Portofelul frontieră

Economia financiară
Economia financiară Pretul bunului Factor de reducere stochastic Portofoliul de frontieră , CAPM și APT Modelul Black-Scholes-Merton Finanțe corporative / finanțe corporative Structura Capitala
Economie și finanțe
Glosar economic Categorie: Economie

Portofoliul de frontieră este orice set de portofolii care îndeplinesc un criteriu de raționalitate în alegerile investiționale făcute de agenții economici. Din perspectiva teoriei moderne a alegerii portofoliului, termenul indică, în general, locusul portofoliilor caracterizat de varianța minimă admisibilă pentru un nivel dat de rentabilitate așteptată.

Justificare

Frontiera portofoliului este definită ca locul portofoliilor cu varianța minimă cu aceeași rentabilitate așteptată; pe baza acestei definiții, agenții care preferă o rentabilitate așteptată mai mare și o varianță mai mică (având, adică preferințe de varianță medie) vor alege portofolii aparținând frontierei. Este clar că, chiar dacă preferințele agenților economici nu satisfac aceste proprietăți, există întotdeauna o frontieră de varianță medie și poate fi utilă în scopuri pur descriptive.

Ipoteza preferințelor de varianță medie este aparent sensibilă, dar totuși restrictivă. În special, implică restricții asupra tipului de funcții utilitare care pot reprezenta preferințele participanților la piață. Pentru a ilustra acest subiect, luați în considerare o funcție de utilitate $u:\mathbb {R} _{+}\mapsto \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} _ {+} \ mapsto \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} _ {+} \ mapsto \ mathbb {R}}$ având ca argument bogăția $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Dacă, pe de o parte, se poate observa că un agent economic nu obține în mod normal utilitate din bani (în afară de Scrooge Scrooge ), este posibil să se facă ipoteza că bogăția este o bună aproximare a consumului, din care utilitatea derivă în cele din urmă. Să presupunem acum că bogăția este o variabilă aleatorie și că există valoarea ei așteptată ${\textrm {E}}[W]$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W]}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W]}$ ; ia în considerare o expansiune Taylor, centrată în ${\textrm {E}}[W]$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W]}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W]}$ , a utilității așteptate:

\ {\textrm {E}}[u(W)]=u\left({\textrm {E}}[W]\right)+{\frac {1}{2}}u''\left({\textrm {E}}[W]\right){\textrm {E}}\left(W-{\textrm {E}}[W]\right)^{2}+R_{3}

{\ displaystyle \ {\ textrm {E}} [u (W)] = u \ left ({\ textrm {E}} [W] \ right) + {\ frac {1} {2}} u '' \ left ({\ textrm {E}} [W] \ right) {\ textrm {E}} \ left (W - {\ textrm {E}} [W] \ right) ^ {2} + R_ {3}}

{\ displaystyle \ {\ textrm {E}} [u (W)] = u \ left ({\ textrm {E}} [W] \ right) + {\ frac {1} {2}} u '' \ left ({\ textrm {E}} [W] \ right) {\ textrm {E}} \ left (W - {\ textrm {E}} [W] \ right) ^ {2} + R_ {3}}

unde este $R_{3}=\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}u^{(n)}\left({\textrm {E}}[W]\right){\textrm {E}}\left(W-{\textrm {E}}[W]\right)^{n}$ ${\ displaystyle R_ {3} = \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} u ^ {(n)} \ left ({\ textrm {E}} [ W] \ right) {\ textrm {E}} \ left (W - {\ textrm {E}} [W] \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle R_ {3} = \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} u ^ {(n)} \ left ({\ textrm {E}} [ W] \ right) {\ textrm {E}} \ left (W - {\ textrm {E}} [W] \ right) ^ {n}}$ . Sub ipoteze nedureroase, funcția u este monotonă în creștere, iar derivatul său scade, astfel încât $u''(\cdot )<0$ ${\ displaystyle u '' (\ cdot) <0}$ ${\ displaystyle u '' (\ cdot) <0}$ . Neglijarea termenului $R_{3}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ $R_ {3}$ , prin urmare, utilitatea așteptată care derivă din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ar crește în valoarea așteptată a $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , și în scădere în varianța sa ${\textrm {E}}(W-{\textrm {E}}[W])^{2}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} (W - {\ textrm {E}} [W]) ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} (W - {\ textrm {E}} [W]) ^ {2}}$ . Pe de altă parte, prezența termenului $R_{3}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ $R_ {3}$ împiedică acest lucru să fie adevărat în general. Este legitim să ne întrebăm în acest moment în ce condiții este justificată ipoteza varianței medii. Două cazuri notabile apar mai jos.

