ frac {dS} {S}} = \ mu \, dt + \ sigma \, dW \,}

unde W este o variabilă stochastică ( mișcare browniană ). Rețineți că W și, în consecință, creșterea sa infinitezimală dW , reprezintă singura sursă de incertitudine din istoria prețurilor acțiunilor. Intuitiv, W ( t ) este un proces care „leagănă în sus și în jos” atât de aleatoriu încât schimbarea sa prevăzută în orice interval de timp este 0. (Mai mult, varianța sa în timp T este egală cu T ; vezi procesul Wiener: Proprietăți de bază ) ; un bun analog discret pentru W este o simplă plimbare casuală . Prin urmare, ecuația de mai sus afirmă că rata infinitezimală a rentabilității garanției are o valoare așteptată de μ dt și o varianță a $\sigma ^{2}dt$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} dt}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} dt}$ .

Răsplata unei opțiuni $V(S,T)$ ${\ displaystyle V (S, T)}$ ${\ displaystyle V (S, T)}$ la maturitate se știe. Pentru a-i găsi valoarea într-o perioadă anterioară, trebuie să știm cum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ evoluează în funcție de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Din lema lui Itô pentru două variabile pe care le avem

dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW

{\ displaystyle dV = \ left (\ mu S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + \ sigma S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \, dW}

{\ displaystyle dV = \ left (\ mu S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + \ sigma S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \, dW}

Să luăm acum în considerare un anumit portofoliu, numit portofoliu delta-hedge, format dintr-o opțiune pe termen scurt și pe termen lung ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$ în acest moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Valoarea acestor dețineri este

\Pi =-V+{\frac {\partial V}{\partial S}}S

{\ displaystyle \ Pi = -V + {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} S}

{\ displaystyle \ Pi = -V + {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} S}

De-a lungul perioadei de timp $[t,t+\Delta t]$ ${\ displaystyle [t, t + \ Delta t]}$ ${\ displaystyle [t, t + \ Delta t]}$ , profitul sau pierderea totală rezultată din modificările valorilor capitalurilor proprii este (dar a se vedea nota de mai jos):

\Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta S

{\ displaystyle \ Delta \ Pi = - \ Delta V + {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \, \ Delta S}

{\ displaystyle \ Delta \ Pi = - \ Delta V + {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \, \ Delta S}

Acum, discretizând ecuațiile pentru dS / S și dV și înlocuind diferențialele cu delte:

\Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,

{\ displaystyle \ Delta S = \ mu S \, \ Delta t + \ sigma S \, \ Delta W \,}

{\ displaystyle \ Delta S = \ mu S \, \ Delta t + \ sigma S \, \ Delta W \,}

\Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta W

{\ displaystyle \ Delta V = \ left (\ mu S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} { 2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t + \ sigma S {\ frac { \ partial V} {\ partial S}} \, \ Delta W}

{\ displaystyle \ Delta V = \ left (\ mu S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} { 2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t + \ sigma S {\ frac { \ partial V} {\ partial S}} \, \ Delta W}

și înlocuind în mod adecvat termenul în expresie $\Delta \Pi$ ${\ displaystyle \ Delta \ Pi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ Pi}$ :

\Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t

{\ displaystyle \ Delta \ Pi = \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t}

{\ displaystyle \ Delta \ Pi = \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t}

Rețineți că termenul $\Delta W$ ${\ displaystyle \ Delta W}$ ${\ displaystyle \ Delta W}$ A dispărut. Prin urmare, incertitudinea a fost eliminată, iar portofoliul este efectiv lipsit de riscuri. Rata de rentabilitate a acestui portofoliu trebuie să fie egală cu rata de rentabilitate a oricărui alt instrument fără risc; în caz contrar, ar exista oportunități de arbitraj. Acum să presupunem că rata rentabilității fără risc este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ trebuie să avem în intervalul de timp $[t,t+\Delta t]$ ${\ displaystyle [t, t + \ Delta t]}$ ${\ displaystyle [t, t + \ Delta t]}$

r\Pi \,\Delta t=\Delta \Pi

{\ displaystyle r \ Pi \, \ Delta t = \ Delta \ Pi}

{\ displaystyle r \ Pi \, \ Delta t = \ Delta \ Pi}

Dacă facem acum egalitatea explicită în cele două formule ale noastre pentru $\Delta \Pi$ ${\ displaystyle \ Delta \ Pi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ Pi}$ noi obținem:

\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\Delta t

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t = r \ left (-V + S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \ right) \ Delta t }

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t = r \ left (-V + S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \ right) \ Delta t }

Simplificând, ajungem la celebra ecuație diferențială parțială Black-Scholes:

{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV = 0}

În ipotezele modelului Black-Scholes, această ecuație diferențială parțială de ordinul doi se aplică fiecărui tip de opțiune, deoarece funcția sa de preț $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este de două ori diferențiat în ceea ce privește $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și o dată cu privire la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Diferite formule de stabilire a prețurilor pentru diferite opțiuni vor rezulta din alegerea funcției de plată la scadență și condițiile limită corespunzătoare.