Utilitate quadratică. Dacă funcția $\ u(\cdot )$ ${\ displaystyle \ u (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ u (\ cdot)}$ este în formă $\ u(W)=-{\frac {1}{2}}\left(aW-b\right)^{2}$ ${\ displaystyle \ u (W) = - {\ frac {1} {2}} \ left (aW-b \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ u (W) = - {\ frac {1} {2}} \ left (aW-b \ right) ^ {2}}$ , derivatele sale de ordin mai mare de 2 sunt zero, adică $u^{(n)}(\cdot )=0\ \forall \ n\geq 3$ ${\ displaystyle u ^ {(n)} (\ cdot) = 0 \ \ forall \ n \ geq 3}$ ${\ displaystyle u ^ {(n)} (\ cdot) = 0 \ \ forall \ n \ geq 3}$ , astfel încât termenul $R_{3}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ $R_ {3}$ de mai sus este nul. Problema cu această formulare este că $u(\cdot )$ ${\ displaystyle u (\ cdot)}$ ${\ displaystyle u (\ cdot)}$ are un maxim la $W=b/a$ ${\ displaystyle W = b / a}$ ${\ displaystyle W = b / a}$ ; pentru valori de $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ mai mare, un agent economic preferă mai puțină bogăție, ceea ce este greu de justificat la nivel interpretativ. Este, de asemenea, posibil să se demonstreze că o astfel de funcție de utilitate implică un nivel crescut de aversiune la risc în ceea ce privește nivelul bogăției, în cazul în care un agent economic mai bogat ar fi în mod normal de așteptat să aibă o înclinație mai mare de a-și asuma riscuri.
$W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ cudistribuție normală . Se știe că toate momentele uneivariabile aleatoare normale pot fi caracterizate în funcție de parametrii valorii și varianței așteptate ; mai puteți arăta că dacă $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ are distribuție normală, ${\textrm {E}}[u(W)]$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [u (W)]}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [u (W)]}$ va crește în ${\textrm {E}}[W]$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W]}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W]}$ și coborând în ${\textrm {E}}(W-{\textrm {E}}[W])^{2}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} (W - {\ textrm {E}} [W]) ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} (W - {\ textrm {E}} [W]) ^ {2}}$ . Pentru a demonstra acest rezultat, exprimă bogăția „finală” $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ca ${\textrm {E}}[W]+\sigma \varepsilon$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W] + \ sigma \ varepsilon}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [W] + \ sigma \ varepsilon}$ , unde este $\varepsilon \sim N(0,1)$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ sim N (0,1)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ sim N (0,1)}$ Și $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ și varianța $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Deci, definiți:

V({\textrm {E}}[W],\sigma ^{2})={\textrm {E}}[u(W)]=\int _{-\infty }^{\infty }u({\textrm {E}}[W]+\sigma \varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon

{\ displaystyle V ({\ textrm {E}} [W], \ sigma ^ {2}) = {\ textrm {E}} [u (W)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } u ({\ textrm {E}} [W] + \ sigma \ varepsilon) f (\ varepsilon) d \ varepsilon}

{\ displaystyle V ({\ textrm {E}} [W], \ sigma ^ {2}) = {\ textrm {E}} [u (W)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } u ({\ textrm {E}} [W] + \ sigma \ varepsilon) f (\ varepsilon) d \ varepsilon}

unde este

f(\varepsilon )

{\ displaystyle f (\ varepsilon)}

{\ displaystyle f (\ varepsilon)}

denotă funcția de densitate normală. Rezultă că:

{\frac {\partial V}{\partial {\textrm {E}}[W]}}=\int _{-\infty }^{\infty }u'(\cdot )f(\varepsilon )d\varepsilon >0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial {\ textrm {E}} [W]}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u '(\ cdot) f (\ varepsilon ) d \ varepsilon> 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial {\ textrm {E}} [W]}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u '(\ cdot) f (\ varepsilon ) d \ varepsilon> 0}

atâta timp cât presupunem că utilitatea

u(\cdot )

{\ displaystyle u (\ cdot)}

{\ displaystyle u (\ cdot)}

crește strict la nivelul bogăției

{\textrm {E}}[W]+\sigma \varepsilon

{\ displaystyle {\ textrm {E}} [W] + \ sigma \ varepsilon}

{\ displaystyle {\ textrm {E}} [W] + \ sigma \ varepsilon}

, astfel încât

u'>0

{\ displaystyle u '> 0}

{\ displaystyle u '> 0}

. De asemenea avem:

{\frac {\partial V}{\partial \sigma ^{2}}}=2\sigma {\frac {\partial V}{\partial \sigma }}=2\sigma \int _{-\infty }^{\infty }\varepsilon u'(\cdot )f(\varepsilon )d\varepsilon =2\sigma \int _{-\infty }^{0}\varepsilon u'(\cdot )f(\varepsilon )d\varepsilon +2\sigma \int _{0}^{\infty }\varepsilon u'(\cdot )f(\varepsilon )d\varepsilon

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma ^ {2}}} = 2 \ sigma {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma}} = 2 \ sigma \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varepsilon u '(\ cdot) f (\ varepsilon) d \ varepsilon = 2 \ sigma \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ varepsilon u' (\ cdot) f ( \ varepsilon) d \ varepsilon +2 \ sigma \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon u '(\ cdot) f (\ varepsilon) d \ varepsilon}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma ^ {2}}} = 2 \ sigma {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma}} = 2 \ sigma \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varepsilon u '(\ cdot) f (\ varepsilon) d \ varepsilon = 2 \ sigma \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ varepsilon u' (\ cdot) f ( \ varepsilon) d \ varepsilon +2 \ sigma \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon u '(\ cdot) f (\ varepsilon) d \ varepsilon}

Atâta timp cât

f(\varepsilon )=f(-\varepsilon )

{\ displaystyle f (\ varepsilon) = f (- \ varepsilon)}

{\ displaystyle f (\ varepsilon) = f (- \ varepsilon)}

, înlocuind expresiile de mai sus și rearanjând termenii pe care îi avem:

{\frac {\partial V}{\partial \sigma ^{2}}}=2\sigma \int _{0}^{\infty }[u'({\textrm {E}}[W]+\sigma \varepsilon )-u'({\textrm {E}}[W]-\sigma \varepsilon )]\varepsilon f(\varepsilon )d\varepsilon <0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma ^ {2}}} = 2 \ sigma \ int _ {0} ^ {\ infty} [u '({\ textrm {E}} [W ] + \ sigma \ varepsilon) -u '({\ textrm {E}} [W] - \ sigma \ varepsilon)] \ varepsilon f (\ varepsilon) d \ varepsilon <0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma ^ {2}}} = 2 \ sigma \ int _ {0} ^ {\ infty} [u '({\ textrm {E}} [W ] + \ sigma \ varepsilon) -u '({\ textrm {E}} [W] - \ sigma \ varepsilon)] \ varepsilon f (\ varepsilon) d \ varepsilon <0}

atâta timp cât presupunem că utilitatea marginală a bogăției

{tu}^{'}

{\ displaystyle u '}

{\ displaystyle u '}

este în scădere, o ipoteză în orice caz nedureroasă.

Acest rezultat poate fi extins de fapt la o clasă mai generală de distribuții, numită clasa distribuțiilor eliptice, din care normalul reprezintă un caz particular. Cu toate acestea, această linie de cercetare nu a condus la rezultate remarcabile. Problema este că, întrucât o variabilă normală aleatoare are ca suport întreaga axă reală, această formulare încalcă ipoteza răspunderii limitate: cu alte cuvinte, admite posibilitatea ca un agent economic să piardă mai mult (infinit mai mult) din întreaga sa bogăție; acest lucru pare, încă o dată, nerezonabil.

În concluzie, ipotezele care stau la baza modelului preferinței de varianță medie par oarecum restrictive. Cu toate acestea, rămâne faptul că (1) este posibil să neglijăm baza modelului în ceea ce privește utilitatea așteptată (în final, acestea sunt chestiuni pur academice) și să considerăm frontiera varianței medii un instrument descriptiv util; (2) modelul poate fi considerat bine întemeiat, deși numai cu titlu aproximativ, deoarece $R_{3}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ $R_ {3}$ este încă de un ordin mai mic decât primii doi termeni ai extinderii ${\textrm {E}}[u(W)]$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [u (W)]}$ ${\ displaystyle {\ textrm {E}} [u (W)]}$ .

Frontiera portofelului: abordare lagrangiană

Abordarea tradițională a construcției frontierei de portofoliu este prezentată mai jos, cunoscută și sub denumirea de abordare lagrangiană, bazată pe ipoteza că operatorii economici au preferințe de varianță medie (adică preferă o rentabilitate așteptată mai mare și o varianță a randamentului inferior , ceteris paribus ). Această formulare urmează cea propusă inițial de Harry Markowitz în 1952 .

Frontieră de portofoliu numai cu acțiuni riscante

O derivare a frontierei portofoliului este prezentată mai jos, pentru a ilustra principalele sale proprietăți. Spus $\ x$ ${\ displaystyle \ x}$ $\ X$ un vector generic al ponderilor unui portofoliu , acestea sunt $\ R$ ${\ displaystyle \ R}$ $\ R$ vectorul randamentelor așteptate ale tuturor titlurilor tranzacționate pe piață, e $\ \Sigma$ ${\ displaystyle \ \ Sigma}$ $\ \ Sigma$ varianțele matriciale corespunzătoare - covarianțe . Având în vedere o rentabilitate a portofoliului așteptată $\ \mu$ ${\ displaystyle \ \ mu}$ $\ \ mu$ , este posibil să se determine locația portofoliilor care minimizează varianța rezolvând problema minimă constrânsă :

\ \min _{x}{\frac {1}{2}}x'\Sigma x\quad {\textrm {s.t.}}\ x'R=\mu \ \wedge \ x'\mathbf {1} =1

{\ displaystyle \ \ min _ {x} {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x \ quad {\ textrm {st}} \ x'R = \ mu \ \ wedge \ x' \ mathbf { 1} = 1}

{\ displaystyle \ \ min _ {x} {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x \ quad {\ textrm {st}} \ x'R = \ mu \ \ wedge \ x' \ mathbf { 1} = 1}

unde este $\ \mathbf {1}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {1}}$ denotă un vector în care fiecare element este egal cu 1. Setarea funcției lagrangiene asociate cu problema:

\ {\mathcal {L}}(x,\lambda _{1},\lambda _{2})={\frac {1}{2}}x'\Sigma x+\lambda _{1}\left(\mu -x'R\right)+\lambda _{2}\left(1-x'\mathbf {1} \right)

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x, \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}) = {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x + \ lambda _ {1 } \ left (\ mu -x'R \ right) + \ lambda _ {2} \ left (1-x '\ mathbf {1} \ right)}

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x, \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}) = {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x + \ lambda _ {1 } \ left (\ mu -x'R \ right) + \ lambda _ {2} \ left (1-x '\ mathbf {1} \ right)}

Condițiile primului ordin sunt obținute:

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=\Sigma x-\lambda _{1}R-\lambda _{2}\mathbf {1} =0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} = \ Sigma x- \ lambda _ {1} R- \ lambda _ {2} \ mathbf {1} = 0 }

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} = \ Sigma x- \ lambda _ {1} R- \ lambda _ {2} \ mathbf {1} = 0 }

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda _{1}}}=\mu -x'R=0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ lambda _ {1}}} = \ mu -x'R = 0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ lambda _ {1}}} = \ mu -x'R = 0}

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda _{2}}}=1-x'\mathbf {1} =0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ lambda _ {2}}} = 1-x '\ mathbf {1} = 0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ lambda _ {2}}} = 1-x '\ mathbf {1} = 0}

Din care rezultă imediat:

\ {\hat {x}}=\Sigma ^{-1}(\lambda _{1}R+\lambda _{2}\mathbf {1} )

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = \ Sigma ^ {- 1} (\ lambda _ {1} R + \ lambda _ {2} \ mathbf {1})}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = \ Sigma ^ {- 1} (\ lambda _ {1} R + \ lambda _ {2} \ mathbf {1})}

expresia pentru vectorul de greutate al portofoliului aparținând frontierei, în funcție de multiplicatorii Lagrange $\ \lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {1}}$ Și $\ \lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {2}}$ . Înlocuind în a doua și a treia relație avem următorul sistem de ecuații în $\ \lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {1}}$ Și $\ \lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ \ lambda _ {2}}$ :