Notă tehnică: O subtilitate umbrită de abordarea de discretizare de mai sus este că modificarea infinitesimală a valorii portofoliului s-a datorat doar modificărilor infinitesimale ale valorilor activelor deținute, nu modificărilor pozițiilor în active. Cu alte cuvinte, portofoliul a fost presupus a fi autofinanțat .

Derivare alternativă

Iată o derivare alternativă care poate fi utilizată în situații în care inițial nu este clar ce ar trebui să fie portofoliul de acoperire. (Pentru o referință, a se vedea 6.4 din Shreve vol II).

În modelul Black-Scholes, presupunând că am ales măsura de probabilitate neutră a riscului, presupunem că prețul titlului de bază S ( t ) evoluează ca o mișcare browniană geometrică:

{\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)

{\ displaystyle {\ frac {dS (t)} {S (t)}} = r \ dt + \ sigma dW (t)}

{\ displaystyle {\ frac {dS (t)} {S (t)}} = r \ dt + \ sigma dW (t)}

Din această ecuație diferențială stocastică (SDE) se arată că evoluția prețului acțiunilor este Markov , orice derivat pe această bază este o funcție a timpului t și a prețului acțiunilor la momentul curent, S (t). Astfel, o aplicație a limei lui Ito oferă un SDE pentru procesul derivat actualizat $\exp(-rt)V(t,S(t))$ ${\ displaystyle \ exp (-rt) V (t, S (t))}$ ${\ displaystyle \ exp (-rt) V (t, S (t))}$ , care ar trebui să fie o martingală. Pentru ca acest lucru să rămână, termenul derivat trebuie să fie zero, ceea ce implică Black-Scholes PDE.

Această derivare este practic o aplicație a formulei Feynman-Kac și poate fi încercată ori de câte ori activele subiacente evoluează pe baza anumitor SDE.

Rezolvați PDE

Odată ce Black-Scholes PDE, cu condiții limită și terminale, este derivat pentru o derivată, PDE poate fi rezolvat numeric folosind metode standard de analiză numerică, ^[2] ca tip de metodă de diferență finită . ^[3] În unele cazuri, este posibil să se rezolve o formulă exactă, ca în cazul unui apel european, care a fost făcut de Black și Scholes.

Pentru a face acest lucru pentru o opțiune de apel, amintiți-vă că PDE-ul de mai sus are condiții limită

{\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} C (0, t) & = 0 {\ text {pentru toate}} t \\ C (S, t) & \ rightarrow S {\ text {as}} S \ rightarrow \ infty \\ C (S, T) & = \ max \ {SK, 0 \} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} C (0, t) & = 0 {\ text {pentru toate}} t \\ C (S, t) & \ rightarrow S {\ text {as}} S \ rightarrow \ infty \\ C (S, T) & = \ max \ {SK, 0 \} \ end {align}}}

Ultima condiție oferă valoarea opțiunii atunci când opțiunea se maturizează. Alte condiții sunt posibile atunci când S merge la 0 sau la infinit. De exemplu, condițiile obișnuite utilizate în alte situații sunt alegerea deltei de a dispărea când S merge la 0 și intervalul de a dispărea când S merge la infinit; acestea vor oferi aceeași formulă ca și condițiile de mai sus (în general, diferitele condiții la graniță vor oferi soluții diferite, astfel încât unele informații financiare ar trebui utilizate pentru a alege condițiile adecvate pentru situația reală).

Soluția PDE oferă valoarea opțiunii în orice moment anterior, $\mathbb {E} \left[\max\{S-K,0\}\right]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ max \ {SK, 0 \} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ max \ {S-K, 0 \} \ right]}$ . Pentru a rezolva PDE recunoaștem că este o ecuație Cauchy-Euler care poate fi transformată într-o ecuație de difuzie prin introducerea transformării schimbării variabilei

{\begin{aligned}\tau &=T-t\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tau & = Tt \\ u & = Ce ^ {r \ tau} \\ x & = \ ln \ left ({\ frac {S} {K}} \ right) + \ left (r - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tau & = Tt \\ u & = Ce ^ {r \ tau} \\ x & = \ ln \ left ({\ frac {S} {K}} \ right) + \ left (r - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau \ end {align}}}

Deci, Black-Scholes PDE devine o ecuație de difuzie

{\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial \ tau}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial \ tau}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}}

Starea terminalului $C(S,T)=\max\{S-K,0\}$ ${\ displaystyle C (S, T) = \ max \ {SK, 0 \}}$ ${\ displaystyle C (S, T) = \ max \ {S-K, 0 \}}$ acum devine o condiție inițială

u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\left(e^{x}-1\right)H(x)

{\ displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x): = K (e ^ {\ max \ {x, 0 \}} - 1) = K \ left (e ^ {x} -1 \ dreapta) H (x)}

{\ displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x): = K (e ^ {\ max \ {x, 0 \}} - 1) = K \ left (e ^ {x} -1 \ dreapta) H (x)}

,

unde H ( x ) este funcția pasului Heaviside . Funcția Heaviside corespunde impunerii datelor de graniță în sistemul de coordonate S , t care necesită când t = T ,