\ A\lambda _{1}+B\lambda _{2}=\mu

{\ displaystyle \ A \ lambda _ {1} + B \ lambda _ {2} = \ mu}

{\ displaystyle \ A \ lambda _ {1} + B \ lambda _ {2} = \ mu}

\ B\lambda _{1}+C\lambda _{2}=\mathbf {1}

{\ displaystyle \ B \ lambda _ {1} + C \ lambda _ {2} = \ mathbf {1}}

{\ displaystyle \ B \ lambda _ {1} + C \ lambda _ {2} = \ mathbf {1}}

unde este $\ A=R'\Sigma ^{-1}R$ ${\ displaystyle \ A = R '\ Sigma ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle \ A = R '\ Sigma ^ {- 1} R}$ , $\ B=R'\Sigma ^{-1}\mathbf {1}$ ${\ displaystyle \ B = R '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle \ B = R '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}$ , Și $\ C=\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}\mathbf {1}$ ${\ displaystyle \ C = \ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle \ C = \ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}$ . Rețineți că de atunci $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ este o matrice definitivă pozitivă , $A>0$ ${\ displaystyle A> 0}$ $A> 0$ Și $C>0$ ${\ displaystyle C> 0}$ $C> 0$ ; cu toate acestea, nu se poate spune nimic despre semnul lui $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Rezolvând sistemul obținem:

\ \lambda _{1}={\frac {C\mu -B}{AC-B^{2}}}\quad \lambda _{2}={\frac {A-B\mu }{AC-B^{2}}}

{\ displaystyle \ \ lambda _ {1} = {\ frac {C \ mu -B} {AC-B ^ {2}}} \ quad \ lambda _ {2} = {\ frac {AB \ mu} {AC -B ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ \ lambda _ {1} = {\ frac {C \ mu -B} {AC-B ^ {2}}} \ quad \ lambda _ {2} = {\ frac {AB \ mu} {AC -B ^ {2}}}}

astfel încât:

\ {\hat {x}}=\Sigma ^{-1}\left({\frac {C\mu -B}{AC-B^{2}}}R+{\frac {A-B\mu }{AC-B^{2}}}\mathbf {1} \right)

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = \ Sigma ^ {- 1} \ left ({\ frac {C \ mu -B} {AC-B ^ {2}}} R + {\ frac {AB \ mu} {AC-B ^ {2}}} \ mathbf {1} \ right)}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = \ Sigma ^ {- 1} \ left ({\ frac {C \ mu -B} {AC-B ^ {2}}} R + {\ frac {AB \ mu} {AC-B ^ {2}}} \ mathbf {1} \ right)}

expresia în formă închisă pentru portofoliile frontierei. Semnul $AC-B^{2}$ ${\ displaystyle AC-B ^ {2}}$ ${\ displaystyle AC-B ^ {2}}$ este pozitiv; pentru a verifica acest lucru, considerați că, fiind $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ pozitiv definit , avem:

\ (BR-A\mathbf {1} )'\Sigma (BR-A\mathbf {1} )>0

{\ displaystyle \ (BR-A \ mathbf {1}) '\ Sigma (BR-A \ mathbf {1})> 0}

{\ displaystyle \ (BR-A \ mathbf {1}) '\ Sigma (BR-A \ mathbf {1})> 0}

astfel încât:

\ A(AC-B^{2})>0\quad \iff \quad AC-B^{2}>0

{\ displaystyle \ A (AC-B ^ {2})> 0 \ quad \ iff \ quad AC-B ^ {2}> 0}

{\ displaystyle \ A (AC-B ^ {2})> 0 \ quad \ iff \ quad AC-B ^ {2}> 0}

Rețineți că, pe baza expresiei de mai sus, orice portofoliu de frontieră poate fi exprimat ca o combinație liniară de două portofolii:

\ {\hat {x}}=\lambda _{1}B{\frac {\Sigma ^{-1}R}{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}R}}+\lambda _{2}C{\frac {\Sigma ^{-1}\mathbf {1} }{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}\mathbf {1} }}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = \ lambda _ {1} B {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} R} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} R}} + \ lambda _ {2} C {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = \ lambda _ {1} B {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} R} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} R}} + \ lambda _ {2} C {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}}}

Acest rezultat aparent trivial se numește teorema separării prin două fonduri mutuale , unde fondurile mutuale sunt portofolii:

\ {\frac {\Sigma ^{-1}R}{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}R}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} R} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} R}}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} R} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} R}}}

Și

\ {\frac {\Sigma ^{-1}\mathbf {1} }{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}\mathbf {1} }}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}}}

Rezultatul separării prin fonduri mutuale are implicația interesantă că un investitor cu preferințe de varianță medie nu trebuie să evalueze toate valorile mobiliare tranzacționate pe piață în același timp; trebuie doar să vă concentrați asupra celor două fonduri mutuale.

Reprezentarea frontierei în planul varianței medii

Premultiplicarea primei condiții a primului ordin în raport cu problema minimă care definește limita pentru vectorul greutăților $\ {\hat {x}}'$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} '}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} '}$ și reorganizarea termenilor pe care îi obținem:

\ {\hat {x}}'\Sigma {\hat {x}}=\sigma _{P}^{2}=\lambda _{1}\mu _{P}+\lambda _{2}={\frac {C\mu _{P}^{2}-2B\mu _{P}+A}{AC-B^{2}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} '\ Sigma {\ hat {x}} = \ sigma _ {P} ^ {2} = \ lambda _ {1} \ mu _ {P} + \ lambda _ { 2} = {\ frac {C \ mu _ {P} ^ {2} -2B \ mu _ {P} + A} {AC-B ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} '\ Sigma {\ hat {x}} = \ sigma _ {P} ^ {2} = \ lambda _ {1} \ mu _ {P} + \ lambda _ { 2} = {\ frac {C \ mu _ {P} ^ {2} -2B \ mu _ {P} + A} {AC-B ^ {2}}}}

unde este $\ \sigma _{P}^{2}$ ${\ displaystyle \ \ sigma _ {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ \ sigma _ {P} ^ {2}}$ denotă varianța randamentului portofoliului, e $\ \mu _{P}$ ${\ displaystyle \ \ mu _ {P}}$ ${\ displaystyle \ \ mu _ {P}}$ randamentul așteptat (termenii sunt aceiași ca în secțiunea anterioară, indicele $\ P$ ${\ displaystyle \ P}$ $\ P$ evidențiază referința la portofoliu). Expresia de mai sus arată că frontiera portofoliului descrie o parabolă în planul varianței medii .

Așa cum se arată în diagramă, varianța minimă este egală cu $\ 1/C$ ${\ displaystyle \ 1 / C}$ ${\ displaystyle \ 1 / C}$ , corespunzător randamentului așteptat $\ B/C$ ${\ displaystyle \ B / C}$ ${\ displaystyle \ B / C}$ . La aceeași varianță $\ \sigma ^{*}$ ${\ displaystyle \ \ sigma ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ \ sigma ^ {*}}$ în general (cu excepția portofoliului de varianță minimă) vor corespunde mai multe randamente așteptate, corespunzătoare portofoliilor care aparțin frontierei. Această considerație face posibilă împărțirea frontierei în două porțiuni: prima, numită frontiera eficientă sau frontiera portofoliilor eficiente , include portofolii cu randamente așteptate mai mari decât cel al portofoliului de varianță minimă; al doilea se numește frontiera portofoliilor ineficiente .

Această abordare este baza pentru derivarea modelului de echilibru al pieței financiare de referință, CAPM .

Portofoliul de frontieră și CAPM

Același subiect în detaliu: CAPM .

În contextul prezentat mai sus, este posibil să se obțină un rezultat cunoscut sub numele de zero-beta CAPM sau CAPM în absența unui stoc fără risc; acest rezultat se datorează lui Black (1972). Luați în considerare un portofel eficient $w_{p}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ ; pe baza condițiilor de ordinul întâi ale problemei optime rezolvate în secțiunea anterioară, este imediat să observăm că există constante (multiplicatori Lagrange) $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât:

\ w_{p}=\gamma B{\frac {\Sigma ^{-1}R}{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}R}}+\lambda C{\frac {\Sigma ^{-1}\mathbf {1} }{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}\mathbf {1} }}=\gamma Bw_{d}+\lambda Cw_{g}

{\ displaystyle \ w_ {p} = \ gamma B {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} R} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} R}} + \ lambda C {\ frac { \ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}} = \ gamma Bw_ {d} + \ lambda Cw_ {g}}

{\ displaystyle \ w_ {p} = \ gamma B {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} R} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} R}} + \ lambda C {\ frac { \ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1}}} = \ gamma Bw_ {d} + \ lambda Cw_ {g}}

unde este $w_{g}$ ${\ displaystyle w_ {g}}$ ${\ displaystyle w_ {g}}$ este portofoliul eficient cu cea mai mică varianță. Observând că $\gamma B+\lambda C=1$ ${\ displaystyle \ gamma B + \ lambda C = 1}$ ${\ displaystyle \ gamma B + \ lambda C = 1}$ puteți scrie pur și simplu:

w_{p}=pw_{d}+(1-p)w_{g},\quad p\in (0,1)

{\ displaystyle w_ {p} = pw_ {d} + (1-p) w_ {g}, \ quad p \ in (0,1)}

{\ displaystyle w_ {p} = pw_ {d} + (1-p) w_ {g}, \ quad p \ in (0,1)}

Acum ia în considerare portofelul $w_{0p}$ ${\ displaystyle w_ {0p}}$ ${\ displaystyle w_ {0p}}$ având zero covarianță cu $w_{p}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ ; expresia covarianței este:

\ w_{0p}'\Sigma w_{p}=pw_{0p}'\Sigma w_{d}+(1-p)w_{0p}'\Sigma w_{g}=

{\ displaystyle \ w_ {0p} '\ Sigma w_ {p} = pw_ {0p}' \ Sigma w_ {d} + (1-p) w_ {0p} '\ Sigma w_ {g} =}

{\ displaystyle \ w_ {0p} '\ Sigma w_ {p} = pw_ {0p}' \ Sigma w_ {d} + (1-p) w_ {0p} '\ Sigma w_ {g} =}

\ =p{\frac {w_{0p}'R}{B}}+(1-p){\frac {1}{C}}

{\ displaystyle \ = p {\ frac {w_ {0p} 'R} {B}} + (1-p) {\ frac {1} {C}}}

{\ displaystyle \ = p {\ frac {w_ {0p} 'R} {B}} + (1-p) {\ frac {1} {C}}}

Expresia de mai sus este egală cu zero dacă și numai dacă:

\ w_{0p}'R=-{\frac {1-p}{p}}{\frac {B}{C}}

{\ displaystyle \ w_ {0p} 'R = - {\ frac {1-p} {p}} {\ frac {B} {C}}}

{\ displaystyle \ w_ {0p} 'R = - {\ frac {1-p} {p}} {\ frac {B} {C}}}

Ceea ce implică:

\ (1-p){\frac {1}{C}}=-{\frac {p}{B}}w_{0p}'R

{\ displaystyle \ (1-p) {\ frac {1} {C}} = - {\ frac {p} {B}} w_ {0p} 'R}

{\ displaystyle \ (1-p) {\ frac {1} {C}} = - {\ frac {p} {B}} w_ {0p} 'R}

Pentru un portofel generic $w_{a}$ ${\ displaystyle w_ {a}}$ ${\ displaystyle w_ {a}}$ , expresia va fi valabilă:

\ w_{a}'\Sigma w_{p}=p{\frac {w_{a}'R}{B}}+(1-p){\frac {1}{C}}={\frac {p}{B}}\left[w_{a}'R-w_{0p}'R\right]

{\ displaystyle \ w_ {a} '\ Sigma w_ {p} = p {\ frac {w_ {a}' R} {B}} + (1-p) {\ frac {1} {C}} = { \ frac {p} {B}} \ left [w_ {a} 'R-w_ {0p}' R \ right]}