C(S,\,T)=0\quad \forall \;\;S<K

{\ displaystyle C (S, \, T) = 0 \ quad \ forall \; \; S <K}

{\ displaystyle C (S, \, T) = 0 \ quad \ forall \; \; S <K}

,

presupunând atât S , K > 0. Cu această ipoteză, este echivalentă cu funcția max pe toate x în numere reale, cu excepția x = 0. Egalitatea de mai sus dintre funcția max și funcția Heaviside este în sensul distribuțiile, deoarece nu se menține pentru x = 0. Deși subtil, acest lucru este important, deoarece funcția Heaviside nu trebuie neapărat să fie definită la x = 0, sau chiar definită în acest sens. Pentru mai multe informații despre valoarea funcției Heaviside la x = 0, consultați secțiunea „Argument zero” din articolul Heaviside Passing Function .

Folosind metoda standard de convoluție pentru a rezolva o ecuație de difuzie dată o funcție de valoare inițială, u ( x , 0), avem

u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0}(y)\exp {\left[-{\frac {(x-y)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\right]}}\,dy

{\ displaystyle u (x, \ tau) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi \ tau}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {u_ {0 } (y) \ exp {\ left [- {\ frac {(xy) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} \ tau}} \ right]}} \, dy}

{\ displaystyle u (x, \ tau) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi \ tau}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {u_ {0 } (y) \ exp {\ left [- {\ frac {(xy) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} \ tau}} \ right]}} \, dy}

,

care, după o manipulare, are ca rezultat:

u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{1})-KN(d_{2})

{\ displaystyle u (x, \ tau) = Ke ^ {x + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} N (d_ {1}) - KN (d_ {2}) }

{\ displaystyle u (x, \ tau) = Ke ^ {x + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} N (d_ {1}) - KN (d_ {2}) }

,

unde este $N(\cdot )$ ${\ displaystyle N (\ cdot)}$ ${\ displaystyle N (\ cdot)}$ este funcția de distribuție normală cumulată e

{\begin{aligned}d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{2}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right].\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {2 }} \ sigma ^ {2} \ tau \ right) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right] \\ d_ {2} & = {\ frac {1} { \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right) - {\ frac {1} {2 }} \ sigma ^ {2} \ tau \ right]. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {2 }} \ sigma ^ {2} \ tau \ right) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right] \\ d_ {2} & = {\ frac {1} { \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right) - {\ frac {1} {2 }} \ sigma ^ {2} \ tau \ right]. \ end {align}}}

Acestea sunt aceleași soluții (cu excepția traducerii în timp) obținute de Fischer Black în 1976, ecuațiile (16) p. 177. ^[4]

A raporta $u,x,\tau$ ${\ displaystyle u, x, \ tau}$ ${\ displaystyle u, x, \ tau}$ la setul original de variabile produce soluția de mai sus a ecuației Black-Scholes.

Starea asimptotică poate fi acum realizată.

u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},

{\ displaystyle u (x, \, \ tau) {\ overset {x \ rightsquigarrow \ infty} {\ asymp}} Ke ^ {x},}

{\ displaystyle u (x, \, \ tau) {\ overset {x \ rightsquigarrow \ infty} {\ asymp}} Ke ^ {x},}

care pur și simplu dă S la restabilirea coordonatelor originale.

\lim _{x\to \infty }N(x)=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} N (x) = 1}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} N (x) = 1}

.

Notă

^ John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives , ediția a VII-a, Prentice Hall , 2008, ISBN 0-13-505283-1 .
^ " O metodă numerică rapidă, stabilă și precisă pentru ecuația Black-Scholes of American Options " International Journal of Theoretical and Applied Finance , Vol. 11, No. 5, pp. 471-501, 2008, 20 aprilie 2010
^ Scheme de diferență finită care ating consistență dinamică pentru modelele de populație Treisprezecea Virginia L. Chatelain Memorial Lecture prezentat de Talitha Washington la Universitatea de Stat din Kansas pe 9 noiembrie 2017
^ Black, Fischer S. "The Pricing of Commodity Contracts" Journal of Financial Economics , 3, pp. 167-179, 1976, referință adăugată 3 august 2019

linkuri externe

( EN ) Negru - ecuația Scholes , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

[Hull-1] John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives , ediția a VII-a, Prentice Hall , 2008, ISBN 0-13-505283-1 .

[2] " O metodă numerică rapidă, stabilă și precisă pentru ecuația Black-Scholes of American Options " International Journal of Theoretical and Applied Finance , Vol. 11, No. 5, pp. 471-501, 2008, 20 aprilie 2010

[3] Scheme de diferență finită care ating consistență dinamică pentru modelele de populație Treisprezecea Virginia L. Chatelain Memorial Lecture prezentat de Talitha Washington la Universitatea de Stat din Kansas pe 9 noiembrie 2017

[4] Black, Fischer S. "The Pricing of Commodity Contracts" Journal of Financial Economics , 3, pp. 167-179, 1976, referință adăugată 3 august 2019

[1]

[2]

[3]

[4]