{\ displaystyle \ w_ {a} '\ Sigma w_ {p} = p {\ frac {w_ {a}' R} {B}} + (1-p) {\ frac {1} {C}} = { \ frac {p} {B}} \ left [w_ {a} 'R-w_ {0p}' R \ right]}

pe baza rezultatelor de mai sus. La fel, varianța portofoliului eficient $w_{p}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ poate fi scris ca:

\ w_{p}'\Sigma w_{p}={\frac {p}{B}}\left[w_{p}'R-w_{0p}'R\right]

{\ displaystyle \ w_ {p} '\ Sigma w_ {p} = {\ frac {p} {B}} \ left [w_ {p}' R-w_ {0p} 'R \ right]}

{\ displaystyle \ w_ {p} '\ Sigma w_ {p} = {\ frac {p} {B}} \ left [w_ {p}' R-w_ {0p} 'R \ right]}

Prin împărțirea celor două expresii membru la membru și rearanjarea termenilor, avem:

\ w_{a}'R=w_{0p}'R+{\frac {w_{a}'\Sigma w_{p}}{w_{p}'\Sigma w_{p}}}\left[w_{p}'R-w_{0p}'R\right]=w_{0p}'R+{\frac {{\mbox{cov}}(w_{a},w_{p})}{{\mbox{var}}(w_{p})}}\left[w_{p}'R-w_{0p}'R\right]

{\ displaystyle \ w_ {a} 'R = w_ {0p}' R + {\ frac {w_ {a} '\ Sigma w_ {p}} {w_ {p}' \ Sigma w_ {p}}} \ left [w_ {p} 'R-w_ {0p}' R \ right] = w_ {0p} 'R + {\ frac {{\ mbox {cov}} (w_ {a}, w_ {p})} {{ \ mbox {var}} (w_ {p})}} \ left [w_ {p} 'R-w_ {0p}' R \ right]}

{\ displaystyle \ w_ {a} 'R = w_ {0p}' R + {\ frac {w_ {a} '\ Sigma w_ {p}} {w_ {p}' \ Sigma w_ {p}}} \ left [w_ {p} 'R-w_ {0p}' R \ right] = w_ {0p} 'R + {\ frac {{\ mbox {cov}} (w_ {a}, w_ {p})} {{ \ mbox {var}} (w_ {p})}} \ left [w_ {p} 'R-w_ {0p}' R \ right]}

aceasta este o expresie à la CAPM în care returnarea garanției este lipsită de riscuri $R_{f}$ ${\ displaystyle R_ {f}}$ $R_ {f}$ este înlocuit de rentabilitatea preconizată a portofoliului $w_{0p}$ ${\ displaystyle w_ {0p}}$ ${\ displaystyle w_ {0p}}$ , și portofoliul de $w_{p}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ trebuie să îndeplinească singurul criteriu de a fi eficient pe baza preferințelor unui investitor înzestrat cu utilitate de tipul varianței medii (adică nu este necesar ca acesta să fie portofoliul pieței; sau mai degrabă această relație implică faptul că portofoliul pieței în CAPM trebuie să fie eficientă în sensul criteriului varianței medii). În acest context, măsura riscului care caracterizează portofoliul $w_{a}$ ${\ displaystyle w_ {a}}$ ${\ displaystyle w_ {a}}$ Și:

\beta _{ap}={\frac {{\mbox{cov}}(w_{a},w_{p})}{{\mbox{var}}(w_{p})}}

{\ displaystyle \ beta _ {ap} = {\ frac {{\ mbox {cov}} (w_ {a}, w_ {p})} {{\ mbox {var}} (w_ {p})}}}

{\ displaystyle \ beta _ {ap} = {\ frac {{\ mbox {cov}} (w_ {a}, w_ {p})} {{\ mbox {var}} (w_ {p})}}}

Frontieră de portofoliu cu o securitate fără riscuri

În aceleași condiții ca și în cazul precedent, se introduce posibilitatea de a investi într-un titlu de randament brut fără risc, $R_{f}$ ${\ displaystyle R_ {f}}$ ${\ displaystyle R_ {f}}$ . Dacă un investitor generic are o rentabilitate așteptată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , puteți scrie, fără a afecta generalitatea acestei formulări, $\ x'(R-R_{f}\mathbf {1} )=\mu -R_{f}$ ${\ displaystyle \ x '(R-R_ {f} \ mathbf {1}) = \ mu -R_ {f}}$ ${\ displaystyle \ x '(R-R_ {f} \ mathbf {1}) = \ mu -R_ {f}}$ , unde este $\ x$ ${\ displaystyle \ x}$ $\ X$ aici reprezintă vectorul ponderilor portofoliu investit doar în stocuri riscante. În plus, nu este necesar să se impună că suma ponderilor este egală cu 1: diferența dintre 1 și suma ponderilor este acoperită de investiția în garanția fără risc; trebuie remarcat faptul că este posibil să împrumutați pentru o sumă infinită la rata fără risc $R_{f}-1$ ${\ displaystyle R_ {f} -1}$ ${\ displaystyle R_ {f} -1}$ .

În mod similar cu cazul precedent, este deci posibil să se stabilească următoarea problemă de optimizare:

\ \min _{x}{\frac {1}{2}}x'\Sigma x\quad {\textrm {s.t.}}\ x'(R-R_{f}\mathbf {1} )=\mu -R_{f}

{\ displaystyle \ \ min _ {x} {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x \ quad {\ textrm {st}} \ x' (R-R_ {f} \ mathbf {1}) = \ mu -R_ {f}}

{\ displaystyle \ \ min _ {x} {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x \ quad {\ textrm {st}} \ x' (R-R_ {f} \ mathbf {1}) = \ mu -R_ {f}}

Funcția Lagrangiană asociată cu problema este:

\ {\mathcal {L}}(x,\lambda )={\frac {1}{2}}x'\Sigma x-\lambda (x'(R-R_{f}\mathbf {1} )-\mu +R_{f})

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x, \ lambda) = {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x- \ lambda (x' (R-R_ {f} \ mathbf {1 }) - \ mu + R_ {f})}

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x, \ lambda) = {\ frac {1} {2}} x '\ Sigma x- \ lambda (x' (R-R_ {f} \ mathbf {1 }) - \ mu + R_ {f})}

Condițiile de ordinul întâi (care și în acest caz sunt atât necesare, cât și suficiente, deoarece funcția obiectivă este strict convexă) impun:

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=0\ \iff \ {\hat {x}}=\lambda \Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} = 0 \ \ iff \ {\ hat {x}} = \ lambda \ Sigma ^ {- 1} \ left ( R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} = 0 \ \ iff \ {\ hat {x}} = \ lambda \ Sigma ^ {- 1} \ left ( R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}

Înlocuind această expresie în constrângere, avem:

\lambda ={\frac {\mu -R_{f}}{F}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mu -R_ {f}} {F}}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mu -R_ {f}} {F}}}

unde este $\ F=\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)'\Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)$ ${\ displaystyle \ F = \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right) '\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}$ ${\ displaystyle \ F = \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right) '\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}$ . Asa de:

\ {\hat {x}}={\frac {\mu -R_{f}}{F}}\Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = {\ frac {\ mu -R_ {f}} {F}} \ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} = {\ frac {\ mu -R_ {f}} {F}} \ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ dreapta)}

Având în vedere expresia de mai sus, varianța unui portofoliu aparținând frontierei va fi dată de:

\ \sigma _{P}^{2}={\hat {x}}'\Sigma {\hat {x}}={\hat {x}}'\Sigma {\frac {\mu -R_{f}}{F}}\Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)={\frac {\left(\mu -R_{f}\right)^{2}}{F}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {P} ^ {2} = {\ hat {x}} '\ Sigma {\ hat {x}} = {\ hat {x}}' \ Sigma {\ frac {\ mu - R_ {f}} {F}} \ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right) = {\ frac {\ left (\ mu -R_ {f} \ right ) ^ {2}} {F}}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {P} ^ {2} = {\ hat {x}} '\ Sigma {\ hat {x}} = {\ hat {x}}' \ Sigma {\ frac {\ mu - R_ {f}} {F}} \ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right) = {\ frac {\ left (\ mu -R_ {f} \ right ) ^ {2}} {F}}}

care reprezintă o parabolă în rentabilitatea așteptată a spațiului - varianță, ca în cazul numai cu titluri riscante; în acest caz, în spațiul așteptat de retur - deviație standard, frontiera portofoliilor descrie două linii cu interceptare egală cu $R_{f}/{\sqrt {F}}$ ${\ displaystyle R_ {f} / {\ sqrt {F}}}$ ${\ displaystyle R_ {f} / {\ sqrt {F}}}$ :

\ \sigma _{p}=\pm {\frac {|\mu -R_{f}|}{\sqrt {F}}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {p} = \ pm {\ frac {| \ mu -R_ {f} |} {\ sqrt {F}}}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {p} = \ pm {\ frac {| \ mu -R_ {f} |} {\ sqrt {F}}}}

Portofoliu de tangență și separare prin fonduri mutuale

Luați în considerare un portofoliu care are o poziție nulă zero în titlul de randament fără risc; un vector de pondere va corespunde acestui portofoliu $x_{t}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ astfel încât $x_{t}'\mathbf {1} =1$ ${\ displaystyle x_ {t} '\ mathbf {1} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {t} '\ mathbf {1} = 1}$ . Folosind expresia portofoliului generic de frontieră în prezența unei securități riscante, avem:

{\frac {\mu _{t}-R_{f}}{F}}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)'\Sigma ^{-1}\mathbf {1} =1

{\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {t} -R_ {f}} {F}} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right) '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {t} -R_ {f}} {F}} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right) '\ Sigma ^ {- 1} \ mathbf {1} = 1}

de la care:

\ \mu _{t}={\frac {F}{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)}}+R_{f}

{\ displaystyle \ \ mu _ {t} = {\ frac {F} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}} + R_ {f}}

{\ displaystyle \ \ mu _ {t} = {\ frac {F} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}} + R_ {f}}

Prin înlocuire $\mu _{t}$ ${\ displaystyle \ mu _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {t}}$ în expresia portofoliului care aparține graniței, avem:

\ x_{t}={\frac {\Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)}{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}\left(R-R_{f}\mathbf {1} \right)}}

{\ displaystyle \ x_ {t} = {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}}}

{\ displaystyle \ x_ {t} = {\ frac {\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)} {\ mathbf {1} '\ Sigma ^ {- 1} \ left (R-R_ {f} \ mathbf {1} \ right)}}}

portofelul $x_{t}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ aparține atât frontierei cu un titlu riscant, cât și celui derivat în cazul în care sunt disponibile doar titluri riscante; în special, $x_{t}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ ${\ displaystyle x_ {t}}$ corespunde punctului de tangență dintre cele două margini în spațiul mediu - deviație standard.

Chiar și în prezența unei garanții fără riscuri, se aplică un rezultat de separare prin două fonduri mutuale similar cu cel ilustrat în cazul anterior. În special, orice portofoliu al frontierei poate fi exprimat ca o combinație liniară a portofoliului de tangență $\ x_{t}$ ${\ displaystyle \ x_ {t}}$ ${\ displaystyle \ x_ {t}}$ și un portofoliu care investește doar în titluri de producție fără risc.

Portofoliul de tangență și CAPM

Același subiect în detaliu: CAPM .

În cazul frontierei portofoliului în prezența unei securități fără riscuri, rezultatul CAPM zero-beta al lui Black (1972) poate fi urmărit imediat înapoi la versiunea tradițională a CAPM :

\ w_{a}'R=R_{f}+\beta _{ap}[w_{p}'R-R_{f}]

{\ displaystyle \ w_ {a} 'R = R_ {f} + \ beta _ {ap} [w_ {p}' R-R_ {f}]}

{\ displaystyle \ w_ {a} 'R = R_ {f} + \ beta _ {ap} [w_ {p}' R-R_ {f}]}

unde este $w_{p}$ ${\ displaystyle w_ {p}}$ $w_{p}$ è un portafoglio efficiente. La derivazione segue immediatamente da quanto esposto nella sezione precedente: per definizione il rendimento del titolo privo di rischio ha covarianza nulla con il rendimento di qualsiasi portafoglio rischioso, così che può rimpiazzare il termine $w_{0p}'R$ $w_{0p}'R$ $w_{0p}'R$ nell'espressione per lo zero-beta CAPM.

Lo stesso risultato può essere ottenuto in maniera più formale come segue. Si consideri un'economia con agenti $i=1,\ldots ,I$ $i=1,\ldots ,I$ $i=1,\ldots ,I$ dotati di preferenze di tipo media-varianza, in cui sono scambiati titoli rischiosi e un titolo privo di rischio. Si ipotizzi che il titolo privo di rischio abbia un' offerta netta nulla , cioè che a ogni posizione di debito ne corrisponda una di credito di uguale entità. Ciascun agente risolve un problema identico a quello sopra, ottenendo le condizioni (necessarie e sufficienti) del primo ordine:

x_{i}^{*}=\lambda _{i}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

x_{i}^{*}=\lambda _{i}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

x_{i}^{*}=\lambda _{i}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

Si denoti con $W_{i}$ $W_{i}$ $W_{i}$ la ricchezza dell'investitore $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ -esimo; si ha:

\sum _{i=1}^{I}W_{i}x_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{I}W_{i}\lambda _{i}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

\sum _{i=1}^{I}W_{i}x_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{I}W_{i}\lambda _{i}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

\sum _{i=1}^{I}W_{i}x_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{I}W_{i}\lambda _{i}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

Si imponga quindi la condizione che di equilibrio:

\ W_{m}x_{m}=\sum _{i=1}^{I}W_{i}x_{i}^{*}

\ W_{m}x_{m}=\sum _{i=1}^{I}W_{i}x_{i}^{*}

\ W_{m}x_{m}=\sum _{i=1}^{I}W_{i}x_{i}^{*}

dove $W_{m}$ $W_{m}$ $W_{m}$ denota il valore complessivo della ricchezza dell'economia, e $x_{m}$ $x_{m}$ $x_{m}$ è il portafoglio di mercato. Definendo la costante:

\lambda _{m}={\frac {\left(\sum _{i=1}^{I}W_{i}\lambda _{i}\right)}{W_{m}}}

\lambda _{m}={\frac {\left(\sum _{i=1}^{I}W_{i}\lambda _{i}\right)}{W_{m}}}

\lambda _{m}={\frac {\left(\sum _{i=1}^{I}W_{i}\lambda _{i}\right)}{W_{m}}}

si ha:

x_{m}=\lambda _{m}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

x_{m}=\lambda _{m}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

x_{m}=\lambda _{m}\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )

L'espressione per il portafoglio di mercato ha dunque la stessa forma di quella dei portafogli individuali. Imponendo infine che il titolo privo di rischio abbia un'offerta netta nulla, la somma degli elementi del portafoglio di mercato deve essere pari a uno (ossia, la posizione netta dell' intero mercato nel titolo privo di rischio è nulla):

x_{m}'\mathbf {1} =1

x_{m}'\mathbf {1} =1

x_{m}'\mathbf {1} =1

ma questo si verifica se e solo se:

\lambda _{m}=\left[\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )\right]^{-1}

\lambda _{m}=\left[\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )\right]^{-1}

\lambda _{m}=\left[\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )\right]^{-1}

e dunque se:

x_{m}={\frac {\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} }{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )}}=x_{t}

x_{m}={\frac {\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} }{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )}}=x_{t}

x_{m}={\frac {\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} }{\mathbf {1} '\Sigma ^{-1}(R-R_{f}\mathbf {1} )}}=x_{t}

ossia, se il portafoglio di mercato è identico al portafoglio di tangenza. Poiché è noto che il portafoglio di tangenza appartiene alla porzione efficiente della frontiera media-varianza, esso può essere utilizzato per ottenere un'espressione per il rendimento atteso come illustrato sopra; ne segue immediatamente il CAPM nella forma tradizionale:

\ {\mbox{E}}(R_{i})=R_{f}+\beta _{im}({\mbox{E}}(R_{m})-R_{f})

\ {\mbox{E}}(R_{i})=R_{f}+\beta _{im}({\mbox{E}}(R_{m})-R_{f})

\ {\mbox{E}}(R_{i})=R_{f}+\beta _{im}({\mbox{E}}(R_{m})-R_{f})

dove $R_{m}$ $R_{m}$ $R_{m}$ è il rendimento del portafoglio di mercato.

Bibliografia

Lavori originali

Markowitz, H., 1952, "Portfolio Selection, " Journal of Finance , 7 (1), 77-99, lo storico contributo che introdusse la teoria della frontiera dei portafogli.
Black, F., 1972, "Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing, " Journal of Business , 45 (3), 444-455.

Manualistica

( EN ) Cochrane, J. (2001) Asset Pricing , Princeton University Press, ISBN 0-691-07498-4 , un testo di livello universitario sull' asset pricing ; l'analisi media varianza qui presentata è illustrata secondo il più moderno approccio del fattore di sconto stocastico , ma nel capitolo 5 l'approccio lagrangiano è brevemente illustrato.
( EN ) Elton, EJ, Gruber, MJ, Brown, SJ e Goetzmann, WN (2003), Modern Portfolio Theory and Investment Analysis , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-23854-6 , un testo di carattere introduttivo, particolarmente attento alle applicazioni.
( EN ) Huang, C. e Litzenberger, R., (1988), Foundations of Financial Economics , North-Holland; un testo forse datato; nel capitolo 3 presenta nel dettaglio l'analisi media-varianza su cui si basa la frontiera dei portafogli.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Frontiera dei portafogli